辽宁省沈阳市于洪区2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题3分，共30分）
1. 下列各数中，最小的数是（ ）
A. －lB. 0C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据实数的大小比较法则，比较即可解答．
【详解】解：∵，
∴最小的数是-1．
故选：A
【点睛】本题考查实数的大小比较，负数都小于0，正数都大于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小．
2. 如图所示的几何体是由五个大小相同的小正方体搭成的．其俯视图是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】三视图分为主视图，左视图和俯视图，俯视图是从上往下看，进而得出答案．
【详解】解：俯视图从上往下看如下：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了三视图，熟练地掌握主视图，左视图和俯视图是解决本题的关键．
3. 我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项错误；
C．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了对称图形的定义和中心对称图形的定义，在平面内，一个图形绕某点旋转180°后能与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能重合，这样的图形叫做轴对称图形．理解这两个概念是关键．
4. 如图，AB∥ED，若∠1=70°，则∠2的度数是（ ）
A. 70°B. 80°C. 100°D. 110°
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行线的性质，对顶角的性质计算即可．
【详解】解：∵AB∥ED，
∴∠3+∠2=180°，
∵∠3=∠1，∠1=70°，
∴∠2=180°-∠3=180°-∠1=180°-70°=110°，
故选：D．
．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，对顶角的性质，解题的关键熟练掌握平行线的性质，找到互补的两个角．
5. 下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘;同底数幂相乘，底数不变指数相加;合并同类项法则．对各选项分析判断后利用排除法求解选择正确选项即可．
【详解】A、，因为不属于同类项，不能进行加减合并，故A错误；
B、,故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
6. 估计的值在（ ）
A 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间
【答案】B
【解析】
【分析】由16＜21＜25，以及算术平方根的定义，即可求解．
【详解】解：∵16＜21＜25，
∴4＜＜5，
故选B．
【点睛】本题主要考查估计无理数的范围，掌握算术平方根的定义，是解题的关键．
7. 已知一次函数过点，则下列结论正确的是（ ）
A. y随x增大而增大B.
C. 直线过点D. 与坐标轴围成的三角形面积为2
【答案】C
【解析】
【分析】将点代入一次函数解析式，求出k的值，利用一次函数的图象与性质逐一判断即可．
【详解】解：∵一次函数过点，
∴，解得，
∴一次函数为，y随x增大而减小，故A和B错误；
当时，，故C正确；
该一次函数与x轴交于点，与y轴交于点，
∴与坐标轴围成的三角形面积为，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
8. 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设快马x天可以追上慢马，根据路程=速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设快马x天可以追上慢马，
依题意，得： 240x-150x=150×12．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
10. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于D，E，经过D，E作直线分别交于点M，N，连接，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D. 平分
【答案】B
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的尺规作图、以及性质即可得．
【详解】解：由题意得：是线段的垂直平分线，
则，
故选：B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、以及性质，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题关键．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件．根据分式有意义的条件：分母不等于零，列不等式求解即可．
【详解】解：由题意，得，
解得：．
故答案：．
12. 不等式组的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
故答案为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
13. 为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，画出树状图，可得一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种，再根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意，画出树状图，如下∶
一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种，
所以恰好选中甲和丙的概率为．
故答案为：
【点睛】利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点D，且BD=AD，反比例函数y=(x>0)的图像经过点A，若S△OAB=1，则k的值为___________．
