人教版五升六数学暑假升级训练专题02因数和倍数(学生版+解析)

这是一份人教版五升六数学暑假升级训练专题02因数和倍数(学生版+解析)，共21页。试卷主要包含了 因数的特点， 倍数的特点，无限多的两种数量不能比较多少，2是偶数中唯一的质数等内容，欢迎下载使用。

知识点01：因数与倍数
1、 如果a×b=c(a、b、c都是非0的自然数)那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。例如4×3=12，12是4的倍数,12也是3的倍数,4和3都是12的因数。
2、 因数的特点：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。(1是所有非0自然数的因数)
一个数的因数的求法：成对地按顺序找
3、 倍数的特点：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。例：3的倍数有：3、6、9、12…其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。
一个数的倍数的求法：依次乘以自然数
知识点02：2、5、3的倍数的特征
1、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数(2的倍数的数叫做偶数、不是2的倍数的数叫做奇数)。
2、5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。
3、3的倍数的特征：一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
知识点03：奇数与偶数（自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数）
(1)定义：奇数：(也叫单数)自然数中不能被2整除的数 最小的奇数是1，
偶数：(也叫双数)自然数中能被2整除的数 最小的偶数是0.
(2)特征：奇数：个位上是1，3，5，7，9的数
偶数：个位上是0，2，4，6，8 的数
(3)字母表示：奇数：2n+1(n>=0) 偶数：2n(n>=0)
(4)公式：奇数+奇数=偶数 奇数+偶数=奇数 偶数+偶数=偶数
(5)自然数中，不是奇数就是偶数。0是偶数。
知识点04：质数与合数（自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类）
(1)定义：质数：只有1和它本身两个因数的数(共有2个因数)
合数：除了1和它本身之外还有别的因数的数(至少有3个因数)，
(2)最小的质数是2 最小的合数是4
(3)“1”既不是质数，也不是合数。 (因为1只有1个因数)。
(4)自然数中，除了0和1之外，不是质数就是合数
(5)在自然数里，不是奇数的质数只有2
(6)公式：质数*质数=合数 质数*合数=合数 合数*合数=合数
(7)100以内的质数： 2、3、5、7和11， 13后面是17， 19、23、29， 31、37、41， 43、47、53， 59、61、67， 71、73、79， 83、89、97。
►因数和倍数
1、如果被除数、除数和商有一个数不是整数，那么它们之间就不存在因数与倍数的关系。
2、因数和倍数是两个相互依存的概念，只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，因数和倍数不能单独存在。
3、不要认为一个较大数的因数的个数就比一个较小数的倍数的个数多。一个数的因数的个数是有限的，而一个数的倍数的个数却是无限的。
4、无限多的两种数量不能比较多少。
►2、5、3的倍数与特征
1、掌握每个数的倍数的特征以及综合特征，以不变应万变。
2、不要认为个位上的数字 是3，6，9的数都是3的倍数。
3、同时是2、3、5的倍数的特征这个数的个位上一定是0，如果不是0就肯定不是，所以先看个位上数字是0，再看各个数位上的数字和是否是3的倍数。
►质数和合数
1、1既不是质数，也不是合数。
2、最小的质数是2，最小的合数是4。
3、3的倍数也可以是偶数。
4、自然数（0除外）按照因数的个数可以分为质数、合数和1三类。
5、2是偶数中唯一的质数。
一．精挑细选（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2023春•炎陵县期中）一个数既是30的倍数又是30的因数，这个数是（ ）
A．15B．30C．60D．90
2．（2分）（2023春•松桃县期中）一个三位数，百位上的数是最大的一位数，个位上的数是最小的质数，要使这个数是3的倍数，这个数最小是（ ）
A．902B．912C．972
3．（2分）（2023春•华安县期中）如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如，6的因数有1，2，3，6，除本身以外，还有1，2，3三个因数，6＝1+2+3，那么6就是完全数，下面（ ）也是“完全数”。
