山西省朔州市怀仁市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份山西省朔州市怀仁市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共13页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本试卷主要命题范围，已知一个圆台内接于球，在中，角的对边分别为，若，则，已知为复数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

数学
命题：怀仁市教育局高级中学教研组
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色里水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答亲答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本试卷主要命题范围：必修第二册第六章平面向量及其应用，第七章复数，第八章立体几何初步的前
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.下列关于棱锥､棱台的说法正确的是（ ）
A.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
B.有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
C.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台
D.棱台的各侧棱延长后必交于一点
2.是所在平面上一点满足的形状是（ ）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
3.的三个顶点所对应的复数分别为，复数满足，则对应的点是的（ ）
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
4.欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，得共轭复数为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知一个圆台内接于球（圆台的上､下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上､下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（ ）
A. B. C. D.
6.在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在平行四边形中，已知，则的值是（ ）
A.8 B.12 C.22 D.24
8.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图①），图②是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧､所在圆的半径分别是3和6，且，则下列关于该圆台的说法错误的是（ ）
A.高为 B.母线长为3
C.表面积为 D.体积为
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知为复数，则下列说法正确的是（ ）
A.
B
C.若，则
D.若，则或
10.设的内角的对边分别为，下列结论正确的是（ ）
A.若则满足条件的三角形只有1个
B.面积的最大值为
C.周长的最大值为
D.若为锐角三角形，则的取值范围是
11.下列说法正确的是（ ）
A.若一个球的体积为，则它的表面积为
B.棱长为1的正四面体的内切球半径为
C.用平面截球，所得的截面面积为，若到该球球心的距离为1，则球的体积为
D.棱长为1的正方体的内切球截平面所得的截面面积为
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知圆柱底面圆的周长为，母线长为4，则该圆柱的体积为__________.
13.已知平面向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为__________.
14.设的内角A，B，C所对的边分别为，且.若点是外一点，，下列说法中，正确的命题是__________.
①的内角
②一定是等边三角形
③四边形面积的最大值为
④四边形面积无最大值
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）已知圆锥的轴截面面积为，侧面展开图为半圆.
（1）求其母线长；
（2）在此圆锥内部挖去一个正四棱柱，形成几何体，其中正四棱柱的底面边长为，上底面的四个顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，求几何体的体积.
16.（本小题满分15分）已知向量，且与的夹角为，
（1）求证：
（2）若，求的值；
（3）若与的夹角为，求的值.
17.（本小题满分15分）已知的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，求；
（3）若，求.
18.（本小题满分17分）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵中，已知.当阳马体积等于24时，
求：（1）堑堵的侧棱长；
（2）鳖臑的体积；
（3）阳马的表面积.
19.（本小题满分17分）已知的内角的对边为，且.
（1）求；
（2）若的面积为；
①已知为的中点，求底边上中线长的最小值；
②求内角的角平分线长的最大值.
怀仁市2023—2024学年度下学期高一
第一次教学质量调研试题
数学答案
命题：怀仁市教育局高中教研组
（考试时间120分钟，满分150分）
一､选择题：
1~4DBAA 5~8CACD
1.D
【详解】有一个面是多边形，其余各面是三角形，若其余各面没有一个共同的顶点，则不是棱锥，故A错误；两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还要满足各侧棱的延长线交于一点，故B错误，D正确；用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台，故C错误.故选：D.
2.B
【详解】由，可得，
即，即，将等式两边平方，化简得，即，因此，是直角三角形，故选：B.
3.【答案】A
【解析】由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数对应的点到的顶点的距离相等，为的外心.
4.【答案】A
【解析】，故.故选：A.
5.C
【详解】设圆台母线长为，上､下底面半径分别为和，
则圆台侧面积为，
上､下底面面积分别为和.由圆台表面积为，得，
所以圆台高，设球半径为，圆台轴截面为等腰梯形，且，高为1.作于点，
设，由，则球心在圆台外部.则有，
解得，所以球的体积为.故选：C.
