新高考数学二轮培优大题优练6 立体几何（2份打包，原卷版+教师版）

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优选例题
例1．已知四边形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．现将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 边折起，使得平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，平面 SKIPIF 1 < 0 将三棱锥 SKIPIF 1 < 0 分成两部分， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，求 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，
由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ﹐连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 的边长为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
例2．如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形， SKIPIF 1 < 0 ，将三角形 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起使平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）证明：因为面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接OP，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 方向为 SKIPIF 1 < 0 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
例3．如图，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）有三个条件；
① SKIPIF 1 < 0 ；
②直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ；
③二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
请你从中选择一个作为条件，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）选任何一个，结果均为 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）在 SKIPIF 1 < 0 上取点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 内相交直线，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，如图，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ．
选①， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量是 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
记直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 （即平面 SKIPIF 1 < 0 ）所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
选②，由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 （即 SKIPIF 1 < 0 ）与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
以下同选①．
选③，作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是二面角 SKIPIF 1 < 0 ，即二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，
已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
以下同选①．
模拟优练
1．在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由题意， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形且 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为中位线，
由（1）知： SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为h，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
2．如图，在五面体 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）证明：因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）如图，取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
易知 SKIPIF 1 < 0 三条直线两两垂直，
分别以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系．
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由图可知二面角 SKIPIF 1 < 0 为钝角，所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
3．如图①，在等腰三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．将 SKIPIF 1 < 0 沿直线 SKIPIF 1 < 0 折起到 SKIPIF 1 < 0 的位置，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到如图②所示的四棱锥 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）如图，在棱 SKIPIF 1 < 0 上取点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
由题意，知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，即四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）如图，分别取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由题意，知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向分别为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成锐二面角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
4．如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）如图，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为等腰梯形，且 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，∴平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
∵平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角．
在等边三角形 SKIPIF 1 < 0 中，易得 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
5．如图所示的多面体中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值；
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析；（3） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的平面角，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即可得 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）由（2），以 SKIPIF 1 < 0 为原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴正方向，
建立如下图所示空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，知 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；
设面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又二面角 SKIPIF 1 < 0 为锐角，∴二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
6．如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）线段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，求出的 SKIPIF 1 < 0 值；不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）证明：连接 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理，有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）如图，以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍)，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
7．如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上一点．
（1）在平面 SKIPIF 1 < 0 内能否作一条直线与平面 SKIPIF 1 < 0 垂直？若能，请画出直线并加以证明；若不能，请说明理由；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 时，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交棱 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为所求作的直线，
因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（如证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 、或寻找 SKIPIF 1 < 0 上任意一点作平行线、垂线都可）
（2）取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系．
则可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．