A．15B．24C．28D．32
4．（2分）（2023春•盘州市期中）下面各组数中，既是3的倍数又是5的倍数的是（ ）
A．650B．505C．432D．135
5．（2分）（2023春•鼓楼区校级期中）A□B是一个三位数，它是3的倍数，已知A+B＝7。□中可填的数是（ ）。
A．4B．5C．6D．7
6．（2分）（2023春•平阳县期中）下列各数中，是完美数的是（ ）
​
A．4B．12C．28D．36
二．认真填空（共7小题，满分17分）
7．（2分）（2023春•钦南区期中）一个数的最小倍数是16，这个数是 ，它的因数有 。
8．（4分）（2023春•江都区期中）在横线上填入合适的质数。
15＝ + ＝ ×
42＝ × ×
9．（3分）（2023春•汝州市期中）在10、24、25、40、45中， 是3和5的公倍数； 既有因数2，又有因数3； 和 既是2的倍数，也是5的倍数。
10．（2分）（2023春•洛宁县期中）在0、3、6、9中选出3个数字，组成一个同时是2、3、5的倍数的最大三位数 。
11．（2分）（2022春•清苑区期末）一个三位数□2□，同时是2、3、5的倍数，它的个位必须填 ，百位上最大填 。
12．（2分）（2022春•广东期末）两个数的和是495，其中一个数同时是2和5的倍数，如果把这个数个位上的数去掉，则和另一个数相等，这两个数分别是 和 。
13．（2分）（2023春•洛宁县期中）6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是：1+2+3＝6。像这样的数，叫做完全数（也叫完美数）。
请你写出28的因数 ，有人说28是完全数，请写出理由： 。
三．判断正误（共5小题，满分10分，每小题2分）
14．（2分）（2022秋•禹城市期末）一个合数的因数个数比一个质数的因数个数多． ．（判断对错）
15．（2分）（2023春•黄骅市期中）有因数6的数一定有因数2和3． ．（判断对错）
16．（2分）（2022春•西乡塘区期末）林老师采购了一批书，3元一本，他一共付了253元。 （判断对错）
17．（2分）（2022春•巧家县期末）一个三位数，每位数上的数字都是相同的非零自然数，这个三位数一定是3的倍数。 （判断对错）
18．（2分）（2022春•隆回县期末）27□既是2的倍数，又是3的倍数，□中最大可填8。 （判断对错）
四．计算能手（共2小题，满分11分）
19．（7分）（2021春•石河子期中）在横线上填上一个不同的数，使填成的多位数都是3的倍数。
20．（4分）（2021春•萧山区期中）按要求填空。
小明家的门牌号码是个四位数，最高位的数字只有1个因数，个位是最小的合数，百位上的数字最大因数是8，十位上比9最小的倍数少9。小明家的门牌是 。
五．实际应用（共7小题，满分28分，每小题4分）
21．（4分）（2023春•镇原县期中）蛋糕店里做了113块蛋糕，如果每3块装一盒，能正好装完吗？如果不能，至少还要再做几个这样的蛋糕就能正好装完了？
22．（4分）（2023春•方城县期中）6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是：1+2+3＝6。像6这样的数，叫做完全数（也叫完美数）。小明说：28也是完全数。他说得对吗？请写出你的验证过程。
23．（4分）（2022秋•交城县期中）哪个盘子正好装完？说说你的想法。
24．（4分）（2021秋•兴平市期末）便民超市新运进365瓶无菌消毒洗手液，如果每2瓶装一提，能正好装完吗？如果每5瓶装一箱，能正好装完吗？为什么？
25．（4分）（2022秋•泾阳县期中）有60本笔记本以及分别能装3本、4本、8本、12本的包装袋若干个。选哪种包装袋能正好把这些笔记本装完？
26．（4分）（2023春•安阳期中）亮亮把自然数m的最小因数和m的另一个因数相加，发现得数是4。几个小朋友根据亮亮的发现做了以下几种猜测：
聪聪：m一定是偶数。明明：m一定是合数。乐乐：m一定是3的倍数。三个小朋友的猜测中，哪些是正确的？请你说明理由。
27．（4分）（2019•温州）4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油。每瓶和其它各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8、9、10、11、12、13。已知4个空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，问最重的两瓶内有多少千克油？
六．解决问题（共5小题，满分22分）
28．（6分）（2023春•永善县月考）有153颗糖，分装到包装袋里。每袋装的糖同样多。用哪种包装袋正好装完？
29．（4分）（2023春•澄迈县月考）将下面各数分别填入指定的圈里。
51 78 13 24 19 87 111 3 57 49 61 23
