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新高考数学一轮复习课件第2章函数导数及其应用第4讲 幂函数与二次函数（含解析）
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这是一份新高考数学一轮复习课件第2章函数导数及其应用第4讲 幂函数与二次函数（含解析），共39页。PPT课件主要包含了幂函数，1幂函数的定义，量α是常数，名师点睛，＞0且Δ＜0”，＜0且Δ＜0”，题组一走出误区，答案ABD，题组二走进教材点，答案C等内容，欢迎下载使用。
一般地，形如 y＝xα的函数称为幂函数，其中 x 是自变
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
【名师点睛】巧记幂函数 y＝xα的图象
五个幂函数在第一象限内的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”，即α＞0(α≠1)时的图象是抛物线型(α＞1 时的图象是竖直抛物线型，0＜α＜1 时的图象是横卧抛物线型)，α＜0 时的图象是双曲线型.
2.二次函数的图象和性质
(1)注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项
系数大于零与小于零两种情况讨论.(2)一元二次不等式恒成立的条件
①“ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a
②“ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a
1.(多选题)下列结论中错误的是(
A.y＝x0的图象是一条直线B.若幂函数y＝xn是奇函数，则y＝xn是增函数C.二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是奇函数D.当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数
3.(教材改编题)函数f(x)＝x2 －2x＋3 在闭区间[0,3]上
的最大值为________，最小值为________.
考点一 幂函数的图象和性质
3.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x (n∈Z)的图象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则 n 的值为
解析：由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1，解得n＝1 或 n＝－3，经检验只有 n＝1 符合题意.故选 B.答案：B
(1)幂函数的形式是 y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，
因此只需一个条件即可确定其解析式.
(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴.
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
考点二 二次函数的图象与性质
考向 1 二次函数的图象
通性通法：抛物线的开口方向、对称轴位置、定义区
间三者相互制约，要注意分类讨论.
[例 1]如图 2-4-2 所示是二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点 A(－3,0)，对称轴为 x＝－1.给出下面四个结论：图 2-4-2①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.
解析：结合题中图象可知该函数的图象与 x 轴交于两点，所以 b2－4ac＞0，即 b2＞4ac，①正确；又对称轴为
x＝－1 时，y＞0，即 a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为x＝－1 知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以 a＜0，所以 5a＜2a，即 5a＜b，④正确.
考向 2 二次函数的单调性
通性通法：处理数学中的问题要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解).
[例 2](多选题)若函数 f(x)＝(x－1)|x＋a|在区间(1,2)上
单调递增，则满足条件的实数 a 的值可能是(
解析：根据题意可知 f(x)＝
考向 3 二次函数中的恒成立问题
通性通法：由不等式恒成立求参数取值范围的关键解题思路，一是分离参数；二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域.
[例 3]已知函数 f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上不等
式 f(x)＞2x＋m 恒成立，求实数 m 的取值范围.
解：由题意可知，f(x)＞2x＋m 等价于 x2－x＋1＞2x＋
m，即x2－3x＋1－m＞0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＞0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)在[－1,1]上的最小值大于0即可.∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1＞0得m＜－1.因此，满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1).
【考法全练】1.(考向 2)已知二次函数 f(x)满足 f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,2]上单调递增，若 f(a)≥f(0)，则实数 a 的取值范围
)A.[0，＋∞)B.(－∞，0]C.(－∞，0]∪[4，＋∞)D.[0,4]
解析：∵f(x)满足 f(2＋x)＝f(2－x)，∴对称轴是 x＝2，又 f(x)在[0,2]上单调递增，则抛物线的开口向下，且 f(x)在[2,4]上单调递减，∵f(a)≥f(0)，则 f(a)≥f(4)，所以根据二次函数的单调性并结合图象可得 0≤a≤4.故选 D.
2.(2021 年历下月考)已知函数 f(x)＝－x2＋ax＋b(a，b∈R)的图象顶点的纵坐标为 0，若关于 a 的不等式 f(x)＞c－1 的解集为(m－4，m)，则实数 c 的值为________.
3.(考向 3)已知 a 是实数，函数 f(x)＝2ax2＋2x－3 在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数 a 的取值范围为________.
⊙分类讨论思想在二次函数最值问题中的应用
[例 4]已知函数 f(x)＝ax2＋2ax＋1 在区间[－1,2]上有最
大值 4，求实数 a 的值.解：f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
①当 a＝0 时，函数 f(x)在区间[－1,2]上的值为常数 1，
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.