【答案】2
【解析】
【分析】作A 过x轴的垂线与x 轴交于C ，证明△ADC≌△BDO，推出S△OAC = S△OAB=1，由此即可求得答案．
【详解】解：设A(a，b) ，如图，作A 过x轴的垂线与x 轴交于C ，
则：AC=b ，OC=a ，AC∥OB，
∴∠ACD=∠BOD=90°，∠ADC=∠BDO，
∴△ADC≌△BDO，
∴S△ADC=S△BDO，
∴S△OAC=S△AOD+ S△ADC=S△AOD+ S△BDO= S△OAB=1，
∴×OC×AC=ab=1，
∴ab=2，
∵A(a，b) 在y=上，
∴k=ab=2 ．
故答案为：2 ．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线进行解题．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______．
【答案】或##或
【解析】
【分析】连接，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，分点在线段上和的延长线上，且，勾股定理求得即可．
【详解】如图，连接，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，
，，
，
根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且，
，
如图，在中，，
在中，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点的位置是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤和推理过程）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的立方根，零指数幂，负整指数幂，分式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
（1）首先计算立方根，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减；
（2）根据分式的混合运算法则求解即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
17. 某校举办以2022年北京冬奥会为主题知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
a：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．（数据分成5组，，，，，）

b：七年级抽取成绩在7这一组的是：70，72，73，73，75，75，75，76，77，77，78，78，79，79，79，79．
c：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：
请结合以上信息完成下列问题：
（1）七年级抽取成绩在的人数是_______，并补全频数分布直方图；
（2）表中m的值为______；
（3）七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，则______（填“甲”或“乙”）的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；
（4）七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数．
【答案】（1）38，理由见解析
（2）77 （3）甲
（4）七年级竞赛成绩90分及以上人数约为64人
【解析】
【分析】（1）根据题意及频数分布直方图即可得出结果；
（2）根据中位数的计算方法求解即可；
（3）由七八年级中位数与甲乙学生成绩的比较即可得出结果；
（4）用总人数乘以七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数占总的人数的比例求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可得：70≤x<80这组的数据有16人，
∴七年级抽取成绩在60≤x<90的人数是：12+16+10=38人，
故答案为：38；补全频数分布直方图如图所示；
【小问2详解】
解：∵4+12=16<25，4+12+16>25，
∴七年级中位数在70≤x<80这组数据中，
∴第25、26的数据分别为77，77，
∴m=，
故答案为：77；
【小问3详解】
解：∵七年级学生的中位数为77<78，八年级学生的中位数为79>78，
∴甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前，
故答案为：甲；
【小问4详解】
解：（人）
答：七年级竞赛成绩90分及以上人数约为64人．
【点睛】题目主要考查统计的相关应用，包括频数分布直方图及用部分估计总体、中位数的求法等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
18. 冬季流感大爆发，某班级购买一批医用口罩供学生使用，有A，两种不同医用口罩供选择．已知A种医用口罩单价比种医用口罩单价贵，用1200元单独购买其中一种医用口罩时，可以比单独购买另一种医用口罩多120个．
（1）问A，两种医用口罩的单价分别是多少元？
（2）若用不超过1500元钱购买A，两种医用口罩共700个，则最多可购买A种医用口罩多少个？
【答案】（1）A，两种医用口罩的单价分别是元和2元
（2）最多可购买A种医用口罩200个
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式．
（1）设种医用口罩的单价为元，则A的单价为元，根据用1200元单独购买其中一种医用口罩时，可以比单独购买另一种医用口罩多120个，列出方程，解方程即可；
（2）设可购买A种医用口罩个，则购买型口罩个，根据购买A，两种医用口罩费用不超过元，列出不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：设种医用口罩的单价为元，则A的单价为元，
则，
解得：，
经检验是方程的解，
则A，两种医用口罩的单价分别是元和2元；
【小问2详解】
解：设可购买A种医用口罩个，则购买型口罩个，
则，
