新高考数学一轮复习学案第10讲 导数之单调性、最值、极值（2份打包，原卷版+解析版）

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一．函数单调性与导函数符号的关系
一般地，函数的单调性与其导数正负有以下关系：在某个区间 SKIPIF 1 < 0 内，如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么函数 SKIPIF 1 < 0 在该区间内单调递增；如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么函数 SKIPIF 1 < 0 在该区间内单调递减.
二．求可导函数单调区间的一般步骤
（1）确定函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
（3）把函数 SKIPIF 1 < 0 的间断点（即 SKIPIF 1 < 0 的无定义点）的横坐标和 SKIPIF 1 < 0 的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域分成若干个小区间；
（4）确定 SKIPIF 1 < 0 在各小区间内的符号，根据 SKIPIF 1 < 0 的符号判断函数 SKIPIF 1 < 0 在每个相应小区间内的增减性.
注①使 SKIPIF 1 < 0 的离散点不影响函数的单调性，即当 SKIPIF 1 < 0 在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时， SKIPIF 1 < 0 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，而显然 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调递增函数.
②若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 不恒为0），反之不成立.因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在这个区间为常值函数；同理，若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 单调递增；
SKIPIF 1 < 0 单调递增 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
SKIPIF 1 < 0 单调递减 SKIPIF 1 < 0 .
三．函数极值的概念
设函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处连续且 SKIPIF 1 < 0 ，若在点 SKIPIF 1 < 0 附近的左侧 SKIPIF 1 < 0 ，右侧 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为函数的极大值点；若在 SKIPIF 1 < 0 附近的左侧 SKIPIF 1 < 0 ，右侧 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为函数的极小值点.
函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.
四．求可导函数 SKIPIF 1 < 0 极值的一般步骤
（1）先确定函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域；
（2）求导数 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）求方程 SKIPIF 1 < 0 的根；
（4）检验 SKIPIF 1 < 0 在方程 SKIPIF 1 < 0 的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数 SKIPIF 1 < 0 在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数 SKIPIF 1 < 0 在这个根处取得极小值.
注①可导函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处取得极值的充要条件是： SKIPIF 1 < 0 是导函数的变号零点，即 SKIPIF 1 < 0 ，且在 SKIPIF 1 < 0 左侧与右侧， SKIPIF 1 < 0 的符号导号.② SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 为极值点的既不充分也不必要条件，如 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 不是极值点.
SKIPIF 1 < 0 为可导函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点 SKIPIF 1 < 0 ；但 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的极值点.
五．函数的最大值、最小值
若函数 SKIPIF 1 < 0 在闭区间 SKIPIF 1 < 0 上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在 SKIPIF 1 < 0 上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
六．求函数的最大值、最小值的一般步骤
设 SKIPIF 1 < 0 是定义在区间 SKIPIF 1 < 0 上的函数， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 可导，求函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值与最小值，可分两步进行：
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内的极值；
（2）将函数 SKIPIF 1 < 0 的各极值与端点处的函数值 SKIPIF 1 < 0 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
【典型例题】
例1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期中（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 图象上的点 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求a，b的值；
（2） SKIPIF 1 < 0 的极值．
例2．（2021·陕西礼泉·高三开学考试（文））设 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
（2）讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性.
例3．（2022·全国·高三专题练习）有三个条件：①函数 SKIPIF 1 < 0 的图象过点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时取得极大值 SKIPIF 1 < 0 ；③函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，这三个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整（只要填写序号），并解答本题．
题目：已知函数 SKIPIF 1 < 0 存在极值，并且______．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的最值
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间和极值；
（2）若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上取得最小值4，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性.
