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辽宁省丹东市第四中学2024-2025学年高三上学期期初考试数学模拟试题 （解析版）
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这是一份辽宁省丹东市第四中学2024-2025学年高三上学期期初考试数学模拟试题 （解析版），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】利用列举法表示集合A，即可求得真子集个数.
【详解】集合，
其真子集有：，，，，，，，共7个.
故选：C
2. 已知，为非零实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的知识求得正确答案.
【详解】当时，同号且非零，则，所以.
当时，如，则，无法得到.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3. 设是等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据成等比数列，得到方程，求出，得到答案.
【详解】由题意得S2=2,S4-S2=6，，
因为成等比数列，故S4-S22=S2S6-S4，
即62=2S6-8，解得，
故.
故选：D
4. 已知函数 的图象在点处的切线斜率为2，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】求得，根据题意得出方程，即可求解.
【详解】由函数，可得，
因为函数的图象在点处的切线斜率为，
可得，解得.
故选：B.
5. 已知连续型随机变量Xi~N(ui，σi2)(i=1，2，3)，其正态曲线如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. P(X1≤μ2)B. P(X2≥μ2)>P(X3≥μ3)
C. P(X1≤μ2)D. P(μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1，2)
【答案】D
【解析】
【分析】根据正态分布密度曲线的性质与概率的关系判断．
【详解】解：对于A：P(X1≤μ2)是第一条正态分布密度函数图象在第二条虚线左侧与x轴围成的部分，
P(X2≤μ1)是第二条正态分布密度函数图象在第一条虚线左侧与x轴围成的部分，
故由图象可知P(X1≤μ2)>P(X2≤μ1)，故A错误；
对于B：P(X2≥μ2)=，P(X3≥μ3)=，则P(X2≥μ2)=P(X3≥μ3)，故B错误；
对于C：与A分析同理，P(X1≤μ2)>P(X2≤μ3)，故C错误；
对于D：由于概率表示曲线和x轴围成的部分，与是i还是i+1无关，
故P(μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1，2)成立，故D正确.
故选：D.
6. 已知等差数列的前项和为，，为整数，且，则数列的前9项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用给定条件，求出等差数列an的公差范围，进而求出及通项公式，再利用裂项相消法求和即得.
【详解】设等差数列an的公差为，由，得，则，
即，解得，而整数，则为整数，
因此，，，
所以数列的前9项和为.
故选：A
7. 在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】记该市去年人均收入为万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为,设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为，根据马尔可夫不等式可得，再根据二项分布求得，令，求导判断单调性即可求得最大值.
【详解】记该市去年人均收入为万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为.
设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为，
则根据马尔可夫不等式可得，
，
因为，
所以，
令，则，
，即，
在上单调递增.
，即.
故选：B
8. 若关于x的不等式有且只有一个整数解，则正实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】原不等式可化简为，设，，作出函数的图象，由图象可知函数的图象应介于直线与直线之间（可以为直线，进而求得答案．
【详解】原不等式可化简为，设，，
由得，，令可得，
时，，时，，
易知函数在单调递减，在单调递增，且，
作出的图象如下图所示，
而函数恒过点，要使关于的不等式有且只有一个整数解，则函数的图象应介于直线与直线之间（可以为直线），
又，，
∴，，
∴，
∴．
故选：A．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知正实数满足，则（ ）
A. 的最大值为2
B. 的最小值为1
C. 的最大值为2
D. 的最小值为1
【答案】AC
【解析】
【分析】由题可得，可令，，即，，代入选项依次化简即可结果.
【详解】由，可得，令，，所以，，
对于A，则，当时，取最大值为2，故A正确
对于B，
当时，的最大值为1，故B错误；
对于C、D，由B可得，由，则，故C正确，D错误.
故选：AC
10. 已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A B.
C. 第5次取出的球是红球的概率为D. 前3次取球恰有2次取到红球的概率是
【答案】AC
【解析】
【分析】依题意求出，设第次取出球是红球的概率为，则白球概率为，即可求出第次取出红球的概率，即可得到，从而可判断各个选项.
【详解】依题意，
设第次取出球是红球的概率为，则白球概率为，
对于第次，取出红球有两种情况．
①从红箱取出的概率为，②从白箱取出的概率为，
对应，即，故B错误；
所以，
令，则数列为等比数列，公比为，因为，所以，
故，所以，故选项A，C正确；
第1次取出球是红球的概率为，第2次取出球是红球的概率为，
第3次取出球是红球的概率为，
前3次取球恰有2次取到红球的概率是，
故D错误；
故选：AC．
11. 已知函数，则（ ）
A. 在区间上单调递增
B. 当时，取最小值
C. 对为增函数
D. 对
【答案】ACD
【解析】
【分析】直接求导确定函数单调递增，即可判断A、B选项；求导由即可确定C选项；由导函数和原函数在上均为增函数，结合函数图像即可判断D选项.
