新高考数学一轮复习课件第9章计数原理概率随机变量及其分布第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习课件第9章计数原理概率随机变量及其分布第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（含解析），共37页。PPT课件主要包含了题组一，走出误区，以相同，接完成这件事，答案1×，2√3√，题组二，走进教材，答案24，题组三等内容，欢迎下载使用。

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤
的方法是各不相同的.(
(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其
中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(
2.(教材改编题)现有 5 种不同颜色要对如图 9-1-1 所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一
种颜色，则不同的着色方法共有(图 9-1-1
B.180 种 　　　C.60 种 　　　D.48 种
A.120 种答案：B
3.(教材改编题)书架的第一层放有 4 本不同的科技书，第二层放有 3 本不同的漫画书，第三层放有 2 本不同的文学书，从书架的第一、二、三层各取 1 本书，有________种不同的取法.
4.(2020 年上海)已知 A＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，a，b∈A，则|a|＜|b|的情况有______种.答案：18
分类加法计数原理的应用
1.满足 a，b∈{－1,0,1,2}，则关于 x 的方程 ax2＋2x＋
b＝0 有实数解的有序数对(a，b)的个数为(
解析：方程 ax2＋2x＋b＝0 有实数解的情况应分类讨论.①当 a＝0 时，方程为一元一次方程 2x＋b＝0，不论 b取何值，方程一定有解.此时 b 的取值有 4 个，故此时有 4个有序数对.
②当 a≠0 时，需要Δ＝4－4ab≥0，即 ab≤1.显然有 3个有序数对不满足题意，分别为(1,2)，(2,1)，(2,2).a≠0 时，(a，b)共有 3×4＝12(个)有序数对，故 a≠0 时满足条件的有序数对有 12－3＝9(个)，所以答案应为 4＋9＝13.故选 B.
2.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称这样的三位数为“凸数”(如 120,343,275 等)，那么所
有“凸数”的个数为(A.240C.729
解析：若 a2＝2，则百位数字只能选 1，个位数字可
选1或0，“凸数”为120与121，共2个.若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个).若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个).所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个).故选A.
3.如果把个位数是 1，且恰有 3 个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由 1,2,3,4 四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个.
解析：当组成的数字有三个 1，三个 2，三个 3，三个4 时共有四种情况. 当有三个 1 时有 2 111,3 111, 4 111，1211,1 311,1 411,1 121,1 131,1 141 九种情况，当有三个 2,3,4时有 2 221,3 331,4 441 三种情况，根据分类加法计数原理可知，共有 12 种情况.
分步乘法计数原理的应用
[例 1](1)用 0,1,2,3,4,5 六个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是________；可以组成有重复数字的三位数的个数为________.(2)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为_______.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有_______种.
解析：(1)根据题意，若组成没有重复数字的三位数，其百位数字可以为 1,2,3,4,5，有 5 种情况，在剩下的 5 个数字中任选 2 个，作为十位和个位，有　 ＝20 种情况，则有 5×20＝100 种情况，即可以组成 100 个没有重复数字的三位数；
用 0,1,2,3,4,5 六个数字组成三位数，其百位数字可以为 1,2,3,4,5，有 5 种情况，其十位、个位数字可以为 6 个数字中任意一个，有 6 种情况，即有 5×6×6＝180 种情况，即可以组成 180 个三位数，其中有 100 个是没有重复数字的三位数，则可以组成有重复数字的三位数的个数是 180－100＝80.
(2)五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有 4 种报名方法，共有 45 种不同的报名方法.五名学生争夺四项比赛的冠军，可对 4 个冠军逐一落实，每个冠军有 5 种获得的可能性，共有 54 种获得冠军的可能性.
【题后反思】(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按
事件发生的过程合理分步.
(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不
干扰；二是步与步确保连续，逐步完成.
