新高考数学二轮培优大题优练3 统计(2份打包,原卷版+教师版)
展开优选例题
例1.某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况,记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位: SKIPIF 1 < 0 ),并绘制频率分布直方图如下:
(1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数;(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
(2)一次进货太多,水果会变得不新鲜;进货太少,又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜,又能80%地满足顾客的需求(在10天中,大约有8天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果?(精确到整数位)
【答案】(1)众数为85,平均数为 SKIPIF 1 < 0 ;(2)每天应该进98千克苹果.
【解析】(1)如图示:区间 SKIPIF 1 < 0 频率最大,所以众数为85,
平均数为: SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
(2)日销售量 SKIPIF 1 < 0 的频率为 SKIPIF 1 < 0 ,日销量 SKIPIF 1 < 0 的频率为 SKIPIF 1 < 0 ,
故所求的量位于 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
故每天应该进98千克苹果.
例2.某电影制片厂从2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长(单位:分钟)如图所示.
(1)从2011年至2020年中任选一年,求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率;
(2)从2011年至2020年中任选两年,设 SKIPIF 1 < 0 为选出的两年中动画影片时长大于纪录影片时长的年数,求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和数学期望 SKIPIF 1 < 0 ;
(3)将2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为 SKIPIF 1 < 0 ,试比较 SKIPIF 1 < 0 的大小.(只需写出结论)
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ;(2)分布列见解析, SKIPIF 1 < 0 ;(3) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)从2011年至2020年中任选一年,动画影片时长大于纪录影片时长的年份分别是2011年,2015年,2017年,2018年,2019年和2020年,共6年.
记从2011年至2020年中任选一年,此年动画影片时长大于纪录影片时长为事件 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 .
(2) SKIPIF 1 < 0 的所有可能取值为0,1,2.
SKIPIF 1 < 0 ; SKIPIF 1 < 0 ; SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 的分布列为
数学期望 SKIPIF 1 < 0 .
(3)科教影片所记录时长波动较大,方差最大,动画影片、纪录影片的时长需计算出方差才能确定.
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ;
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
例3.2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查,为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(文、理科试卷满分均为 SKIPIF 1 < 0 分),并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了 SKIPIF 1 < 0 名学生的成绩,按照成绩为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分成了 SKIPIF 1 < 0 组,制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于 SKIPIF 1 < 0 分).
(1)求频率分布直方图中的 SKIPIF 1 < 0 的值,并估计所抽取的 SKIPIF 1 < 0 名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)若高三年级共有 SKIPIF 1 < 0 名学生,试估计高三学生中这次测试成绩不低于 SKIPIF 1 < 0 分的人数;
(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于 SKIPIF 1 < 0 分的三组学生中抽取 SKIPIF 1 < 0 人,再从这 SKIPIF 1 < 0 人中随机抽取 SKIPIF 1 < 0 人参加这次考试的考后分析会,试求后两组中至少有 SKIPIF 1 < 0 人被抽到的概率.
【答案】(1)74, SKIPIF 1 < 0 ;(2)1200;(3) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)由频率分布直方图可得第4组的频率为 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 .
故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为
SKIPIF 1 < 0 (分).
由于前两组的频率之和为 SKIPIF 1 < 0 ,前三组的频率之和为 SKIPIF 1 < 0 ,
故中位数在第3组中.
设中位数为 SKIPIF 1 < 0 分,则有 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
即所求的中位数为 SKIPIF 1 < 0 分.
(2)由(1)可知,50名学生中成绩不低于70分的频率为 SKIPIF 1 < 0 ,
由以上样本的频率,可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为 SKIPIF 1 < 0 .
(3)由(1)可知,后三组中的人数分别为15,10,5,
故这三组中所抽取的人数分别为3,2,1.
记成绩在 SKIPIF 1 < 0 这组的3名学生分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,成绩在 SKIPIF 1 < 0 这组的2名学生分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
成绩在 SKIPIF 1 < 0 这组的1名学生为 SKIPIF 1 < 0 ,
则从中任抽取3人的所有可能结果为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 共20种,
其中后两组中没有人被抽到的可能结果为 SKIPIF 1 < 0 ,只有1种,
故后两组中至少有1人被抽到的概率为 SKIPIF 1 < 0 .
