新高考数学一轮复习学案第08讲 函数的应用（2份打包，原卷版+解析版）

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一、函数的零点
对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，我们把使 SKIPIF 1 < 0 的实数 SKIPIF 1 < 0 叫做函数 SKIPIF 1 < 0 的零点.
二、方程的根与函数零点的关系
方程 SKIPIF 1 < 0 有实数根 SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 的图像与 SKIPIF 1 < 0 轴有公共点 SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 有零点.
三、零点存在性定理
如果函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 SKIPIF 1 < 0 ，那么函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内有零点，即存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 也就是方程 SKIPIF 1 < 0 的根.
四、二分法
对于区间 SKIPIF 1 < 0 上连续不断且 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0 ，通过不断地把函数 SKIPIF 1 < 0 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程 SKIPIF 1 < 0 的近似解就是求函数 SKIPIF 1 < 0 零点的近似值.
五、用二分法求函数 SKIPIF 1 < 0 零点近似值的步骤
（1）确定区间 SKIPIF 1 < 0 ，验证 SKIPIF 1 < 0 ，给定精度 SKIPIF 1 < 0 .
（2）求区间 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 .
（3）计算 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 就是函数 SKIPIF 1 < 0 的零点；若 SKIPIF 1 < 0 ，则令 SKIPIF 1 < 0 （此时零点 SKIPIF 1 < 0 ）.若 SKIPIF 1 < 0 ，则令 SKIPIF 1 < 0 （此时零点 SKIPIF 1 < 0 ）
（4）判断是否达到精确度 SKIPIF 1 < 0 ，即若 SKIPIF 1 < 0 ，则函数零点的近似值为 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ）；否则重复第（2）—（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
六、已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内的零点个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
例2．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为（ ）
A．0或 SKIPIF 1 < 0 B．0C． SKIPIF 1 < 0 D．0或 SKIPIF 1 < 0
例3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ，0C． SKIPIF 1 < 0 D．0
例4．（2022·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的零点一定位于下列哪个区间内（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．（－∞，－1）D．（－∞，－1）∪ SKIPIF 1 < 0
例6．（2022·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 仅有一个零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 的部分函数值如下表所示：
那么函数 SKIPIF 1 < 0 的一个零点近似值（精确度为0.1）为（ ）
A．0.45B．0.57C．0.78D．0.89
例8．（2022·全国·模拟预测）在药物代谢动力学中，注射药物后瞬时药物浓度 SKIPIF 1 < 0 （单位： SKIPIF 1 < 0 ）与时间 SKIPIF 1 < 0 （单位： SKIPIF 1 < 0 ）的关系式为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 时的药物浓度， SKIPIF 1 < 0 为常数.已知给某患者注射某剂量为 SKIPIF 1 < 0 的药物后，测得不同时间药物浓度如下：
x
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
SKIPIF 1 < 0
0.6321
SKIPIF 1 < 0
0.2776
0.0897
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
1.0
2.0
SKIPIF 1 < 0
109.78
80.35
则该药物的 SKIPIF 1 < 0 的值大约为（ ）
SKIPIF 1 < 0
A．0.287B．0.312C．0.323D．0.356
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的零点是（ ）
A．0，2B．0， SKIPIF 1 < 0 C．0， SKIPIF 1 < 0 D．2， SKIPIF 1 < 0
2．（2022·全国·高三专题练习（理））函数 SKIPIF 1 < 0 的零点是（ ）
A．(-1，0)B．x=0C．-1D．1
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ，0C． SKIPIF 1 < 0 D．0
4．（2022·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的零点之和为（ ）
A．-1B．1C．-2D．2
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 若函数 SKIPIF 1 < 0 存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 实数根的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的一个零点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象是连续的曲线，且部分对应值表如下：
则方程 SKIPIF 1 < 0 必存在有根的一个区间是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．（2022·全国·高三专题练习）用二分法求方程 SKIPIF 1 < 0 的近似解时，可以取的一个区间是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列区间中， SKIPIF 1 < 0 的零点所在的区间是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．（2022·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的一个零点在区间 SKIPIF 1 < 0 内，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的零点位于区间 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
