陕西省安康市汉滨区2024届高三下学期高考模拟（五）数学（文）试卷(含答案)

这是一份陕西省安康市汉滨区2024届高三下学期高考模拟（五）数学（文）试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则中所有元素之和为( )
A.B.C.0D.2
2．若为纯虚数，则( )
A.B.C.D.2
3．当今时代，数字技术作为世界科技革命和产业变革的先导力量，日益融入经济社会发展各领域全过程，深刻改变着生产方式、生活方式和社会治理方式，从而带动了大量的电子产品在市场的销售.现有某商城统计了近两个月在A，B，C三个区域售出的1000个电子产品，其中A，B，C各个区域销量分布的饼状图及售价的频率条形图（按规定这些电子产品的售价均在50,300之间）如图，则在A区域售出的电子产品中，售价在区间内比在区间内多( )
A.30件B.114件C.120件D.133件
4．已知函数在区间上的值域为，则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
5．如图，网格纸上绘制的是某三棱锥的三视图，网格小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为( )
A.B.2C.3D.
6．若，，，则( )
A.B.C.D.
7．如图，边长为2的正方体中有内切球(球与正方体各面均相切)，从正方体内随机选取一点P，则该点不在球内的概率为( )
A.B.C.D.
8．如图，已知AB是圆O的直径，C是圆O上一点，，点P是线段BC上的动点，且的面积记为，圆O的面积记为，当取得最大值时，( )
A.B.C.D.
9．随着古代瓷器工艺的高速发展，在著名的宋代五大名窑之后，又增加了三种瓷器，与五大名窑并称为中国八大名瓷，其中最受欢迎的是景德镇窑.如图，景德镇产的青花玲珑瓷(无盖)的形状可视为一个球被两个平行平面所截后剩下的部分，其中球面被平面所截的部分均可视为球冠(截得的圆面是底，垂直于圆面的直径被截得的部分是高，其面积公式为，其中R为球的半径，h为球冠的高).已知瓷器的高为，在高为处有最大直径(外径)为，则该瓷器的外表面积约为(π取3.14)( )
A.B.C.D.
10．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，以AC为直径的圆的面积为，若，则的形状为( )
A.钝角三角形B.直角三角形C.非等腰三角形D.等边三角形
11．已知抛物线的焦点为F，E上任一点P到直线的距离等于点P到焦点F的距离，过点的直线l交E于A，B两点（其中B在A，M之间)，若平分，则( )
A.3B.4C.5D.6
12．已知当时，函数的图象在函数图象的上方，则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知，则____________.
14．已知等比数列的前n项和为，若，，则____________.
15．在棱长为1的正方体中，过面对角线的平面记为，以下四个命题:
①存在平面，使；
②若平面与平面的交线为l，则存在直线l，使；
③若平面截正方体所得的截面为三角形，则该截面三角形面积的最大值为；
④若平面过点，点P在线段上运动，则点P到平面的距离为.
其中真命题的序号为____________.
三、双空题
16．如图，双曲线的右焦点为F，点A在C的渐近线上，点A关于x轴的对称点为B，(O为坐标原点)，记四边形OAFB的面积为，四边形OAFB的外接圆M的面积为，则的最大值为____________，此时双曲线的离心率为____________.
四、解答题
17．已知为等差数列的前n项和，，.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求的前2n项和.
18．已知正方体被平面截后所得的几何体如图所示，点E，F分别是棱，的中点，且O为的重心.
（1）证明：点A在平面内；
（2）证明：.
19．随着移动互联网和直播带货技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，特别是商家通过展示产品，使顾客对商品有更全面的了解.下面统计了某新手开启直播带货后从6月份到10月份每个月的销售量(万件)（，2，3，4，5）的数据，得到如图所示的散点图.其中6月份至10月份相应的代码为，2，3，4，5，如：表示6月份.
（1）根据散点图判断，模型①与模型②哪一个更适宜作为月销售量y关于月份代码x的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）（i）根据（1）的判断结果，建立y关于x的回归方程；(计算结果精确到0.01)
（ⅱ）根据结果预测12月份的销售量大约是多少万件？
参考公式与数据：，，，，其中.
20．已知函数，为的导函数，.
（1）求a的值；
（2）求在上的零点个数.
21．已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为A，上顶点为B，且，坐标原点O到直线AB的距离为.
（1）求C的方程；
（2）设C的右顶点为N，过点作直线与C交于P，Q两点（其中P点在x轴上方），记的面积为，的面积为，求的取值范围.
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.
（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；
（2）若l与C交于A，B两点，且，求.
23．已知函数.
（1）求的最小值；
（2）若的最小值为m，正实数a，b，c满足，求证：.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意可得：，
可得，所以中所有元素之和为.
故选：B.
2．答案：D
解析：因为，
则，
若z为纯虚数，则，解得.
故选：D.
3．答案：B
解析：由题意可知：区间，内的频率分别为，0.05，
可知在区间，内售出的电子产品件数分别为，，
则在A区域售出的电子产品中，售价在区间，的件数分别为，，
所以售价在区间内比在区间内多件.
故选：B.
4．答案：A
解析：时，，
由函数在区间上的值域为，
故函数在区间上的值域为，
则有，即.
故选：A.
5．答案：B
解析：在长为3，宽为2，高为2的长方体中，由三视图可知：三棱锥即为，
所以该三棱锥的体积为.