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
【技能提升训练】一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）f(x)是定义在R上的奇函数，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导函数，且当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式f（x﹣1）＞0的解集为（ ）
A．（0，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在下列区间上为增函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，则关于 SKIPIF 1 < 0 的结论正确的是（ ）
A．在区间 SKIPIF 1 < 0 上为减函数
B．在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值
C．在区间 SKIPIF 1 < 0 上为增函数
D．在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值
4．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是可导函数， SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，则不等式 SKIPIF 1 < 0 解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的增区间为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数 SKIPIF 1 < 0 的图像如图所示，那么函数 SKIPIF 1 < 0 的图像最有可能的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·江苏·高三专题练习）下列关于函数 SKIPIF 1 < 0 的结论中，正确结论是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是极大值， SKIPIF 1 < 0 是极小值；
B． SKIPIF 1 < 0 没有最大值，也没有最小值；
C． SKIPIF 1 < 0 有最大值，没有最小值；
D． SKIPIF 1 < 0 有最小值，没有最大值.
9．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 有极值，则c的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．（2022·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．既有极大值，也有极小值B．有极小值，无极大值
C．有极大值，无极小值D．既无极大值，也无极小值
11．（2022·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 可导，则“ SKIPIF 1 < 0 有实根”是“ SKIPIF 1 < 0 有极值”的（ ）．
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．（2022·全国·高三专题练习） 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
13．（2022·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处有极值10，则a，b的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的极值点 SKIPIF 1 < 0 ，则满足条件的 SKIPIF 1 < 0 取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
15．（2022·全国·高三专题练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的（ ）
A．极小值点为 SKIPIF 1 < 0 ，极大值点为 SKIPIF 1 < 0 B．极小值点为 SKIPIF 1 < 0 ，极大值点为 SKIPIF 1 < 0
C．极小值点为 SKIPIF 1 < 0 ，极大值点为 SKIPIF 1 < 0 D．极小值点为 SKIPIF 1 < 0 ，极大值点为 SKIPIF 1 < 0
16．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有最大值，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
17．（2022·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内有最小值，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
18．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在最小值，则实数m的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
19．（2022·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 ，在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调，则实数m的取值范围可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
20．（2022·全国·高三专题练习）下图是函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极小值点
C． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极小值点
D． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极大值点
21．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 ，其导函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，在 SKIPIF 1 < 0 上递减
C．函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
D．函数 SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0
22．（2022·全国·高三专题练习）己知函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，则下列判断正确的（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时取极小值B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时取极大值
C． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 极小值点D． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 极小值点
23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值D． SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值
三、填空题
24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间是 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为________.
25．（2022·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 在区间（-1,1）上为单调减函数，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是__________．
26．（2022·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域内是增函数，则实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______.
27．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则实数a的取值范围是___________.
28．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值，则 SKIPIF 1 < 0 的极大值为__________
29．（2022·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点是___________.
30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=x3＋3mx2＋nx＋m2在x=－1时有极值0，则m＋n=________.
31．（2022·全国·高三专题练习（理））函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______.
四、解答题
32．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间.
33．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 (其中常数 SKIPIF 1 < 0 )，讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
34．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
35．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性.
36．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性
37．（2022·全国·高三专题练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性.
38．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性.
39．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）求函数 SKIPIF 1 < 0 的极大值.
40．（2022·全国·高三专题练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时取得极值，求 SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
41．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值；
（2）若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为2，求它在该区间上的最大值．
42．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值和最小值．
43．（2021·天津市第一零二中学高三期中）设函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的极大值点与极小值点；
（3）求 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值与最小值．
44．（2021·宁夏·银川一中高三阶段练习（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
（1）讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值 SKIPIF 1 < 0 ．
45．（2021·山东·高三阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值．
46．（2021·北京交通大学附属中学高三开学考试）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集；
（2）求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间和极值；
（3）函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值和最小值；
（4）若在区间 SKIPIF 1 < 0 上，函数 SKIPIF 1 < 0 总有最小值，求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（5）在函数 SKIPIF 1 < 0 的图像上是否一定存在两条互相垂直的切线？（本问直接写出结论，不需写理由）