30．（4分）（2023春•确山县期中）从0，4，5，7，9中各选出四个数字组数．（各写三个）
（1）是2的倍数：
（2）是3的倍数：
（3）是5的倍数：
（4）同时是2，3，5的倍数： ．
31．（4分）（2023春•宝丰县期中）王老师到文具店买足球，足球的单价已看不清楚，他买了3个足球，售货员说应付134元，王老师认为不对．你能解释这是为什么吗？
32．（4分）（2019•重庆模拟）把63个玻璃球装在几个盒子里，每个盒子装得同样多，刚好装完．
（1）有几种装法？（列出算式）
（2）如果有67个球呢？
（1）5 1
5 1
5 1
5 1
（2）13 3
13 3
13 3
知识点01：因数与倍数
1、 如果a×b=c(a、b、c都是非0的自然数)那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。例如4×3=12，12是4的倍数,12也是3的倍数,4和3都是12的因数。
2、 因数的特点：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。(1是所有非0自然数的因数)
一个数的因数的求法：成对地按顺序找
3、 倍数的特点：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。例：3的倍数有：3、6、9、12…其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。
一个数的倍数的求法：依次乘以自然数
知识点02：2、5、3的倍数的特征
1、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数(2的倍数的数叫做偶数、不是2的倍数的数叫做奇数)。
2、5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。
3、3的倍数的特征：一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
知识点03：奇数与偶数（自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数）
(1)定义：奇数：(也叫单数)自然数中不能被2整除的数 最小的奇数是1，
偶数：(也叫双数)自然数中能被2整除的数 最小的偶数是0.
(2)特征：奇数：个位上是1，3，5，7，9的数
偶数：个位上是0，2，4，6，8 的数
(3)字母表示：奇数：2n+1(n>=0) 偶数：2n(n>=0)
(4)公式：奇数+奇数=偶数 奇数+偶数=奇数 偶数+偶数=偶数
(5)自然数中，不是奇数就是偶数。0是偶数。
知识点04：质数与合数（自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类）
(1)定义：质数：只有1和它本身两个因数的数(共有2个因数)
合数：除了1和它本身之外还有别的因数的数(至少有3个因数)，
(2)最小的质数是2 最小的合数是4
(3)“1”既不是质数，也不是合数。 (因为1只有1个因数)。
(4)自然数中，除了0和1之外，不是质数就是合数
(5)在自然数里，不是奇数的质数只有2
(6)公式：质数*质数=合数 质数*合数=合数 合数*合数=合数
(7)100以内的质数： 2、3、5、7和11， 13后面是17， 19、23、29， 31、37、41， 43、47、53， 59、61、67， 71、73、79， 83、89、97。
►因数和倍数
1、如果被除数、除数和商有一个数不是整数，那么它们之间就不存在因数与倍数的关系。
2、因数和倍数是两个相互依存的概念，只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，因数和倍数不能单独存在。
3、不要认为一个较大数的因数的个数就比一个较小数的倍数的个数多。一个数的因数的个数是有限的，而一个数的倍数的个数却是无限的。
4、无限多的两种数量不能比较多少。
►2、5、3的倍数与特征
1、掌握每个数的倍数的特征以及综合特征，以不变应万变。
2、不要认为个位上的数字 是3，6，9的数都是3的倍数。
3、同时是2、3、5的倍数的特征这个数的个位上一定是0，如果不是0就肯定不是，所以先看个位上数字是0，再看各个数位上的数字和是否是3的倍数。
►质数和合数
1、1既不是质数，也不是合数。
2、最小的质数是2，最小的合数是4。
3、3的倍数也可以是偶数。
4、自然数（0除外）按照因数的个数可以分为质数、合数和1三类。
5、2是偶数中唯一的质数。
一．精挑细选（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2023春•炎陵县期中）一个数既是30的倍数又是30的因数，这个数是（ ）
A．15B．30C．60D．90