6.A
【详解】由和余弦定理可得，即，
由正弦定理，，
则，即，于是有①，②，由①+②可得：.故选：A.
7.C
【详解】易知：，且..故选：
8.D
【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，即，
即.又圆台的母线长为，所以圆台的高，故正确.
圆台的表面积，故正确；圆台的体积，故D错误.故选D.
二､选择题：
9.ABD 10.BCD 11.ABD
9.【答案】ABD
设，，因为，
，所以，故A正确；
又，
，
，
所以，故B正确；取，，可得，
故C错误；若，由B选项知，所以或，
可得或，故D正确；故选：ABD.
10.【答案】BCD
【解析】对于，因为，所以满足条件的三角形有2个，
故错误；对于，由余弦定理得，
即，所以，当且仅当时取等号，
所以，所以面积的最大值为，故B正确；
对于，由余弦定理得，即
，所以，
当且仅当时取等号，所以的周长，
所以周长的最大值为，故正确；对于，由正弦定理得
，因为为锐角三角形，所以，，即，所以，故D正确.故选：BCD.
11.ABD
【详解】对于一个球的体积为，设该球的半径为，则，解得，
于是该球的表面积为，故A正确；对于B：正四面体的棱长为1，内切球半径，
如图所示，为的中点，，
由正四面体的性质可知线段为正四面体的高，
在正中，，同理，在正中，，
则，所，
则，
设点为正四面体内切球的球心，则等体积法有
，解得，故正确.
对于C：用平面截一个球，所得的截面面积为，截面圆的半径，则，即，
到该球球心的距离，设球的半径，则，所以球的体积为，故C错误；对于D：平面截球的截面为的内切圆，如图：
因为正方体的棱长为1，所以对角线，
内切圆半径，所以截面面积，故D正确.
故选：ABD.
三､填空题：
12. 13. 14.①②③
12.【详解】设圆柱的底面半径为，所以，得到，
又圆柱的母线长为，所以圆柱的体积为，故答案为：.
13.
【详解】向量的夹角为锐角，则且与不共线，
因此，解得且，所以实数的取值范围为.
故答案为：
14.【详解】①：，又，所以，由，得，又，所以或，而，所以，故①正确；
②：由①知，，又，所以，故为等边三角形，故②正确；
③：由余弦定理，得，且，又，
当时，取到最大值，且为，故③正确；
④：由命题③可知，有最大值，故④错误.故答案为：①②③
四､解答题：
15.解：（1）（2）
【详解】（1）设圆锥底面圆的半径为，母线长为1，高为，由题意知，侧面展开图的弧长圆锥高，由其轴截面的面积为.解得，则.即其母线长为
（2）设正四棱柱的高为，所以圆锥体积为.
由，则正四棱柱的底面对角线的长为2，一半长为1，由图可得，所以，故正四棱柱的体积为所以该几何体的体积为.
16.【详解】（1）因为与的夹角为，
所以，所以，
所以.
（2）由（1）知，，因为，
所以，即，
于是有，即，解得或，所以的值为-3或2.
（3）由（1）知，因为，
所以
，
，
因为与的夹角为，所以，即
且，于是有，
解得或（舍），所以的值为2.
17.解：（1）在中，由正弦定理及，
得，
则，
而，则，又，所以
（2）由，得，由（1）及余弦定理，得，解得，所以.
（3）由及正弦定理，得，则，
显然即则为锐角，，
于是，
，
所以.
18.（1）因为，所以.所以为直角三角形.
设堑堵的侧棱长为，则，
则，所以，所以堑堵的侧棱长为.
（2）因为，所以.
所以鳖臑的体积为12.
（3）易知，
，所以阳马的表面积为
19.【详解】（1）由正弦定理，得，即，
故，因为，所以，
所以；
（2）①由（1）知，因为的面积为，所以，解得，由于，所以
当且仅当时，等号取得到，所以；
②因为为角的角平分线，所以，由于，
所以，
由于，所以，由于
，又，所以
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故