新高考数学一轮复习课件第7章平面解析几何第2讲 两直线的位置关系（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习课件第7章平面解析几何第2讲 两直线的位置关系（含解析），共57页。PPT课件主要包含了三个距离公式，名师点睛，题组一，走出误区，到直线的距离，答案1×，2×3√，题组二，走进教材，答案C等内容，欢迎下载使用。

1.两条直线的位置关系
(1)两直线平行的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).(2)两直线垂直的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点
2.(教材改编题)若 A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2，12)，则下面四个结论：①AB∥CD；②AB⊥AD；③AC∥
BD；④AC⊥BD 中正确的个数为(
3.(教材改编题)已知点(a,2)(a>0)到直线 l：x－y＋3＝0
的距离为 1，则 a 等于(
[例 1](1)(2021 年江西模拟)设不同直线l1 ：x－my＋1＝0，l2：(m－1)x－2y－2＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的
)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
(2)已知三条直线 2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－
y－1＝0 不能构成三角形，则实数 m 的取值集合为(
(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意 x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件.
(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线
方程的系数间的关系得出结论.
(2021年遵化期中)已知直线L1：ax＋2y＋6＝0和直线L2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0，a∈R.(1)当L1⊥L2时，求a的值；(2)当L1与L2平行时，求a的值.
两直线的交点与距离问题
[例 2](1)若三条直线 y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0
相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为(
(2)(2021 年上海青浦高级中学月考)在平面直角坐标系中，记 d 为点 P(cs θ，sin θ)到直线 x－my－2＝0 的距离.
当θ，m 变化时，d 的最大值为(
解析：因为 cs2θ＋sin2θ＝1，所以 P 为单位圆上一点.而直线 x－my－2＝0 过点 A(2,0)，记坐标原点为 O，所以d 的最大值为|OA|＋1＝2＋1＝3.答案：C
(1)求过两直线交点的直线方程的方法：求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式的注意点
①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线
y＝b的距离d＝|y0－b|.
②应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y
1.已知曲线y＝ax(a>0且a≠1)恒过点A(m，n)，则点A
到直线 x＋y－3＝0 的距离为________.
解析：由题意，可知曲线 y＝ax(a>0 且 a≠1)恒过点(0,1)，所以 A(0,1).所以点 A 到直线 x＋y－3＝0 的距离 d＝
2.直线 l 过点 P(－1,2)且到点 A(2,3)和点 B(－4,5)的距离相等，则直线 l 的方程为________.
当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x＝－1，也符合题意.答案：x＋3y－5＝0 或 x＝－1
[例 3]过点 P(0,1)作直线 l，使它被直线 l1：2x＋y－8＝0 和 l2：x－3y＋10＝0 截得的线段被点 P 平分，则直线l 的方程为________.
解析：设 l1 与 l 的交点为 A(a,8－2a)，则由题意知，点A 关于点 P 的对称点 B(－a,2a－6)在 l2 上，代入 l2 的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得 a＝4，即点 A(4,0)在直线 l上，所以直线 l 的方程为 x＋4y－4＝0.
答案：x＋4y－4＝0
[例 4]如图 7-2-1，已知 A(4,0)，B(0,4)，从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上，最后经直线
OB 反射后又回到点 P，则光线所经过的路程是(图 7-2-1
直线关于直线的对称问题
[例 5]直线 2x－y＋3＝0 关于直线 x－y＋2＝0 对称的直线方程是________.
答案：x－2y＋3＝0
【题后反思】解决对称问题的方法(1)中心对称①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.
(2)轴对称①点 A(a，b)关于直线 Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为 A′(m，n)，
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
【考法全练】1.(考向 1)若点(a，b)关于直线 y＝2x 的对称点在 x 轴
上，则 a，b 满足的条件为(A.4a＋3b＝0B.3a＋4b＝0C.2a＋3b＝0D.3a＋2b＝0
解析：设点(a，b)关于直线 y＝2x 的对称点为(t,0)，
解得 4a＋3b＝0.
2.(考向 3)直线 l：x－y－2＝0 关于直线 3x－y＋3＝0对称的直线方程是________.
