高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.4 幂函数习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.4 幂函数习题，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若a< eq \f(1,2) ，则化简 eq \r(4,（2a－1）2) 的结果是( )
A. eq \r(2a－1) B．－ eq \r(2a－1) C． eq \r(1－2a) D．－ eq \r(1－2a)
2．函数 y＝ eq \r(lg\f(1,2)x－3) 的定义域为( )
A.(－∞， eq \f(1,8) ] B．[ eq \f(1,8) ，＋∞) C．(0， eq \f(1,8) ] D．(0，8]
3．三个数e－ eq \r(2) ，lg0.23，ln π的大小关系为( )
＜e－ eq \r(2) ＜ln π B．e－ eq \r(2) ＜ln π＜lg0.23
C.e－ eq \r(2) ＜lg0.23＜ln π D．lg0.23＜ln π＜e－ eq \r(2)
4．已知函数f(x)＝ eq \f(6,x) －lg2x，在下列区间中包含f(x)零点的区间是( )
A.(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5)
5．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥lg2(x＋1)的解集是( )
A.{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1} C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2}
6．设函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（\f(1,2)）x－1（x≤0），,lg2（x2＋x）（x>0），)) 若f(a)＝1，则a的值为( )
A.－1 B．1 C．－1或1 D．－1或1或－2
7．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是( )
A.(0，1)∪(1，＋∞) B．(0，1) C．(1，＋∞) D．(0， eq \f(1,2) )
8．函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x2－8ax＋3（x<1），,lgax（x≥1）)) 在x∈R内单调递减，则a的取值范围是( )
A.(0， eq \f(1,2) ] B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,8))) C．[ eq \f(1,2) ，1) D．[ eq \f(5,8) ，1)
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．设a，b，c是均不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )
A.lgab·lgca＝lgcb B．lga(bc)＝lgab·lgac
C.lga(b＋c)＝lgab＋lgac D．lgab＝lgacbc
10．下面对函数f(x)＝lg eq \f(1,2) x与g(x)＝( eq \f(1,2) )x在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中错误的有( )
A.f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快
B.f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢
C.f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢
D.f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快
11．已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，a≠1)，则使函数y在区间[－1，1]上的最大值是14的a的值为( )
A. eq \f(1,3) B．4 C．3 D．2
12．已知函数f(x)＝ eq \f(πx－π－x,2) ，g(x)＝ eq \f(πx＋π－x,2) ，则f(x)，g(x)满足( )
A.f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x) B．f(－2)＜f(3)
C.f(x)－g(x)＝π－x D．f(2x)＝2f(x)g(x)
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．函数y＝lga(2x－3)＋8的图象恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图象上，则f(3)＝________．
14．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：
则不等式f(|x|)≤2的解集是________．
15．对于下列结论：
①函数y＝ax＋2(x∈R)的图象可以由函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象平移得到；
②函数y＝2x与函数y＝lg2x的图象关于y轴对称；
③方程lg5(2x＋1)＝lg5(x2－2)的解集为{－1，3}；
④函数y＝ln (1＋x)－ln (1－x)为奇函数．
其中正确的结论是________．(把你认为正确的序号都填上)
16．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋x，x≤1，,lg\f(1,3)x，x>1，)) 则f(f(3))＝________；若对任意的x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，则实数k的取值范围为________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(10分)已知函数f(x)＝lga(x＋3)－lga(3－x)，a>0且a≠1.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性．
18．(12分)已知函数y＝lg4(2x＋3－x2)，
(1)求函数的定义域；
(2)求y的最大值，并求取得最大值时的x值．
19．(12分)设函数f(x)＝k·2x－2－x是定义在R上的奇函数．
(1)求k的值；
(2)若不等式f(x)>a·2x－1有解，求实数a的取值范围；
(3)设g(x)＝4x＋4－x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值，并指出取得最小值时的x的值．
20．(12分)已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2.
