初中数学苏科版（2024）七年级上册（2024）2.5 有理数的乘法与除法优秀一课一练

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题型一 除法有关的概念辨析
1．下列说法中，正确的是
A．绝对值等于本身的数是正数B．倒数等于本身的数是1
C．0除以任何一个数，其商为0D．0乘以任何一个数，其积为0
【详解】解：、绝对值等于本身的数是非负数，故原说法错误；
、倒数等于本身的数是，故原说法错误；
、0除以任何一个不为零数，其商为0，故原说法错误；
、0乘以任何一个数，其积为0，故原说法正确．
故本题选：．
2．下列各说法中，正确的个数有
①若，则一定是负数；
②一个正数一定大于它的倒数；
③除以一个数，等于乘以这个数的倒数；
④若，则；
⑤若，则且；
A．1个B．2个C．3个D．4个
【详解】解：①若，则可能是负数，也可能是零，故①错误；
②小于1的正数的倒数，小于它的倒数，故②错误；
③除以一个数（0除外）等于乘以这个数的倒数，故③错误；
④若，则，说法正确；
⑤若，则且或且，故⑤错误．
故本题选：．
3．若，，则下列成立的是
A．，B．，C．，D．，
【详解】解：，，
与同号，且同时为负数，即，．
故本题选：．
题型二 利用有理数除法法则进行运算
1．某同学在计算时，误将“”看成“”结果是，则的正确结果是
A．6B．C．4D．
【详解】解：计算时，误将“”看成“”结果得，
，解得：，
．
故本题选：．
2．下列运算，结果正确的是
A．B．
C．D．
【详解】解：、，故原计算错误；
、，故原计算错误；
、，此计算正确；
、，故原计算错误．
故本题选：．
3．有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
【详解】解：由图可知：，
、，故不正确；
、，故正确；
、，故不正确；
、，故不正确．
故本题选：．
4．若两个不相等的数互为相反数，则两数之商为 ．
【详解】解：若两个不相等的数互为相反数，则两数之商为．
故本题答案为：．
5．两数的商是，被除数是，则除数是 ．
【详解】解：．
故本题答案为：8．
6．从、、、2、4中任取2个数，所得积的最大值记为，所得商的最小值记为，则的值为 ．
【详解】解：最大值，最小值，
．
故本题答案为：．
7．已知，，且，求的值．
【详解】解：，，
，，
又，
不合题意，
当、时，；
当、时，．
8．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
9．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
题型三 有理数除法的简便运算
1．．
【详解】解：
．
2．．
【详解】解：原式．
3．用简便方法计算：．
【详解】解：
．
4．阅读下列材料：
计算：．
解法一：原式．
解法二：原式．
解法三：原式的倒数．
所以，原式．
（1）上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的；
（2）请你选择合适的解法计算：．
【详解】解：（1）上述得到的结果不同，我认为解法一是错误的，
故本题答案为：一；
（2）原式的倒数为：，
则原式．
题型四 有理数乘除混合运算
1．计算：的结果是
A．B．C．3D．9
【详解】解：．
故本题选：．
2．给出下列等式：
①；
②；
③；
④．
其中正确的个数是
A．4B．3C．2D．1
【详解】解：，
；
；
，
算式①，②，④错误，算式③正确．
故本题选：．
3．．
【详解】解：．
．
4．计算：
（1）．
（2）；
（3）；
（4）．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
5．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
（3）
．
6．阅读下面解题过程并解答问题：
计算：
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（1）上面解题过程有两处错误：
第一处是第 步，错误原因是 ；
第二处是第 步，错误原因是 ；
（2）请写出正确的结果 ．
【详解】解：（1）第一处是第二步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算，
第二处是第三步，错误原因是符号弄错，
故本题答案为：二，没有按同级运算从左至右运算；三，符号弄错；
（2）原式，
故本题答案为：．
1．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的的值有
A．3个B．4个C．5个D．6个
【详解】解：由题意分析可得：
所有符合条件的的值为：128，21，20，3．
故本题选：．
2．小明对小丽说：“请你任意想一个数，把这个数乘2后加12，然后除以6，再减去你原来所想的那个数与6的差的三分之一，我可以知道你计算的结果．”请你根据小明的说法探索：
（1）如果小丽一开始想的那个数是，请列式并计算结果；
（2）如果小丽一开始想的那个数是，请列式并计算结果；
（3）根据（1）、（2），尝试写出一个结论．
【详解】解：（1）；
（2）
；
（3）结论：无论小丽一开始想的数是多少，得出的结果都是4．
3．我们知道，每个自然数都有因数，将这个自然数的所有正奇数因数之和减去所有正偶数因数之和，再除以这个自然数所得的商叫做这个自然数的“完美指标”．例如：10的正因数有1，2，5，10，它的正奇数因数是1，5，它的正偶数因数是2，10．所以10的“完美指标”是：，我们规定．若一个自然数的“完美指标”的绝对值越小，这个数就越“完美”．例如，因为6的“完美指标”是，7没有正偶数因数，7的“完美指标”是，且，所以6比7更“完美”．
根据上述材料，求出18，19，20，21这四个自然数中最“完美”的数．
【详解】①18的正因数有1，2，3，6，9，18，
正奇因数有1，3，9，正偶因数有2，6，18，
18的“完美指标”是；
②19的正因数有1，19，
正奇因数有1，19，无正偶因数，
19的“完美指标”是；
③20的正因数有1，2，4，5，10，20，
正奇因数有1，5，正偶因数有2，4，10，20，
20的“完美指标”是；
④21的正因数有1，3，7，21，
正奇因数有1，3，7，21，无正偶因数，
21的“完美指标”是；
，
18是18，19，20，21这四个自然数中最“完美”的数．
4．【初探】
从这九个数字中任选两个不同数字，分别记为，，由这两个数字可以组成两个两位数，再用这两个两位数相加的和除以11，所得的商记为．如：，，可以组成12，21，它们的和为33，因为，所以．
（1） ；
（2）一定是整数吗？请说明理由；
【拓广】
从这九个数字中任选三个不同数字，记为，，，由这三个数字组成六个不同的两位数，再用这六个两位数相加的和除以22，所得的商记为,,．
（3）若,,，且，求的值．
【详解】解：（1），
故本题答案为：9；
（2）一定是整数，理由如下：
由题意可得：，
，都是整数，
也是整数，
一定是整数；
（3）由题意可得：,,
，
,,，
，即，
，
，
，
．