【思路引导】由题意知：30的最小倍数是30×1＝30，最大约数是30，因为最大约数和最小倍数相等，故这个数为30。
【规范解答】解：一个数既是30的倍数又是30的因数，这个数就是30本身。
故选：B。
【考点评析】此题应结合倍数和因数的意义进行解答，即可得出结论。
2．（2分）（2023春•松桃县期中）一个三位数，百位上的数是最大的一位数，个位上的数是最小的质数，要使这个数是3的倍数，这个数最小是（ ）
A．902B．912C．972
【思路引导】最大的一位数是9，最小的质数是2，要使这个数是3的倍数，各位上的数字之和是3的倍数；然后根据整数的写法写出此数即可。
【规范解答】解：一个三位数，百位上的数是最大的一位数，个位上的数是最小的质数，要使这个数是3的倍数，这个数最小是912。
故答案为：B。
【考点评析】此题是考查3的倍数特征，应用的知识点有质数意义，自然数的意义等。
3．（2分）（2023春•华安县期中）如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如，6的因数有1，2，3，6，除本身以外，还有1，2，3三个因数，6＝1+2+3，那么6就是完全数，下面（ ）也是“完全数”。
A．15B．24C．28D．32
【思路引导】根据题意可知，把每个选项的因数都写出来，再相加，看看是否符合“完全数”的规律。
【规范解答】解：15的因数有：1，3，5，15，1+3+5＝9，所以15不是“完全数”；
24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24，1+2+3+4+6+8+12＝36，所以24不是“完全数”；
28的因数有：1，28，2，14，4，7，1+2+4+7+14＝28，所以28是“完全数”；
32的因数有：1，32，2，16，4，8，1+2+4+8+16＝31，所以32不是“完全数”。
故选：C。
【考点评析】熟练掌握“完全数”的概念特征，是解决本题的关键。
4．（2分）（2023春•盘州市期中）下面各组数中，既是3的倍数又是5的倍数的是（ ）
A．650B．505C．432D．135
【思路引导】根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；根据3的倍数的特征，一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；要想同时是3、5的倍数，这个数的个位一定是0或5，各位上数的和一定是3的倍数。
【规范解答】解：432个位上是2，不符合5的倍数特征，排除；
6+5+0＝11，不能被3整除，不符合3的倍数特征；
5+5+0＝10，不能被3整除，不符合3的倍数特征；
1+3+5＝9，9÷3＝3，因此，135是3的倍数又是5的倍数。
故选：D。
【考点评析】此题是考查3、5的倍数特征；一个数要想同时是3、5的倍数，它必须同时具备3、5的倍数特征。
5．（2分）（2023春•鼓楼区校级期中）A□B是一个三位数，它是3的倍数，已知A+B＝7。□中可填的数是（ ）。
A．4B．5C．6D．7
【思路引导】3的倍数的特征是：一个数的各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此即可解答。
【规范解答】解：A.7+4＝11，不满足要求；
B.7+5＝12，满足要求；
C.7+6＝13，不满足要求；
D.7+7＝11，不满足要求。
故选：B。
【考点评析】熟练掌握3的倍数特征是解决问题的关键。
6．（2分）（2023春•平阳县期中）下列各数中，是完美数的是（ ）
​
A．4B．12C．28D．36
【思路引导】将每个选项中数的因数写出来，再将除本身之外的所有因数相加，看是否等于它本身即可。
【规范解答】解：A.4的因数有：1、2、4，1+2≠4，不是“完美数”；
B.12的因数有：1、2、3、4、6、12，1+2+3+4+6≠12，不是“完美数”；
C.28的因数有：1、2、4、7、14、28，1+2+4+7+14＝28，是“完美数”；
D.36的因数有：1、2、4、6、9、12、18、36，1+2+3+4+6+9+12+18≠36，不是“完美数”。
故选：C。
【考点评析】读懂题意，明确“完美数”的含义是解答本题的关键。
二．仔细想，认真填（共7小题，满分17分）
7．（2分）（2023春•钦南区期中）一个数的最小倍数是16，这个数是 16 ，它的因数有 1、2、4、8、16 。
【思路引导】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，再利用找一个数因数的方法一对一的找出所有的因数。
【规范解答】解：一个数的最小倍数是16，这个数是16；
16＝1×16＝2×8＝4×4；
所以16的因数有：1、2、4、8、16。
故答案为：16；1、2、4、8、16。
【考点评析】掌握求一个数因数的方法是解答题目的关键。