【变式训练】已知 a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 可表示不同的圆的个数是(
解析：根据题意，方程(x－a)2 ＋(y－b)2 ＝r2 ，而 a∈{3,4,6} ，b∈{1,2,7,8} ，r∈{8,9} ，则 a 的取法有 3 种，b的取法有 4 种，r 的取法有 2 种，则方程可以表示 3×4×2＝24(个)不同的圆.故选 C.答案：C
两个计数原理的综合应用
[例 2](1)现有 5 种不同颜色的染料，要对如图 9-1-2 所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不
能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是(图 9-1-2
解析：由题意，先涂 A 处共有 5 种涂法，再涂 B 处有4 种涂法，然后涂 C 处，若 C 处与 A 处所涂颜色相同，则C 处共有 1 种涂法，D 处有 4 种涂法；若 C 处与 A 处所涂颜色不同，到 C 处有 3 种涂法，D 处有 3 种涂法，由此可得不同的涂色方法有 5×4×(1×4＋3×3)＝260(种).故选 D.
(2)用 0,1,2,3,4,5,6 这 7 个数字可以组成__________个
无重复数字的四位偶数.(用数字作答)
解析：要完成的“一件事”为“组成无重复数字的四位偶数”，所以千位数字不能为 0，个位数字必须是偶数，且组成的四位数中四个数字不重复，因此应先分类，再分步.
①第 1 类，当千位数字为奇数，即取 1,3,5 中的任意一个时，个位数字可取 0,2,4,6 中的任意一个，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字.根据分步乘法计数原理，有 3×4×5×4＝240(种)取法；
②第 2 类，当千位数字为偶数，即取 2,4,6 中的任意一个时，个位数字可以取除首位数字的任意一个偶数数字，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字.根据分步乘法计数原理，有3×3×5×4＝180(种)取法.
所以根据分类加法计数原理，共可以组成 240＋180＝
420(个)无重复数字的四位偶数.
【题后反思】利用两个计数原理解决应用问题的一般
(1)弄清完成一件事是做什么.
(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类.(3)弄清分步、分类的标准是什么.(4)利用两个计数原理求解.
【变式训练】1.将数字“124 467”重新排列后得到不同的偶数的个
解析：将数字“124 467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数，(1)若末位数字为 2，因为含有 2 个 4，
＝120(种)情况；(2)若末位数字为 4，
因为有两个相同数字 4，所以共有 5×4×3×2×1＝120(种)情况.综上，共有 120＋120＝240(种)情况.故选 D.
2.(2021 年广东二模)从正方体的 6 个面的对角线中，任取 2 条组成 1 对，则所成角是 60°的有________对.解析：根据题意，如图 D74，在正方体ABCD­A1B1C1D1
又由正方体 6 个面，每个面有 2 条对角线，共有 12条对角线，则共有 12×8＝96(对)面对角线所成角为 60°，而其中有一半是重复的.
则从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其
中所成的角为 60°的共有 48 对.
与平面A1B1C1D1中一条对角线A1C1成60°的直线有A1D，B1C，A1B，D1C，BC1，AD1，C1D，B1A，共8条直线，则包含A1C1在内的符合题意的对角线有8对.
⊙两个计数原理的创新应用
[例 3]若 m，n 均为非负整数，在做 m＋n 的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(m，n)为“简单的有序对”，则 m＋n 称为有序对(m，n)的值，那么值为 1 942 的“简单的有序对”的个数是________.
解析：第 1 步，1＝1＋0,1＝0＋1，共 2 种组合方式；第 2 步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝
9＋0，共 10 种组合方式；
第 3 步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，
第 4 步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共 3 种组合方式.根据分步乘法计数原理，值为 1 942 的“简单的有序
对”的个数为 2×10×5×3＝300.
【反思感悟】解决两个计数原理的创新应用问题的关键是要抓住题中给的新定义信息分步或分类进行推理.
【高分训练】1.定义集合 A 与 B 的运算 A*B 为 A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若 A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合 A*B
的元素个数为(A.4C.12
解析：根据新定义，从集合 A 中，任选一个数，再从集合 B 中任选一个数，组成一个有序实数对，即由 3×4＝12 个，故集合 A*B 的元素个数为 12 个.故选 C.
2.埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的神奇远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有组神秘的数字142 857，因为142 857×2＝285 714,142 857×3＝428 571，142 857×4＝571 428，…，所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现：142＋857＝999,428＋571＝999,285＋714＝999，…，若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x，剩下的三个数字构成另一个三位数y，若x＋y＝999，将所有可能的三位数x按从小到大依次排序，则第12个三位数x为(　　)