答案：7x＋y＋22＝0
3.(考向 2)已知△ABC 的顶点 A(1,2)，B(－1，－1)，直线 l：2x＋y－1＝0 是△ABC 的一个内角平分线，求 BC 边所在直线的方程及点 C 到 AB 的距离.
解：∵A(1,2)，B(－1，－1)均不在直线 2x＋y－1＝0
∴2x＋y－1＝0 为∠ACB 的平分线.
设 A(1,2)关于直线 2x＋y－1＝0 对称的点为 A′，则
A′一定在直线 BC 上，
⊙巧用直线系求直线方程
(1)共点直线系方程：经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中A1B2－A2B1≠0，待定系数λ∈R.在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2.
(2)过定点(x0，y0)的直线系方程为 y－y0＝k(x－x0)(k 为
(3)平行直线系方程：与直线 y＝kx＋b 平行的直线系方程为 y＝kx＋m(m 为参数且 m≠b)；与直线 Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是 Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C).(4) 垂直直线系方程：与直线 Ax ＋By＋C ＝0(A≠0 ，B≠0)垂直的直线系方程是 Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数).如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一
个条件待定时，那么可选用直线系方程来求解.
[例 6](1)求证：动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0(其中 m∈R)恒过定点，并求出定点坐标.
将点A(－1,2)的坐标代入动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0中，(m2＋2m＋3)×(－1)＋(1＋m－m2)×2＋3m2＋1＝(3－1－2)m2＋(－2＋2)m＋2＋1－3＝0，故动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0恒过定点A(－1,2).
(2)求经过两直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2：x＋y－2＝0 的交点 P，且与直线 l3：3x－4y＋5＝0 垂直的直线 l 的方程.
(方法二)设所求直线方程为 4x＋3y＋m＝0，
将法一中求得的交点 P(0,2)代入上式可得 m＝－6，故所求直线方程为 4x＋3y－6＝0.
(方法三)设直线 l 的方程为 x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直线 l 的方程为 4x＋3y－6＝0.
[引申]若将本例(2)中的“垂直”改为“平行”，则直
线 l 的方程为 3x－4y＋8＝0.
【题后反思】确定方程含参数的直线所过定点的方法(1)将直线方程写成点斜式 y－y0＝f(λ)(x－x0)，从而确
定定点(x0，y0)；
(2)将直线方程整理成关于参数的方程，由方程中各项
系数及常数项为 0 确定定点坐标；
(3)给参数取两个不同值，再解直线方程构成的方程
组，从而确定定点坐标.
【高分训练】1.经过两条直线 2x＋3y＋1＝0 和 x－3y＋4＝0 的交点，并且垂直于 3x＋4y－7＝0 的直线方程为________.
即 4x－3y＋9＝0.答案：4x－3y＋9＝0
2.经过两直线 l1 ：2x－3y＋2＝0 与 l2：3x－4y－2＝0
的交点，且平行于直线 4x－2y＋7＝0 的直线方程是(A.x－2y＋9＝0B.4x－2y＋9＝0C.2x－y－18＝0D.x＋2y＋18＝0
l1，l2 的交点坐标是(14,10).设与直线 4x－2y＋7＝0 平行的直线 l 的方程为 4x－2y＋C＝0(C≠7).因为直线 l 过直线l1 与 l2 的交点(14,10)，所以 C＝－36.所以直线 l 的方程为4x－2y－36＝0，即 2x－y－18＝0.故选 C.答案：C
3.若直线 mx＋4y－2＝0 与直线 2x－5y＋n＝0 垂直，
垂足为(1，p)，则实数 n 的值为(
解析：由直线 mx＋4y－2＝0 与直线 2x－5y＋n＝0 垂
直，得 2m－20＝0，即 m＝10.
由垂足(1，p)在直线 mx＋4y－2＝0 上，得 p＝－2，∴垂足坐标为(1，－2).
又垂足在直线 2x－5y＋n＝0 上，得 n＝－12.
4.(2021 年瑶海区月考)若直线 l1：x＋ay＋6＝0 与 l2：
(a－2)x＋3y＋2a＝0 平行，则 l1，l2 间的距离是(