8．（4分）（2023春•江都区期中）在横线上填入合适的质数。
15＝ 2 + 13 ＝ 3 × 5
42＝ 2 × 3 × 7
【思路引导】分解质因数就是把一个数分解成几个质数相乘的积，再根据质数的概念解答即可。
【规范解答】解：15＝2+13＝3×5
42＝2×3×7
故答案为：2，13，3，5，2，3，7。
【考点评析】本题考查分解质因数、质数的认识，学生需要熟练掌握分解质因数的方法。
9．（3分）（2023春•汝州市期中）在10、24、25、40、45中， 45 是3和5的公倍数； 24 既有因数2，又有因数3； 10 和 40 既是2的倍数，也是5的倍数。
【思路引导】既是3的倍数又是5的倍数的特征：各位上的数字和是3的倍数，且个位数字是0或5的数。既有因数2，又有因数3，就是既是2的倍数又是3的倍数，既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，且各位上的数字和是3的倍数的数；是2和5的公倍数，根据2和5的倍数特征可知，要想同时是2和5的倍数，个位上必需是0，因此找出个位上是0的数，就是有公因数2和5的数。据此解答。
【规范解答】解：在10、24、25、40、45中，45是3和5的公倍数；24既有因数2，又有因数3；10和40既是2的倍数，也是5的倍数。
故答案为：45，24，10，40。
【考点评析】熟练掌握2、3、5的倍数特征是解决此题的关键。
10．（2分）（2023春•洛宁县期中）在0、3、6、9中选出3个数字，组成一个同时是2、3、5的倍数的最大三位数 960 。
【思路引导】同时是2、3、5的倍数的数：个位是0，各个数位上的数字之和是3的倍数，据此解答。
【规范解答】解：在0、3、6、9中选出3个数字，组成一个同时是2、3、5的倍数的最大三位数960。
故答案为：960。
【考点评析】熟练掌握2、3、5的倍数的特征：个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数；个位上是0或5的数是5的倍数；如果一个数的各个数位上的数的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。
11．（2分）（2022春•清苑区期末）一个三位数□2□，同时是2、3、5的倍数，它的个位必须填 0 ，百位上最大填 7 。
【思路引导】同时是2、3、5的倍数的数：个位上只能是0，各个数位上的数加起来能被3整除，据此解答。
【规范解答】解：一个三位数□2□，同时是2、3、5的倍数，它的个位必须填0，百位上最大填7。
故答案为：0；7。
【考点评析】本题考查了数的组成在2、3、5的倍数特征问题的应用。
12．（2分）（2022春•广东期末）两个数的和是495，其中一个数同时是2和5的倍数，如果把这个数个位上的数去掉，则和另一个数相等，这两个数分别是 450 和 45 。
【思路引导】根据2、5的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数，个位上是0或5的数都是5的倍数，同时是2和5的倍数的数，个位上必须是0，如果把这个数个位上的数去掉，则和另一个数相等，也就是一个数是另一个数的10倍，由此可知，这两个数的和相当于较小数的（10+1）倍，据此解答即可。
【规范解答】解：495÷（10+1）
＝495÷11
＝45
45×10＝450
答：这两个数分别是450和45。
故答案为：450，45。
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握2、5的倍数的特征及应用，找出两个数的倍数关系是解答的关键。
13．（2分）（2023春•洛宁县期中）6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是：1+2+3＝6。像这样的数，叫做完全数（也叫完美数）。
请你写出28的因数 1、2、4、7、14、28 ，有人说28是完全数，请写出理由： 1+2+4+7+14＝28 。
【思路引导】将28的因数写出来，再将除本身之外的所有因数相加，看是否等于它本身即可。
【规范解答】解：28的因数有：1、2、4、7、14、28，1+2+4+7+14＝28，所以28是“完全数”。
故答案为：1、2、4、7、14、28；1+2+4+7+14＝28。
【考点评析】读懂题意，明确“完美数”的含义是解答本题的关键。
三．判断正误（共5小题，满分10分，每小题2分）
14．（2分）（2022秋•禹城市期末）一个合数的因数个数比一个质数的因数个数多． √ ．（判断对错）
【思路引导】自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数．由此可知，质数只有两个因数，即1和它本身．
除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数．由此可知，合数的因数除了1和它本身外至少还要有一个因数，即至少有3个因数；由此判断即可．
