新高考数学一轮复习讲与练第11讲 三角函数的图像与性质（讲）（2份打包，原卷版+解析版）

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本讲为高考命题热点，分值17-22分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，三角函数的图像与性质，三角恒等变换常考察选择题，填空题，解三角形常考察解答题，考察逻辑推理能力，运算求解能力.
考点一 正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq \f(1,4)个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acs ωx＋b的形式.
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内为增函数.
考点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
1.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
3.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移eq \f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度.
高频考点一 三角函数的值域和定义域
【例1】1.函数y＝eq \r(sin x－cs x)的定义域为________.
【例2】函数y＝sin x－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的值域为________.
【方法技巧】
1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数线或三角函数的图象.
2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
(1)形如y＝asin x＋bcs x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求值域(最值).
(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值.
【变式训练】
1.当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))时，函数y＝3－sin x－2cs2x的值域为________.
2.函数y＝sin x－cs x＋sin xcs x的值域为________.
高频考点二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
【例3】 (1)(2021·郑州调研)在函数①y＝cs|x|，②y＝|cs x|，③y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，④y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))中，最小正周期为π的函数有( )
A.①③ B.①④ C.②④ D.②③
(2)已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的图象在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))内有且仅有一条对称轴，则实数ω的取值范围是( )
A.(0，5) B.(0，5]
C.[1，5) D.(1，5]
(3)(2021·抚顺调研)已知函数f(x)＝2sin(x＋θ＋eq \f(π,3))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))))是偶函数，则θ的值为________.
(4)已知函数f(x)＝cs(ωx＋φ)(ω>0，|φ|b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>a>c
已知ω>0，函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递减，则ω的取值范围是________.
【方法技巧】
1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.
2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.
【变式训练】
1.(2022·银川模拟)已知函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))(x∈R)，现给出下列四个结论，其中正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)的最大值为2
C.函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上单调递增
D.将函数f(x)的图象向左平移eq \f(π,12)个单位长度，所得图象对应的函数解析式为g(x)＝sin 2x
2.若f(x)＝cs x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2)
C.eq \f(3π,4) D.π
高频考点四 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
【例6】已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－eq \f(π,2)0)满足f(0)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，且函数在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为________.
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{xeq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x∈R，且)) x≠kπ＋eq \f(π,2)}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))
[2kπ－π，2kπ]
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))
递减区间
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))
对称轴方程
x＝kπ＋eq \f(π,2)
x＝kπ
无
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝eq \f(2π,ω)
f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)
ωx＋φ
φ