新高考数学一轮复习讲与练第12讲 三角函数恒等变换（讲）（2份打包，原卷版+解析版）

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本讲为高考命题热点，分值10分，题型以选择题为主，多出现于高考前六题选择题中，
平面向量主要考察线性运算，坐标运算与数量积运算，近几年多考察拓展类，例如平面向量中的范围最值，平面向量与三角函数结合等内容；复数主要考察复数的概念，四则运算与复数的模与几何意义，考察逻辑推理能力，运算求解能力.
考点一 同角三角函数的基本关系是与诱导公式
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan__α.
2.三角函数的诱导公式
3.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α；sin α＝tan α·cs α.
3.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq \f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
4.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
考点二 三角恒等变换
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcs__β±cs__αsin__β.
cs(α∓β)＝cs__αcs__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β).
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__αcs__α.
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
3.函数f(α)＝asin α＋bcs α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq \r(a2＋b2)·cs(α－φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(a,b))).
4.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
5.cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
6.1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2，1－sin 2α＝(sin α－cs α)2，sin α±cs α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±\f(π,4))).
高频考点一 诱导公式的应用
【例1】化简eq \f(cs（π＋α）cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)－α)),cs（π－α）sin（－π－α）sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α)))的结果是( )
A.－1 B.1
C.tan α D.－tan α
【答案】C
【解析】由诱导公式，得原式
＝eq \f(－cs α·（－sin α）·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),－cs α·sin α·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))＝eq \f(－sin2α·cs α,－sin α·cs2α)＝tan α，故选C.
【例2】 2.(2021·长春模拟)已知α为锐角，且eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3))))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))，则角α＝( )
A.eq \f(π,12) B.eq \f(π,6)
C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,3)
【答案】C
【解析】由条件得eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3))))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3))))，又因为α为锐角，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))))，所以有α－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))，解得α＝eq \f(π,4)，故选C.
【方法技巧】
1.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
2.含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cs(5π－α)＝cs(π－α)＝－cs α.
高频考点二 共线定理及其应用
【例3】 (1)已知α是第四象限角，tan α＝－eq \f(8,15)，则sin α等于( )
A.eq \f(15,17) B.－eq \f(15,17)
C.eq \f(8,17) D.－eq \f(8,17)
(2)已知曲线f(x)＝eq \f(2,3)x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则eq \f(sin2α－cs2α,2sin αcs α＋cs2α)＝( )
A.eq \f(1,2) B.2
C.eq \f(3,5) D.－eq \f(3,8)
【答案】(1)D (2)C
【解析】(1)因为tan α＝－eq \f(8,15)，所以eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(8,15)，所以cs α＝－eq \f(15,8)sin α，代入sin2α＋cs2α＝1，得sin2α＝eq \f(64,289)，又α是第四象限角，所以sin α＝－eq \f(8,17).
(2)由f′(x)＝2x2，得tan α＝f′(1)＝2，故eq \f(sin2α－cs2α,2sin αcs α＋cs2α)＝eq \f(tan2α－1,2tan α＋1)＝eq \f(3,5).故选C.
【例4】 (2022·东北三省三校联考)若sin θ－cs θ＝eq \f(4,3)，且θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，π))，则sin(π－θ)－cs(π－θ)＝( )
A.－eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(2),3)
C.－eq \f(4,3) D.eq \f(4,3)
【答案】A
【解析】由sin θ－cs θ＝eq \f(4,3)得1－2sin θcs θ＝eq \f(16,9)，即2sin θcs θ＝－eq \f(7,9)，
∴(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ＝eq \f(2,9)，
又θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，π))，∴sin θ＋cs θ