【规范解答】解：根据合数和质数的意义可知：一个合数的因数个数比一个质数的因数个数多，说法正确；
故答案为：√．
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握质数和合数的意义．
15．（2分）（2023春•黄骅市期中）有因数6的数一定有因数2和3． √ ．（判断对错）
【思路引导】因为6是2和3的倍数，所以一个数是6的倍数，一定是2和3的倍数，即这个数就一定有因数2和3；据此判断即可．
【规范解答】解：由分析知：一个数是6的倍数，那这个数就一定有因数2和3；
所以有因数6的数一定有因数2和3说法正确．
故答案为：√．
【考点评析】解答此题应明确：是6的倍数的数，一定是2和3的倍数．
16．（2分）（2022春•西乡塘区期末）林老师采购了一批书，3元一本，他一共付了253元。 × （判断对错）
【思路引导】3的倍数特征：各个数位上的数加起来能被3整除，据此解答。
【规范解答】解：2+5+3
＝7+3
＝10
10不能被3整除。
253不是3的倍数，所以原题说法错误。
故答案为：×。
【考点评析】本题考查了3的倍数特征，要熟练掌握并运用。
17．（2分）（2022春•巧家县期末）一个三位数，每位数上的数字都是相同的非零自然数，这个三位数一定是3的倍数。 √ （判断对错）
【思路引导】由题意可知，每位数上的数字都是相同的非零自然数，假设这个自然数每位数上的数字都是为a，所以三个数位上数的和为3a；根据3的倍数特征“各个数位上数字的和是3的倍数的数，这个数就是3的倍数”，分析即可求解。
【规范解答】解：假设这个自然数每位数上的数字都是为a，a+a+a＝3a，3a是3的倍数，所以这个数是3的倍数，所以原题说法是正确的。
故答案为：√。
【考点评析】此题需要学生熟练掌握3的倍数特征并灵活运用。
18．（2分）（2022春•隆回县期末）27□既是2的倍数，又是3的倍数，□中最大可填8。 × （判断对错）
【思路引导】27□是2的倍数这个数就是偶数；27□是3的倍数，各个位上数字的和就是3的倍数，2+7＝9，找出9与□的和是3的倍数时□里面应填的数，从中找出最大的即可。
【规范解答】解：27□既是2的倍数那么个位上的数就是偶数；
27□是3的倍数，2+7+□的和就是3的倍数；
因为2+7＝9，
9+0＝9，9+6＝15，9和15都是3的倍数，□里面可以填的偶数是0，6；最大是6。
所原题说法错误。
故答案为：×。
【考点评析】此题主要考查的是能同时被2、3整除的数的特征。
四．计算能手（共2小题，满分11分）
19．（7分）（2021春•石河子期中）在横线上填上一个不同的数，使填成的多位数都是3的倍数。
【思路引导】根据一个数的各位数之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，首先把已知的各个数位上的数字相加，然后再找出符合条件的数即可。
【规范解答】解：5__1中，5+1＝6，十位上可以是0、3、6、9。
13__3中，1+3+3＝7，十位上可以是2、5、8。
故答案为：（1）0、3、6、9；（2）2、5、8。
【考点评析】此题考查了学生能被3整除的数的特征：能被3整除的数的所有数位上的数字之和是3的倍数，把各个数位上的数字相加即可。
20．（4分）（2021春•萧山区期中）按要求填空。
小明家的门牌号码是个四位数，最高位的数字只有1个因数，个位是最小的合数，百位上的数字最大因数是8，十位上比9最小的倍数少9。小明家的门牌是 1804 。
【思路引导】最高位的数字只有1个因数，是1，个位是最小的合数，是4，百位上的数字最大因数是8，是8，十位上比9最小的倍数少9，是（9﹣9），据此写出此数。
【规范解答】解：9﹣9＝0
答：小明家的门牌是1804。
故答案为：1804。
【考点评析】本题考查了合数以及因数与倍数的知识，要掌握这些特殊的数。
五．实际应用（共7小题，满分28分，每小题4分）
21．（4分）（2023春•镇原县期中）蛋糕店里做了113块蛋糕，如果每3块装一盒，能正好装完吗？如果不能，至少还要再做几个这样的蛋糕就能正好装完了？
【思路引导】先计算一下113能不能被3整除，如果能，就能正好装完，反之，则不能；求至少还需几个，先求出余数，然后用除数减去余数，即至少买的个数。
【规范解答】解：113÷3＝37（盒）……2（块）
至少增加：3﹣2＝1（块）
答：不能正好装完，如果每3块装一盒，至少还需要加上1块蛋糕。
【考点评析】此题主要考查根据能被3整除的数的特征解决问题。
22．（4分）（2023春•方城县期中）6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是：1+2+3＝6。像6这样的数，叫做完全数（也叫完美数）。小明说：28也是完全数。他说得对吗？请写出你的验证过程。