模拟优练
1. SKIPIF 1 < 0 年 SKIPIF 1 < 0 月,习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示,要求进一步加强宣传教育,切实培养节约习惯,在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围.为贯彻总书记指示,大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者,协助食堂宣传节约粮食的相关活动.现已有高一 SKIPIF 1 < 0 人,高二 SKIPIF 1 < 0 人,高三 SKIPIF 1 < 0 人报名参加志愿活动.根据活动安排,拟采用分层抽样的方法,从已报名的志愿者中抽取 SKIPIF 1 < 0 名志愿者,参加为期 SKIPIF 1 < 0 天的第一期志愿活动.
(1)第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人?
(2)现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取 SKIPIF 1 < 0 人去粘贴宣传标语,设这 SKIPIF 1 < 0 人中含有高二学生 SKIPIF 1 < 0 人,求随机变量 SKIPIF 1 < 0 的分布列;
(3)食堂每天约有 SKIPIF 1 < 0 人就餐,其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量(单位:公斤),以 SKIPIF 1 < 0 天为单位来衡量宣传节约粮食的效果.在一个周期内,这组志愿者记录的数据如下:
前 SKIPIF 1 < 0 天剩菜剩饭的重量为: SKIPIF 1 < 0 ;
后 SKIPIF 1 < 0 天剩菜剩饭的重量为: SKIPIF 1 < 0 ,
借助统计中的图、表、数字特征等知识,分析宣传节约粮食活动的效果(选择一种方法进行说明即可).
【答案】(1)6人,4人,2人;(2)答案见解析;(3)答案见解析.
【解析】(1)报名的学生共有126人,抽取的比例为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以高一抽取 SKIPIF 1 < 0 人,高二抽取 SKIPIF 1 < 0 人,高三抽取 SKIPIF 1 < 0 人.
(2)随机变量X的取值为2,3,4,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
所以随机变量X的分布列为
(3)法一、(数字特征)前10天的平均值为 SKIPIF 1 < 0 ,后10天的平均值为 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以宣传节约粮食活动的效果很好.
法二:(茎叶图)画出茎叶图
因为前10天的重量集中在23,24附近,而后10天的重量集中在20附近,
所以节约宣传后剩饭剩菜明显减少,宣传效果很好.
2.为了推进分级诊疗,实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式,某城市自2020年起全面推行家庭医生签约服务.已知该城市居民约为1000万,从0岁到100岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况,现调查了1000名年满18周岁的居民,各年龄段被访者签约率如图2所示.
(1)估计该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数;
(2)据统计,该城市被访者的签约率约为44%,为把该城市年满18周岁居民的签约率提高到55%以上,
应着重提高图2中哪个年龄段的签约率?并根据已有数据陈述理由.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 万;(2)应着重提高30-50这个年龄段的签约率,理由见解析.
【解析】(1)该城市年龄在50-60岁的签约人数为 SKIPIF 1 < 0 万;
在60-70岁的签约人数为 SKIPIF 1 < 0 万;
在70-80岁的签约人数为 SKIPIF 1 < 0 万;
在80岁以上的签约人数为 SKIPIF 1 < 0 万;
故该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数为: SKIPIF 1 < 0 万.
(2)年龄在10-20岁的人数为: SKIPIF 1 < 0 万;
年龄在20-30岁的人数为: SKIPIF 1 < 0 万.
所以,年龄在18-30岁的人数大于180万,小于230万,签约率为 SKIPIF 1 < 0 ;
年龄在30-50岁的人数为 SKIPIF 1 < 0 万,签约率为 SKIPIF 1 < 0 .
年龄在50岁以上的人数为 SKIPIF 1 < 0 万,签约率超过55%,上升空间不大.
故由以上数据可知这个城市在30-50岁这个年龄段的人数为370万,基数较其他年龄段是最大的,且签约率非常低,所以为把该地区满18周岁居民的签约率提高到以上,应着重提高30-50这个年龄段的签约率.