(1)求不等式lga(3x＋1)＜lga(7－5x)；
(2)若函数y＝lga(2x－1)在区间[3，6]上有最小值为－2，求实数a的值．
21．(12分)某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据检测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的关系．
(1)写出y关于t的函数关系式y＝f(t)；
(2)据进一步测定：每毫升血液中的含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效．
①求服药一次后治疗疾病有效的时间；
②当t＝5时，第二次服药，问t∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(5，5\f(1,16))) 时，药效是否连续？
\22．(12分)已知指数函数y＝g(x)满足g(2)＝4，定义域为R的函数f(x)＝ eq \f(－g（x）＋n,2g（x）＋m) 是奇函数．
(1)确定y＝g(x)的解析式；
(2)求m，n的值；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围．
参考答案与解析
1．答案：C
解析：∵a< eq \f(1,2) ，∴2a－1<0，于是，原式＝ eq \r(4,（1－2a）2) ＝ eq \r(1－2a) .
2．答案：C
解析：要使函数y＝ eq \r(lg\f(1,2)x－3) 有意义，应满足
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg\f(1,2)x－3≥0,x>0)) ，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg\f(1,2)x≥lg\f(1,2)（\f(1,2)）3,x>0)) ，解得0所以函数的定义域为(0， eq \f(1,8) ].
3．答案：A
解析：由y＝ex，y＝lg0.2x和y＝ln x可知0＜e－ eq \r(2) ＜1，lg0.23＜0，ln π＞1，故选A.
4．答案：C
解析：因为f(x)在定义域上为减函数，f(1)＝6－lg21＝6>0，f(2)＝3－lg22＝2>0，f(3)＝2－lg23>0，f(4)＝ eq \f(3,2) －lg24＝－ eq \f(1,2) <0，f(5)＝ eq \f(6,5) －lg25<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(3，4).
5．答案：C
解析：令g(x)＝y＝lg2(x＋1)，作出函数g(x)的图象如图，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,y＝lg2（x＋1），)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))
结合图象知不等式f(x)≥lg2(x＋1)的解集为{x|－16．答案：C
解析：∵f(a)＝1，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（\f(1,2)）a－1＝1，,a≤0，)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2（a2＋a）＝1，,a2＋a>0，,a>0，))
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,a≤0，)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＋a－2＝0，,a>0.))
∴a＝－1或a＝1.
7．答案：D
解析：设f(x)＝|ax－1|，关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根，转化为函数f(x)＝|ax－1|与函数y＝2a有两个交点，
当a>1时，在同一直角坐标系内，函数f(x)＝|ax－1|与函数y＝2a的图象如图所示：
显然函数f(x)＝|ax－1|与函数y＝2a的图象只有一个交点，不符合题意；
当0函数f(x)＝|ax－1|与函数y＝2a有两个交点，则有0<2a<1⇒08．答案：B
解析：若函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x2－8ax＋3（x<1），,lgax（x≥1）)) 在x∈R内单调递减，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a≥1，,0解得 eq \f(1,2) ≤a≤ eq \f(5,8) ，故选B.
9．答案：AD
解析：由换底公式得lgab·lgca＝ eq \f(lg b,lg a) · eq \f(lg a,lg c) ＝ eq \f(lg b,lg c) ＝lgcb，lgacbc＝ eq \f(lgcbc,lgcac) ＝ eq \f(clgcb,clgca) ＝lgab，∴A，D均恒成立．
10．答案：ABD
解析：结合指数函数y＝( eq \f(1,2) )x和对数函数y＝lg eq \f(1,2) x的图象如图所示，易得C正确，ABD错误．
11．答案：AC
解析：令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，
当a>1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，a)) ，
又函数y＝(t＋1)2－2在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，a)) 上单调递增，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)，
当0又函数y＝(t＋1)2－2在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a，\f(1,a))) 上单调递增，
则ymax＝( eq \f(1,a) ＋1)2－2＝14，解得a＝ eq \f(1,3) (负值舍去)，
综上知a＝3或a＝ eq \f(1,3) .