设函数 f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数
解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，
函数图象的对称轴为 x＝1.
当 t＋1≤1，即 t≤0 时，函数图象如图 D4(1)所示，函
数 f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，
所以最小值为 f(t＋1)＝t2＋1；
图 D4当 t<1
一般地，形如 y＝xα的函数称为幂函数，其中 x 是自变
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
【名师点睛】巧记幂函数 y＝xα的图象
五个幂函数在第一象限内的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”，即α＞0(α≠1)时的图象是抛物线型(α＞1 时的图象是竖直抛物线型，0＜α＜1 时的图象是横卧抛物线型)，α＜0 时的图象是双曲线型.
2.二次函数的图象和性质
(1)注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项
系数大于零与小于零两种情况讨论.(2)一元二次不等式恒成立的条件
①“ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a
②“ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a
1.(多选题)下列结论中错误的是(
A.y＝x0的图象是一条直线B.若幂函数y＝xn是奇函数，则y＝xn是增函数C.二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是奇函数D.当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数
3.(教材改编题)函数f(x)＝x2 －2x＋3 在闭区间[0,3]上
的最大值为________，最小值为________.
考点一 幂函数的图象和性质
3.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x (n∈Z)的图象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则 n 的值为
解析：由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1，解得n＝1 或 n＝－3，经检验只有 n＝1 符合题意.故选 B.答案：B
(1)幂函数的形式是 y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，
因此只需一个条件即可确定其解析式.
(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴.
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
考点二 二次函数的图象与性质
考向 1 二次函数的图象
通性通法：抛物线的开口方向、对称轴位置、定义区
间三者相互制约，要注意分类讨论.
[例 1]如图 2-4-2 所示是二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点 A(－3,0)，对称轴为 x＝－1.给出下面四个结论：图 2-4-2①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.
解析：结合题中图象可知该函数的图象与 x 轴交于两点，所以 b2－4ac＞0，即 b2＞4ac，①正确；又对称轴为
x＝－1 时，y＞0，即 a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为x＝－1 知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以 a＜0，所以 5a＜2a，即 5a＜b，④正确.
考向 2 二次函数的单调性
通性通法：处理数学中的问题要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解).
[例 2](多选题)若函数 f(x)＝(x－1)|x＋a|在区间(1,2)上
单调递增，则满足条件的实数 a 的值可能是(
解析：根据题意可知 f(x)＝
考向 3 二次函数中的恒成立问题
通性通法：由不等式恒成立求参数取值范围的关键解题思路，一是分离参数；二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域.
[例 3]已知函数 f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上不等
式 f(x)＞2x＋m 恒成立，求实数 m 的取值范围.
解：由题意可知，f(x)＞2x＋m 等价于 x2－x＋1＞2x＋
m，即x2－3x＋1－m＞0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＞0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)在[－1,1]上的最小值大于0即可.∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1＞0得m＜－1.因此，满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1).
【考法全练】1.(考向 2)已知二次函数 f(x)满足 f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,2]上单调递增，若 f(a)≥f(0)，则实数 a 的取值范围
)A.[0，＋∞)B.(－∞，0]C.(－∞，0]∪[4，＋∞)D.[0,4]
解析：∵f(x)满足 f(2＋x)＝f(2－x)，∴对称轴是 x＝2，又 f(x)在[0,2]上单调递增，则抛物线的开口向下，且 f(x)在[2,4]上单调递减，∵f(a)≥f(0)，则 f(a)≥f(4)，所以根据二次函数的单调性并结合图象可得 0≤a≤4.故选 D.
2.(2021 年历下月考)已知函数 f(x)＝－x2＋ax＋b(a，b∈R)的图象顶点的纵坐标为 0，若关于 a 的不等式 f(x)＞c－1 的解集为(m－4，m)，则实数 c 的值为________.
3.(考向 3)已知 a 是实数，函数 f(x)＝2ax2＋2x－3 在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数 a 的取值范围为________.
⊙分类讨论思想在二次函数最值问题中的应用
[例 4]已知函数 f(x)＝ax2＋2ax＋1 在区间[－1,2]上有最
大值 4，求实数 a 的值.解：f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
①当 a＝0 时，函数 f(x)在区间[－1,2]上的值为常数 1，
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.
设函数 f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数
解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，
函数图象的对称轴为 x＝1.
当 t＋1≤1，即 t≤0 时，函数图象如图 D4(1)所示，函
数 f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，
所以最小值为 f(t＋1)＝t2＋1；
图 D4当 t<1
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