辽宁省丹东市第四中学2024-2025学年高三上学期期初考试数学模拟试题 （原卷版+解析版）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】利用列举法表示集合A，即可求得真子集个数.
【详解】集合，
其真子集有：，，，，，，，共7个.
故选：C
2. 已知，为非零实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的知识求得正确答案.
【详解】当时，同号且非零，则，所以.
当时，如，则，无法得到.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3. 设是等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据成等比数列，得到方程，求出，得到答案.
【详解】由题意得S2=2,S4-S2=6，，
因为成等比数列，故S4-S22=S2S6-S4，
即62=2S6-8，解得，
故.
故选：D
4. 已知函数 的图象在点处的切线斜率为2，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】求得，根据题意得出方程，即可求解.
【详解】由函数，可得，
因为函数的图象在点处的切线斜率为，
可得，解得.
故选：B.
5. 已知连续型随机变量Xi~N(ui，σi2)(i=1，2，3)，其正态曲线如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. P(X1≤μ2)P(X3≥μ3)
C. P(X1≤μ2)P(X2≤μ1)，故A错误；
对于B：P(X2≥μ2)=，P(X3≥μ3)=，则P(X2≥μ2)=P(X3≥μ3)，故B错误；
对于C：与A分析同理，P(X1≤μ2)>P(X2≤μ3)，故C错误；
对于D：由于概率表示曲线和x轴围成的部分，与是i还是i+1无关，
故P(μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1，2)成立，故D正确.
故选：D.
6. 已知等差数列的前项和为，，为整数，且，则数列的前9项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用给定条件，求出等差数列an的公差范围，进而求出及通项公式，再利用裂项相消法求和即得.
【详解】设等差数列an的公差为，由，得，则，
即，解得，而整数，则为整数，
因此，，，
所以数列的前9项和为.
故选：A
7. 在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】记该市去年人均收入为万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为,设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为，根据马尔可夫不等式可得，再根据二项分布求得，令，求导判断单调性即可求得最大值.
【详解】记该市去年人均收入为万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为.
设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为，
则根据马尔可夫不等式可得，
，
因为，
所以，
令，则，
，即，
在上单调递增.
，即.
故选：B
8. 若关于x的不等式有且只有一个整数解，则正实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】原不等式可化简为，设，，作出函数的图象，由图象可知函数的图象应介于直线与直线之间（可以为直线，进而求得答案．
【详解】原不等式可化简为，设，，
由得，，令可得，
时，，时，，
易知函数在单调递减，在单调递增，且，
作出的图象如下图所示，
而函数恒过点，要使关于的不等式有且只有一个整数解，则函数的图象应介于直线与直线之间（可以为直线），
又，，
∴，，
∴，
∴．
故选：A．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知正实数满足，则（ ）
A. 的最大值为2
B. 的最小值为1
C. 的最大值为2
D. 的最小值为1
【答案】AC
【解析】
【分析】由题可得，可令，，即，，代入选项依次化简即可结果.
【详解】由，可得，令，，所以，，
对于A，则，当时，取最大值为2，故A正确
对于B，
当时，的最大值为1，故B错误；
对于C、D，由B可得，由，则，故C正确，D错误.
故选：AC
10. 已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A B.
C. 第5次取出的球是红球的概率为D. 前3次取球恰有2次取到红球的概率是
【答案】AC
【解析】
【分析】依题意求出，设第次取出球是红球的概率为，则白球概率为，即可求出第次取出红球的概率，即可得到，从而可判断各个选项.
【详解】依题意，
设第次取出球是红球的概率为，则白球概率为，
对于第次，取出红球有两种情况．
①从红箱取出的概率为，②从白箱取出的概率为，
对应，即，故B错误；
所以，
令，则数列为等比数列，公比为，因为，所以，
故，所以，故选项A，C正确；
第1次取出球是红球的概率为，第2次取出球是红球的概率为，
第3次取出球是红球的概率为，
前3次取球恰有2次取到红球的概率是，
故D错误；
故选：AC．
11. 已知函数，则（ ）
A. 在区间上单调递增
B. 当时，取最小值
C. 对为增函数
D. 对
【答案】ACD
【解析】
【分析】直接求导确定函数单调递增，即可判断A、B选项；求导由即可确定C选项；由导函数和原函数在上均为增函数，结合函数图像即可判断D选项.
【详解】易知定义域为，，故在区间上单调递增，A正确；
无最小值，B错误；
当时，，
易得，则，即，故为增函数，C正确；
当时，，令，易得为增函数，即在为增函数，
又在为增函数，故函数为“上凹”函数，
结合图像可知，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．双空题第一个空2分，第二个空3分．
12. 曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数求的几何意义求出切线方程，求出切线与两坐标轴的交点，结合三角形的面积公式可求得结果.
【详解】对函数求导得，所求切线斜率为，
当时，，切点坐标为，
所以，曲线在处的切线方程为，即，
直线交轴于点，交轴于点，
所以，曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为.
故答案为：.
13. 已知实数满足，，则的最小值为__________.
【答案】2025
【解析】
【分析】先对式子变形得到，由基本不等式求出，从而求出的最小值.
【详解】，
因为，所以，，
，故，
由基本不等式得：，
当且仅当，即时，等号成立，
故，
即的最小值为2025.
故答案为：2025.
14. 数列满足，若对任意，所有的正整数n都有成立，则实数k的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】先由题设求得，然后利用数列的单调性求得其最大值，把对任意，所有的正整数n都有成立转化为对任意恒成立，再利用基本不等式求得的最小值，即可得到答案.
【详解】由，
当时，，
两式相减可得：，
∴，由，显然成立，
设，
∴当时，，当时，，
因此，，数列{an}单调递增，当时，数列{an}单调递减，
由，，故当或时，数列{an}取最大值，且最大值为，
对任意，所有的正整数n都有成立，可得，
因此，，即对任意恒成立，
由，当且仅当，即时取最小值，则，
∴实数k的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知an是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列.
（1）求数列an的通项公式；
（2）设，求数列bn的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）设出公差，借助等差数列性质与等比数列性质计算即可得；
（2）分奇数项及偶数项分组求和，结合等比数列的性质与裂项相消法计算即可得.
【小问1详解】
设an的公差为，由题意知，即，
即有，因为，可得，，
所以；
【小问2详解】
设数列bn的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为，
则
，
，
所以．
16. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，分类讨论的符号，结合二次不等式求的单调性；
（2）构建，原题意等价于对任意的恒成立，求导，结合，可得，并代入检验即可.
【小问1详解】
由题意可知：的定义域为0,+∞，且，
对于，则有：
若时，则，可得，
所以在0,+∞内单调递增；
若时，则有：
当，即时，则，可得f'x≥0，
所以在0,+∞内单调递增；
当，即时，令，
解得，，且，
令f'x>0，解得或；令f'x