12．答案：ABD
解析：A正确，因为f(－x)＝ eq \f(π－x－πx,2) ＝－f(x)，g(－x)＝ eq \f(π－x＋πx,2) ＝g(x)，所以f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)；B正确，因为函数f(x)为增函数，所以f(－2)＜f(3)；C不正确，f(x)－g(x)＝ eq \f(πx－π－x,2) － eq \f(πx＋π－x,2) ＝ eq \f(－2π－x,2) ＝－π－x；D正确，f(2x)＝ eq \f(π2x－π－2x,2) ＝2· eq \f(πx－π－x,2) · eq \f(πx＋π－x,2) ＝2f(x)g(x).
13．答案：27
解析：由题意得定点A为(2，8)，设f(x)＝xα，则2α＝8，α＝3，∴f(x)＝x3，∴f(3)＝33＝27.
14．答案：{x|－4≤x≤4}
解析：由表中数据知 eq \f(\r(2),2) ＝( eq \f(1,2) )n，所以α＝ eq \f(1,2) ，
所以f(x)＝x ?? \?(1,2) ，所以|x| ?? \?(1,2) ≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4，所以不等式f(|x|)≤2的解集是{x|－4≤x≤4}．
15．答案：①④
解析：y＝ax＋2的图象可由y＝ax的图象向左平移2个单位得到，①正确；y＝2x与y＝lg2x的图象关于直线y＝x对称，②错误；
由lg5(2x＋1)＝lg5(x2－2)，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋1＝x2－2，,2x＋1>0，,x2－2>0，))
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1或x＝3，,x>－\f(1,2)，,x>\r(2)或x<－\r(2)，))
∴x＝3，③错误；
设f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，定义域为(－1，1)，关于原点对称，f(－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－[ln (1＋x)－ln (1－x)]＝－f(x).
∴f(x)是奇函数，④正确，故正确的结论是①④.
16．答案：－2 (－∞， eq \f(3,4) ]∪[ eq \f(5,4) ，＋∞)
解析：f(f(3))＝f(lg eq \f(1,3) 3)＝f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2，
对任意x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，
即f(x)max≤|k－1|，
因为f(x)的草图如图所示，
观察f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋x，x≤1，,lg\f(1,3)x，x>1)) 的图象可知，当x＝ eq \f(1,2) 时，函数f(x)max＝ eq \f(1,4) ，
所以|k－1|≥ eq \f(1,4) ，解得k≤ eq \f(3,4) 或k≥ eq \f(5,4) ，
∴实数k的取值范围为(－∞， eq \f(3,4) ]∪[ eq \f(5,4) ，＋∞).
17．解析：(1)要使式子有意义，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3>0，,3－x>0，))
解得－3∴函数的定义域为(－3，3).
(2)函数f(x)是奇函数．
证明：由(1)知定义域为(－3，3)，
f(－x)＝lga(－x＋3)－lga[3－(－x)]，
所以f(－x)＝lga(3－x)－lga(3＋x)，
则f(－x)＝－[lga(3＋x)－lga(3－x)]，
即f(－x)＝－f(x)，
∴函数f(x)是奇函数．
18．解析：(1)由真数2x＋3－x2>0，解得－1所以函数的定义域为{x|－1(2)将原函数分解为y＝lg4u，u＝2x＋3－x2两个函数，因为u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4≤4，
所以当x＝1时，u取得最大值4，又y＝lg4u为单调增函数，
所以y＝lg4(2x＋3－x2)≤lg44＝1，
所以y的最大值为1，此时x＝1.
19．解析：(1)因为f(x)＝k·2x－2－x是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，所以k－1＝0，解得k＝1，
所以f(x)＝2x－2－x，
当k＝1时，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，故k＝1.