【思路引导】由题目可知，如果一个自然数等于它的全部因数（不包括本身）的和，这样的数叫“完美数“。依照“完美数”的概念，可先列举出28的所有因数，并通过求和的方法来验证。
【规范解答】解：他说得对。因为28的因数有：1、2、4、7、14、28，这几个因数的关系是：1+2+4+7+14＝28。所以28是完美数。
【考点评析】通过题目举例，能够初步理解“完美数”的含义，运用因数的知识进行解答，其中的易错点在于相加的因数不包括这个数本身。
23．（4分）（2022秋•交城县期中）哪个盘子正好装完？说说你的想法。
【思路引导】根据2、3、5的倍数特征，个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；个位上的数字是0或5的数是5的倍数。据此解答。
【规范解答】解：7+5＝12，12是3的倍数，所以75是3的倍数，75也是5的倍数。
答：每盘装3个或5个正好装完，因为75是3和5的倍数。
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握2、3、5的倍数的特征及应用。
24．（4分）（2021秋•兴平市期末）便民超市新运进365瓶无菌消毒洗手液，如果每2瓶装一提，能正好装完吗？如果每5瓶装一箱，能正好装完吗？为什么？
【思路引导】根据2、5的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数，个位上是0或5的数都是5的倍数。据此解答。
【规范解答】解：因为365不是2的倍数，所以每2瓶装一提，不能正好装完。
因为365是5的倍数，所以每5瓶装一箱，能正好装完。
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握2、5的倍数的特征及应用。
25．（4分）（2022秋•泾阳县期中）有60本笔记本以及分别能装3本、4本、8本、12本的包装袋若干个。选哪种包装袋能正好把这些笔记本装完？
【思路引导】根据题干可知：只要求出60的因数有哪些即可解决问题。
【规范解答】解：60÷3＝20
60÷4＝15
60÷8＝7……4
60÷12＝5
3，4，12都是60的因数，所以选3本、4本、12本的包装包装袋能正好把这些笔记本装完。
答：选3本、4本、12本的包装包装袋能正好把这些笔记本装完。
【考点评析】此题考查了求一个数因数的方法解决实际问题的灵活应用。
26．（4分）（2023春•安阳期中）亮亮把自然数m的最小因数和m的另一个因数相加，发现得数是4。几个小朋友根据亮亮的发现做了以下几种猜测：
聪聪：m一定是偶数。明明：m一定是合数。乐乐：m一定是3的倍数。三个小朋友的猜测中，哪些是正确的？请你说明理由。
【思路引导】任何自然数的最小因数都是1，所以m的另一个因数是4﹣1＝3，如果m是3，满足条件，则m是奇数，聪聪的猜测不正确，且m是质数，明明的猜测也不正确。m的因数中有3，所以m一定是3的倍数。据此分析解答。
【规范解答】解：因为任何自然数的最小因数都是1，所以m的另一个因数是3，如果m是3，满足条件，则m是奇数，聪聪的猜测不正确，且m是质数，明明的猜测也不正确。M的因数中有3，所以m一定是3的倍数。所以乐乐的猜测是正确的。
【考点评析】此题主要考查3的倍数特征及偶数、合数、质数的认识。
27．（4分）（2019•温州）4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油。每瓶和其它各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8、9、10、11、12、13。已知4个空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，问最重的两瓶内有多少千克油？
【思路引导】由于每只瓶都称了三次，因此记录数之和是4瓶油（连瓶）重量之和的3倍，即4瓶油（加瓶）共重（8+9+10+11+12+13）÷3＝21（千克），而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，而质数中是偶数的质数只有2，当油重之和为19千克，瓶重之和为2千克，每只瓶重2÷4＝（千克），最重的两瓶内的油为13﹣×2＝12（千克）；当油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为13﹣×2＝（千克），这与油重之和为2千克矛盾，不符合题意。
【规范解答】解：每个瓶称三次，故四个瓶子总重量为（8+9+10+11+12+13）÷3＝21 （千克），21是奇数，故空瓶重量之和与油重量之和必为一奇一偶。
而质数中是偶数的质数只有2，分两种情况求解：
（1）当空瓶重量和为2，油重量和为19；每个空瓶2÷4＝（千克），故最重两瓶（即重13的两瓶）有13﹣×2＝12（千克）；
（2）油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重19÷4＝千克，最重的两瓶内的油为13﹣×2＝（千克），这与油重之和为2千克矛盾，不符合题意。