故选：B.
6．答案：C
解析：因为，，
因为，可知，
又因为，所以.
故选：C.
7．答案：C
解析：，
内切球的半径为1，则，
所以该点不在球内的概率为.
故选：C.
8．答案：A
解析：由题意可知：，以O为坐标原点建立平面直角坐标系，
不妨设，则，，，
可知直线对应的一次函数解析式为，可设，，
可得，，
则，且，
因为开口向上，对称轴为，
且，可知当时，即点P与点C重合时，取到最大值，
此时，且，所以.
故选：A.
9．答案：C
解析：由题意可知：球的半径为，上球冠的高，下球冠的高，
设下底面圆的半径为r，则，
所以该瓷器的外表面积为.
故选：C.
10．答案：D
解析：因为以AC为直径的圆的面积为，可知，
又因为a，b，c成等差数列，则，
由余弦定理可得，
即，整理得，
且，整理得，
联立方程，解得或，
且，可得，即，
可得，解得，
所以的形状为等边三角形.
故选：D.
11．答案：B
解析：由抛物线上任一点P到直线的距离等于点P到焦点F的距离，
可得，解得，所以抛物线E的方程为，则
又由直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为，
联立方程组，整理得，
设，则，解得，
且，，
过点A，B分别作，，垂足分别为，，
由中，，可得，
由抛物线的定义，可得，且，
因为平分，
由三角形内角平分线的性质，可得，即，
整理得到，即，
因为，可得，所以，即，
解得或（舍去），所以.
故选：B.
12．答案：C
解析：函数，求导得，当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，，
令函数，求导得，显然在上单调递增，
而，即当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，，
于是，，对任意正实数x，当时，，
则，因此，
从而当，即时，对任意正实数，成立，即的图象总在的图象上方，
当时，的图象上的点在的图象上，不符合题意，
当时，对任意正实数x，，，恒有，，
于是的图象上的点在的图象下方，不符合题意，
所以a的取值范围为.
故选：C.
13．答案：
解析：由题意可得：，即，
所以.
故答案为：.
14．答案：3
解析：设等比数列的公比为q，
由题意可得：，，
则，
可得，
所以.
故答案为：3.
15．答案：①②④
解析：对于①：取平面为平面，
因为为正方形，则，
又因为平面，平面，则，
且，，平面，
可得平面，即，故①为真命题；
对于②：显然此时平面与平面不重合，
因为平面平面，
且平面平面，平面平面，可得，
又因为，，可知为平行四边形，则，
可知当l不与重合时，，故②为真命题；
对于③：例如截面，可知截面为边长为的等边三角形，符合题意，
且，故③为假命题；
对于④：由②可知：，
且平面，平面，则平面，
因为点P在线段上运动，则点P到平面的距离相等，
不妨取点P为点B，设点B到平面的距离为h，
因为，则，解得，
所以点P到平面的距离为，故④为真命题；
故答案为：①②④.
16．答案：；
解析：由题意可知：，渐近线，即，
则点到渐近线的距离为，
因，可知，
则，可得，
则，
由题意可知：四边形OAFB的外接圆M即为以OF为直径的圆，
则，
可得，
当且仅当时，等号成立，
可知的最大值为，此时双曲线的离心率为.
故答案为：；.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）设等差数列的为d，
由，，
得，解得，
所以；
（2）由（1）得，
当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
所以
.
18．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）连接点B与中点G，连接，
由E为中点，四边形为正方形，故，
由F为中点，结合正方体的性质可得，
故，故A、F、、E四点共面，
故点A在平面内；
（2）连接点与中点H，由，，故，
故，且点O在线段上，
由点E，F分别是棱，的中点，
结合正方体的性质可得，又，
故，又，故，
又、平面，，
故平面，又平面，
故.
19．答案：（1）模型②
（2）（i）；（ⅱ）预测12月份的销售量大约是13.9万件
解析：（1）由散点图可知增加幅度不一致，且散点图接近于曲线，非线性，
结合图象故选模型②.
（2）（i）令，则，
可得，，
则，，
所以y关于t的回归方程为，
即y关于x的回归方程；
（ⅱ）令，可得，
预测12月份的销售量大约是13.9万件.
20．答案：（1）1
（2）1
解析：（1）由，
则，
又，所以，即；
（2）由（1）可知，
设，
则，
则当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，，
又，，
所以在上无零点，在上有一个零点；
从而在上有1个零点.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可知：，，，，
则，，，
可得，解得，
所以C的方程为.
（2）由题意可知：，，直线PQ的斜率可能不存在，但不为0，且直线PQ必与C相交，
设，，，，，
联立方程，消去x得，
则，，
可得，
因为，则，可得
即，
令，则，可得，，解得，
即
因为，，
可得，，
则，
所以的取值范围为.
22．答案：（1）答案见解析
（2）2
解析：（1）由直线l的参数方程为(t为参数)可知直线l过定点，斜率为，
所以l的普通方程为，即；
圆C的极坐标方程为可知圆C的圆心为，半径为2，
所以C的直角坐标方程.
（2）将代入整理得，
则，可知l与C相交，
且，设点A，B对应参数分别为，，
则，所以.
23．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）当时，，
当时，，
当时，，
故的最小值为.
（2）由（1）可知，，即，即，
则有，
即，即，
当且仅当时，等号成立.