3.习近平总书记在党的十九大工作报告中提出,永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召的引领下,全国人民积极工作,健康生活.当前,“日行万步”正成为健康生活的代名词.某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动.界定日行步数不足 SKIPIF 1 < 0 千步的人为“不健康生活方式者”,不少于 SKIPIF 1 < 0 千步的人为“超健康生活方式者”,其他为“一般生活方式者”.某日,学校工会随机抽取了该校 SKIPIF 1 < 0 名教职工,统计他们的日行步数,按步数分组,得到频率分布直方图如图所示:
(1)求 SKIPIF 1 < 0 名教职工日行步数(千步)的样本平均数(结果四舍五入保留整数);
(2)由直方图可以认为该校教职工的日行步数 SKIPIF 1 < 0 (千步)服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 为样本平均数,标准差 SKIPIF 1 < 0 的近似值为 SKIPIF 1 < 0 ,求该校被抽取的 SKIPIF 1 < 0 名教职工中日行步数(千步) SKIPIF 1 < 0 的人数(结果四舍五入保留整数);
(3)用样本估计总体,将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取 SKIPIF 1 < 0 人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象,规定:“不健康生活方式者”给予精神鼓励,奖励金额每人 SKIPIF 1 < 0 元;“一般生活方式者”奖励金额每人 SKIPIF 1 < 0 元;“超健康生活方式者”奖励金额每人 SKIPIF 1 < 0 元.求工会慰问奖励金额 SKIPIF 1 < 0 的分布列和数学期望.
附:若随机变量 SKIPIF 1 < 0 服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)见解析;(2)54人;(3)分布列见解析,200.
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
(2)∵ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
走路步数 SKIPIF 1 < 0 的总人数为 SKIPIF 1 < 0 人.
(3)由题意知 SKIPIF 1 < 0 的可能取值为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 的分布列为:
SKIPIF 1 < 0 .
4.随着经济模式的改变,微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台.已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内,每售出 SKIPIF 1 < 0 吨该商品可获利润 SKIPIF 1 < 0 万元,未售出的商品,每 SKIPIF 1 < 0 吨亏损 SKIPIF 1 < 0 万元.根据往年的销售经验,得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示.已知电商为下一个销售季度筹备了 SKIPIF 1 < 0 吨该商品.现以 SKIPIF 1 < 0 (单位:吨, SKIPIF 1 < 0 )表示下一个销售季度的市场需求量, SKIPIF 1 < 0 (单位:万元)表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润.
(1)将 SKIPIF 1 < 0 表示为 SKIPIF 1 < 0 的函数,求出该函数表达式;
(2)根据直方图估计利润 SKIPIF 1 < 0 不少于57万元的概率;
(3)根据频率分布直方图,估计一个销售季度内市场需求量 SKIPIF 1 < 0 的平均数与中位数的大小(保留到小数点后一位).
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ;(2) SKIPIF 1 < 0 ;(3)平均数为 SKIPIF 1 < 0 (吨),估计中位数应为 SKIPIF 1 < 0 (吨).
【解析】(1)当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ;
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
所以, SKIPIF 1 < 0 .
(2)根据频率分布直方图及(1)知,
当 SKIPIF 1 < 0 时,由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时,由 SKIPIF 1 < 0 ,
所以,利润 SKIPIF 1 < 0 不少于57万元当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ,
于是由频率分布直方图可知市场需求量 SKIPIF 1 < 0 的频率为
SKIPIF 1 < 0 ,
所以下一个销售季度内的利润 SKIPIF 1 < 0 不少于57万元的概率的估计值为 SKIPIF 1 < 0 .
(3)估计一个销售季度内市场需求量 SKIPIF 1 < 0 的平均数为
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 (吨),
由频率分布直方图易知,
由于 SKIPIF 1 < 0 时,对应的频率为 SKIPIF 1 < 0 ,
而 SKIPIF 1 < 0 时,对应的频率为 SKIPIF 1 < 0 ,
因此一个销售季度内市场需求量 SKIPIF 1 < 0 的中位数应属于区间 SKIPIF 1 < 0 ,于是估计中位数应为 SKIPIF 1 < 0 (吨).
5.某微商对某种产品每天的销售量x件进行为期一个月的数据统计分析,并得出了该月销售量的直方图
(一个月按30天计算)如图所示.假设用直方图中所得的频率来估计相应的事件发生的概率.
(1)求频率分布直方图中的 SKIPIF 1 < 0 的值;
(2)求日销量的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)若微商在一天的销售量不低于25件,则上级商企会给微商赠送100元的礼金,估计该微商在一年内获得的礼金数.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ;(2) SKIPIF 1 < 0 ;(3) SKIPIF 1 < 0 (元).