13．（2022·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的零点所在的大致区间为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
14．（2022·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间（－1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．（2，＋∞）D．（0，2）
15．（2022·江苏·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点分别在区间 SKIPIF 1 < 0 和区间 SKIPIF 1 < 0 内，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
1
2
3
4
5
SKIPIF 1 < 0
1.4
3.5
5.4
－5.5
－6.7
16．（2022·全国·高三专题练习（理））若关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 有实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:
由二分法,方程 SKIPIF 1 < 0 的近似解(精确度0.05)可能是（ ）
A．0.625B．-0.009C．0.5625D．0.066
18．（2022·浙江·高三专题练习）某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
19．（2022·浙江·高三专题练习）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位： SKIPIF 1 < 0 ）满足函数关系 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0 SKIPIF 1 < 0 的保鲜时间是192小时，在22 SKIPIF 1 < 0 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 SKIPIF 1 < 0 的保鲜时间是（ ）
A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时
20．（2022·全国·高三专题练习）“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间 SKIPIF 1 < 0 （单位：天），增加总分数 SKIPIF 1 < 0 （单位：分）的函数模型： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为增分转化系数， SKIPIF 1 < 0 为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且 SKIPIF 1 < 0 ．现有某学生在高考前 SKIPIF 1 < 0 天的最后一次模考总分为 SKIPIF 1 < 0 分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为（ ）（ SKIPIF 1 < 0 ）x
0
0.5
0.53125
0.5625
0.625
0.75
1
f(x)
-1.307
-0.084
-0.009
0.066
0.215
0.512
1.099
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 分B． SKIPIF 1 < 0 分C． SKIPIF 1 < 0 分D． SKIPIF 1 < 0 分
21．（2022·全国·高三专题练习）为了研究疫情有关指标的变化，现有学者给出了如下的模型：假定初始时刻的病例数为N0，平均每个病人可传染给K个人，平均每个病人可以直接传染给其他人的时间为L天，在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位：天)的关系式为N(t)=N0(1+K)t，若N0=2，K=2.4，则利用此模型预测第5天的病例数大约为（ ）(参考数据：lg1.4454≈18，lg2.4454≈7，lg3.4454≈5)
A．260B．580C．910D．1200
二、多选题
22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列区间中含 SKIPIF 1 < 0 零点的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
23．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 若函数 SKIPIF 1 < 0 恰有2个零点，则实数m可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0C．1D．2
三、填空题
24．（2022·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 的零点在区间 SKIPIF 1 < 0 上，则k的值为___________.
25．（2022·全国·高三专题练习（文））已知直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 有四个交点，则a的取值范围是___________．
26．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 ，若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是___________.
27．（2022·全国·高三专题练习）函数f（x）=（x-2）2-lnx的零点个数为______．
28．（2022·浙江·模拟预测）我国古代有一则家喻户晓的神话故事——后羿射日，在《淮南子･本经训》和《山海经･海内经》都有一定记载.如果被射下来的九个太阳中有一个距离地球约3500光年，如果将“3500光年”的单位“光年”换算成以”米”为单位，所得结果的数量级是___________（光年是指光在宇宙真空中沿直线经过一年时间的距离，光速 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；通常情况下，数量级是指一系列10的幂，例如数字 SKIPIF 1 < 0 的数量级是3）.29．（2022·全国·高三专题练习）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t(单位：min)后的温度是T，则T－Ta＝ SKIPIF 1 < 0 ，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期，现有一杯用85℃热水冲的速溶咖啡，放在21℃的房间中，如果咖啡降到37℃需要16min，那么这杯咖啡要从37℃降到29℃，还需要________ min．