(2)f(x)>a·2x－1有解，所以a<－( eq \f(1,2x) )2＋( eq \f(1,2x) )＋1有解，
所以只需a<[－( eq \f(1,2x) )2＋( eq \f(1,2x) )＋1]max，
因为－( eq \f(1,2x) )2＋( eq \f(1,2x) )＋1＝－( eq \f(1,2x) － eq \f(1,2) )2＋ eq \f(5,4) ≤ eq \f(5,4) (x＝1时，等号成立)，
所以a< eq \f(5,4) .
(3)因为g(x)＝4x＋4－x－4f(x)，所以g(x)＝4x＋4－x－4(2x－2－x)，
可令t＝2x－2－x，可得函数t在[1，＋∞)递增，即t≥ eq \f(3,2) ，
则t2＝4x＋4－x－2，可得函数g(x)＝h(t)＝t2－4t＋2，t≥ eq \f(3,2) ，
由h(t)为开口向上，对称轴为t＝2> eq \f(3,2) 的抛物线，
所以t＝2时，h(t)取得最小值－2，
此时2＝2x－2－x，解得x＝lg2(1＋ eq \r(2) )，
所以g(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2，
此时x＝lg2(1＋ eq \r(2) ).
20．解析：(1)因为22a＋1＞25a－2，所以2a＋1＞5a－2，即3a＜3，所以a＜1，又因为a＞0，所以0＜a＜1，
则不等式lga(3x＋1)＜lga(7－5x)，
等价为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋1>0，,7－5x>0，,3x＋1>7－5x，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>－\f(1,3)，,x<\f(7,5)，,x>\f(3,4)，))
所以 eq \f(3,4) ＜x＜ eq \f(7,5) ，即不等式lga(3x＋1)＜lga(7－5x)的解集为( eq \f(3,4) ， eq \f(7,5) ).
(2)由(1)得0＜a＜1，
所以函数y＝lga(2x－1)在区间[3，6]上为减函数，
所以当x＝6时，y有最小值为－2，即lga11＝－2，
所以a－2＝ eq \f(1,a2) ＝11，解得a＝ eq \f(\r(11),11) .
21．解析：(1)将t＝1，y＝4分别代入y＝kt，y＝( eq \f(1,2) )t－a，得k＝4，a＝3，
从而y＝f(t)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4t，0≤t≤1，,（\f(1,2)）t－3，t>1.))
(2)①当0≤t≤1时，由4t≥0.25，得 eq \f(1,16) ≤t≤1，
当t>1时，由( eq \f(1,2) )t－3≥0.25，得1因此，服药一次后治疗疾病有效的时间为
5－ eq \f(1,16) ＝4 eq \f(15,16) (小时).
②连续．因为当t＝5时，第二次服药，则t∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(5，5\f(1,16))) 时，血液中的含药量增加得快，减少得慢，从而每毫升血液中的含药量还是一直不少于0.25微克的，即药效是连续的．
22．解析：(1)设指数函数g(x)＝ax(a＞0且a≠1)，
由g(2)＝4得a2＝4，得a＝2，所以g(x)＝2x.
(2)由(1)知f(x)＝ eq \f(－2x＋n,2x＋1＋m) ，
∵f(x)在R上是奇函数，
∴f(0)＝0，即 eq \f(n－1,2＋m) ＝0，∴n＝1，
∴f(x)＝ eq \f(1－2x,2x＋1＋m) ，
又由f(1)＝－f(－1)知 eq \f(1－2,4＋m) ＝－ eq \f(1－\f(1,2),m＋1) ，
解得m＝2.
(3)由(2)知f(x)＝ eq \f(1－2x,2＋2x＋1) ＝－ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,2x＋1) ，
易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，
又f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，
∴t2－2t>k－2t2，即3t2－2t－k>0，
由判别式Δ＝4＋12k<0可得k<－ eq \f(1,3) ，
即实数k的取值范围为(－∞，－ eq \f(1,3) ).x
1
eq \f(1,2)
f(x)
1
eq \f(\r(2),2)