【解析】(1)由题意可得 SKIPIF 1 < 0 .
(2)根据已知的频率分布直方图,日销售量的平均值为:
SKIPIF 1 < 0 .
(3)根据频率分布直方图,日销售量不低于25件的天数为: SKIPIF 1 < 0 ,
可获得的奖励为900元,
依此可以估计一年内获得的礼金数为 SKIPIF 1 < 0 元.
6.某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元), SKIPIF 1 < 0 表示购机的同时购买的易损零件数.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ,求y与x的函数解析式;
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于 SKIPIF 1 < 0 ”的频率不小于 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的最小值;
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ;(2)19;(3)购买1台机器的同时应购买19个易损零件.
【解析】(1)当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ;
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
所以与的函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为 SKIPIF 1 < 0 ,不大于19的频率为 SKIPIF 1 < 0 ,
故的最小值为19.
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,
则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800,20台的费用为4300,10台的费用为4800,
因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 SKIPIF 1 < 0 ;
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,
则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000,10台的费用为4500,
因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 SKIPIF 1 < 0 ,
比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.
7.某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨,通过试验田培育,得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率,并按发芽率分为 SKIPIF 1 < 0 组: SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.企业对康乃馨的种子进行分级,将发芽率不低于 SKIPIF 1 < 0 的种子定为“ SKIPIF 1 < 0 级”,发芽率低于 SKIPIF 1 < 0 但不低于 SKIPIF 1 < 0 的种子定为“ SKIPIF 1 < 0 级”,发芽率低于 SKIPIF 1 < 0 的种子定为“ SKIPIF 1 < 0 级”.
(1)现从这些康乃馨种子中随机抽取一种,估计该种子不是“ SKIPIF 1 < 0 级”种子的概率;
(2)该花卉企业销售花种,且每份“ SKIPIF 1 < 0 级”、“ SKIPIF 1 < 0 级”、“ SKIPIF 1 < 0 级”康乃馨种子的售价分别为 SKIPIF 1 < 0 元、 SKIPIF 1 < 0 元、 SKIPIF 1 < 0 元.某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份,共花费 SKIPIF 1 < 0 元,以频率为概率,求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和数学期望;
(3)企业改进了花卉培育技术,使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的 SKIPIF 1 < 0 倍,那么对于这些康乃馨的种子,与旧的发芽率数据的方差相比,技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化?若发生变化,是变大了还是变小了?(结论不需要证明).
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ;(2)分布列见解析,数学期望为 SKIPIF 1 < 0 ;(3)方差变大了.
【解析】(1)设事件 SKIPIF 1 < 0 为:“从这些康乃馨种子中随机抽取一种,且该种子不是“ SKIPIF 1 < 0 级”种子”,
由图表,得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
由图表,知“ SKIPIF 1 < 0 级”种子的频率为 SKIPIF 1 < 0 ,
故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种,该种子是“ SKIPIF 1 < 0 级”的概率为 SKIPIF 1 < 0 .
因为事件 SKIPIF 1 < 0 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种,且该种子是“ SKIPIF 1 < 0 级”种子”为对立事件,
所以事件 SKIPIF 1 < 0 的概率 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由题意,任取一颗种子,恰好是“ SKIPIF 1 < 0 级”康乃馨的概率为 SKIPIF 1 < 0 ,
恰好是“ SKIPIF 1 < 0 级”康乃馨的概率为 SKIPIF 1 < 0 ,
恰好是“ SKIPIF 1 < 0 级”的概率为 SKIPIF 1 < 0 .
随机变量 SKIPIF 1 < 0 的可能取值有 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,
且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的分布列为:
故 SKIPIF 1 < 0 的数学期望 SKIPIF 1 < 0 .
(3)与旧的发芽率数据的方差相比,技术改进后发芽率数据的方差变大了.
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
2
3
4
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
新高考数学二轮培优大题优练6 立体几何(2份打包,原卷版+教师版): 这是一份新高考数学二轮培优大题优练6 立体几何(2份打包,原卷版+教师版),文件包含新高考数学二轮培优大题优练6立体几何原卷版doc、新高考数学二轮培优大题优练6立体几何教师版doc等2份试卷配套教学资源,其中试卷共37页, 欢迎下载使用。
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