解得：，
故最多可购买A种医用口罩200个．
19. 甲、乙两人骑自行车从地到地．甲先出发骑行3千米时，乙才出发；开始时，甲、乙两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；小时后，甲到达地，在整个骑行过程中，甲、乙两人骑行路程（千米）与乙骑行时间（小时）之间关系如图所示．
（1）求出图中的值；
（2）求甲改变骑行速度后，关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当乙到达地后，求甲离地的路程．
【答案】（1）1 （2）
（3）乙到达地后，甲离地4千米
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，从函数图象获取信息：
（1）根据函数图象先求出乙的速度，进而求出甲未改变骑行速度时的速度，进而求出行驶15千米所需的时间即可得到答案；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）根据（2）所求，求出甲函数图象中当的函数值即可得到答案．
【小问1详解】
解：由图象可得，乙的速度为（千米时），
开始时，甲、乙两人骑行速度相同，
（小时），
的值为1；
【小问2详解】
设甲改变骑行速度后，关于的函数关系式为，
把，代入得：
，
解得，
甲改变骑行速度后，关于的函数关系式为；
【小问3详解】
解：由图象可知，时，乙到达地，
在中，令得，
（千米），
乙到达地后，甲离地4千米．
20. 一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点处测得左边水平地面上某汽车的顶端点的俯角为，同一时刻测得右边某建筑物顶端点的俯角为，已知建筑物的高度米，汽车的高度米，汽车与建筑物的距离为30米，求无人机飞行的高度．（结果精确到1米，参考数据：，．
【答案】无人机飞行的高度约为40米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，延长交于点F，延长交于点G，根据题意可得：米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出和的长，最后列出关于x的方程进行计算，即可解答．
【详解】解：延长交于点，延长交于点，
由题意得：，，米，，
设米，则米，
在中，，
（米，
在中，，
米，
米，米，
米，米，
，
解得：，
（米，
无人机飞行的高度约为40米．
21. 如图，在中，，点是边上一点，以为直径的与边交于点，连接，．
（1）求证：是的切线．
（2）若，的直径为，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，，求得，根据切线的判定定理即可得到结论．
（2）连接，根据圆周角定理得到，由（1）知，，根据相似三角形的性质得到，求得，设，，根据三角函数的定义即可得到结论．
【小问1详解】
证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
【小问2详解】
解：连接，
∵是的直径，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，
∴，
在中，，
∴，经检验是原方程的解，且符合题意．
∴的长为．
22. 如图所示，一场篮球比赛中，某篮球队员甲的一次投篮命中，篮球运行轨迹为抛物线的一部分．已知篮球出手位置点与篮筐的水平距离为，篮筐距地面的高度为，当篮球行进的水平距离为时，篮球距地面的高度达到最大为．

（1）求篮球出手位置点的高度．
（2）此时，若对方队员乙在甲前面处跳起拦截，已知乙的拦截高度为，那么他能否获得成功？并说明理由．
（3）若甲在乙拦截时，突然向后后退，再投篮命中（此时乙没有反应过来，置没有移动），篮球运行轨迹的形状没有变化，且篮球越过乙时，超过其拦截高度，求篮球出手位置的高度变化．
【答案】（1）点的高度为
（2）获得成功，理由见解析
（3）篮球出手位置的高度提高了
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，以及求二次函数解析式．
（1）根据题意可得两点和，可设抛物线的表达式为：，代入即可求得解析式；
（2）将代入即可求得函数值，再与3比较大小即可；
（3）根据题意求得变化后的函数解析式，结合数据的变化即可求得变化值．
【小问1详解】
解：由题意得，抛物线的顶点为：，抛物线过点，
设抛物线的表达式为：，
将代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
当时，，
即点的高度为；
【小问2详解】
获得成功，理由：
当时，，
故能获得成功；
【小问3详解】
由题意得，新抛物线的，抛物线过点、，
则设抛物线的表达式为：，
则，解得：，
则抛物线的表达式为：，
当时，，
则，
故篮球出手位置的高度提高了．
23. 数学活动课上，老师出示两个大小不一样等腰直角和摆在一起，其中直角顶点A重合，，，．
（1）用数学的眼光观察．
如图1，连接BD，CE，判断BD与CE的数量关系，并说明理由；
（2）用数学的思维思考．
如图2，连接，CD，若F是中点，判断与CD的数量关系，并说明理由；
（3）用数学的语言表达．
如图3，延长CA至点F，满足，然后连接，，当，，绕A点旋转得到三点共线时，求线段的长．
【答案】（1），理由见解析
（2），理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用三角形的判定来判定三角形全等是解题的关键．
（1）利用证明，从而得解；
（2）点B作交的延长线于点Q，证明得到，再证明，得到，即得证；
（3）分①当点在直线下方时，②当点在直线上方时两种情况讨论即可得解．
【小问1详解】
解：，理由：
∵，，，
∴，
∴；
【小问2详解】
，理由：
点B作交的延长线于点Q，
∴，，
∵F是中点，则，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
旋转得到三点共线，
①当点在直线下方时，如图所示，过点A作于M，
∵是等腰三角形，，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
即旋转得到三点共线时，；
②当点在直线上方时，如图所示，过点A作于N，
同理，，
即旋转得到三点共线时，，
综上所述，线段的长为：或．
年级
平均数
中位数
七年级
76.5
m
八年级
78.2
79