答：最重的两瓶内有12千克油。
【考点评析】本题主要考查了有关偶数、质数以及奇数的知识，解题的关键是求出4瓶油（加瓶）的质量。
六．解决问题（共5小题，满分22分）
28．（6分）（2023春•永善县月考）有153颗糖，分装到包装袋里。每袋装的糖同样多。用哪种包装袋正好装完？
【思路引导】个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数；个位上是0或5的数是5的倍数；如果一个数的各个数位上的数的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数；根据已知数153，结合2、3、5的倍数特征即可解答。
【规范解答】解：根据题意，153的个位上是3，所以不是2和5的倍数，每袋装2颗或5颗的包装袋不能正好装完。
1+5+3＝9，9是3的倍数，则153是3的倍数，所以用每袋装3颗的包装袋正好装完。
答：每袋装3颗的包装袋正好装完。
【考点评析】此题考查倍数的认识，掌握2、3、5的倍数特征是解答的关键。
29．（4分）（2023春•澄迈县月考）将下面各数分别填入指定的圈里。
51 78 13 24 19 87 111 3 57 49 61 23
【思路引导】根据质数与合数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；1既不是质数也不是合数；据此解答即可。
【规范解答】解：质数有：13、19、3、61、23；
合数有：51、78、24、87、111、57、49。
【考点评析】本题主要考查质数与合数的意义，注意1既不是质数也不是合数。
30．（4分）（2023春•确山县期中）从0，4，5，7，9中各选出四个数字组数．（各写三个）
（1）是2的倍数： 4570、4790、5794
（2）是3的倍数： 4590、5490、7950
（3）是5的倍数： 2790、4795、5740
（4）同时是2，3，5的倍数： 4590、5490、7590 ．
【思路引导】（1）能被2整除的特征：个位上是0、2、4、6、8的数；
（2）能被3整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被3整除；
（3）能被5整除的数的特征：个位上的数字是0或者5的数；
（4）要同时能被2、3和5整除，这个数的个位一定是0，各个数位上的数字相加的和能被3整除，解答即可．
【规范解答】解：由分析解答如下：（答案不唯一）
（1）是2的倍数：4570、4790、5794
（2）是3的倍数：4590、5490、7950
（3）是5的倍数：2790、4795、5740；
（4）同时是2，3，5的倍数：4590、5490、7590．
故答案为：4570、4790、5794；4590、5490、7950；2790、4795、5740；4590、5490、7590．
【考点评析】此题主要根据能被2、3、5整除的数的特征解决问题．
31．（4分）（2023春•宝丰县期中）王老师到文具店买足球，足球的单价已看不清楚，他买了3个足球，售货员说应付134元，王老师认为不对．你能解释这是为什么吗？
【思路引导】王老师到文具店买了3个足球，总价应是3的倍数，根据3的倍数的特征，一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，134各位上的数字之和不是3的倍数，因此，王老师认为不对是正确的．
【规范解答】解：根据“总价÷数量＝单价”，134÷3＝单价，
1+3+4＝8，8不是3的倍数，
因此，王老师认为不对．
【考点评析】此题主要是考查3的倍数特征．属于基础知识，要掌握．
32．（4分）（2019•重庆模拟）把63个玻璃球装在几个盒子里，每个盒子装得同样多，刚好装完．
（1）有几种装法？（列出算式）
（2）如果有67个球呢？
【思路引导】（1）根据题意，即把63个球平均分到若干个盒子里，那么两个数相乘积是63，因为题目有每个盒子的个数一样多，所以盒子至少是2个，所以63有多少个因数再减去1个盒子的装63个的装法，就是题目要求的装法，列式解答即可得到答案．
（2）67是质数，所以67＝1×67，由此即可得出只有1种装法．
【规范解答】解：（1）63＝1×63，每个盒子里装一个，因为题目有每个盒子的个数一样多，所以盒子至少是2个，所以1盒装63的装法舍掉；
63＝3×21，每个盒子里装3个或每个盒子里装21个，
63＝7×9，每个盒子里装7个或每个盒子里装9个，
装法有：2+2+1＝5（种），
答：有5种不同的装法．
（2）67是质数，所以只有1种装法：每个盒子里装一个．
答：有1种装法．
【考点评析】解答此题关键将63和67进行分解因数，有几个因数就有几种装法
（1）5 0 1
5 3 1
5 6 1
5 9 1
（2）13 2 3
13 5 3
13 8 3