【详解】易知定义域为，，故在区间上单调递增，A正确；
无最小值，B错误；
当时，，
易得，则，即，故为增函数，C正确；
当时，，令，易得为增函数，即在为增函数，
又在为增函数，故函数为“上凹”函数，
结合图像可知，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．双空题第一个空2分，第二个空3分．
12. 曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数求的几何意义求出切线方程，求出切线与两坐标轴的交点，结合三角形的面积公式可求得结果.
【详解】对函数求导得，所求切线斜率为，
当时，，切点坐标为，
所以，曲线在处的切线方程为，即，
直线交轴于点，交轴于点，
所以，曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为.
故答案为：.
13. 已知实数满足，，则的最小值为__________.
【答案】2025
【解析】
【分析】先对式子变形得到，由基本不等式求出，从而求出的最小值.
【详解】，
因为，所以，，
，故，
由基本不等式得：，
当且仅当，即时，等号成立，
故，
即的最小值为2025.
故答案为：2025.
14. 数列满足，若对任意，所有的正整数n都有成立，则实数k的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】先由题设求得，然后利用数列的单调性求得其最大值，把对任意，所有的正整数n都有成立转化为对任意恒成立，再利用基本不等式求得的最小值，即可得到答案.
【详解】由，
当时，，
两式相减可得：，
∴，由，显然成立，
设，
∴当时，，当时，，
因此，，数列{an}单调递增，当时，数列{an}单调递减，
由，，故当或时，数列{an}取最大值，且最大值为，
对任意，所有的正整数n都有成立，可得，
因此，，即对任意恒成立，
由，当且仅当，即时取最小值，则，
∴实数k的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知an是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列.
（1）求数列an的通项公式；
（2）设，求数列bn的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）设出公差，借助等差数列性质与等比数列性质计算即可得；
（2）分奇数项及偶数项分组求和，结合等比数列的性质与裂项相消法计算即可得.
【小问1详解】
设an的公差为，由题意知，即，
即有，因为，可得，，
所以；
【小问2详解】
设数列bn的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为，
则
，
，
所以．
16. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，分类讨论的符号，结合二次不等式求的单调性；
（2）构建，原题意等价于对任意的恒成立，求导，结合，可得，并代入检验即可.
【小问1详解】
由题意可知：的定义域为0,+∞，且，
对于，则有：
若时，则，可得，
所以在0,+∞内单调递增；
若时，则有：
当，即时，则，可得f'x≥0，
所以在0,+∞内单调递增；
当，即时，令，
解得，，且，
令f'x>0，解得或；令f'x<0，解得；
所以在内单调递减，在，内单调递增；
综上所述：
当时，在0,+∞内单调递增；
当时，在内单调递减，在内单调递增.
【小问2详解】
构建，
原题意等价于对任意的恒成立，
则，
且，则，解得，
下证充分性，
若，令，则，
可知hx在内单调递增，则，
即对任意的恒成立，可知在内单调递增，
可得，符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
17. 已知数列前n项和为，且，记.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1），令，求出，再结合时，利用结合求出，然后结合和时，验证是否满足；
（2）把的通项公式带入中，化简，然后分离成两项之间的和的关系，借助前面的进行抵消求和.
【小问1详解】
，当时，；
当，时，，.
当时也符合, .
【小问2详解】
.
18. 当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段．某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计表．
（1）公司拟分别用①和②两种方案作为年销售量关于年投入额的回归分析模型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；（计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位）
（2）根据下表数据，用决定系数（只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为百万元时，产品的销售量是多少?
参考公式及数据：，，，，，，，， ．
【答案】（1），
（2）②的拟合效果好，预测销售量是千件
【解析】
【分析】（1）根据经验回归方程的求法求得正确答案.
（2）通过计算决定系数确定拟合效果较好的方案，并由此进行预测.
【小问1详解】
，
所以，
所以.
由，两边取以为底的对数得，即，
，
所以，所以
【小问2详解】
，
对于，；对于，，
所以②的拟合效果好，当时，预测值千件.
19. 已知函数.
（1）若，求证：当时，
（2）若有两个不同的极值点且.
（i）求的取值范围；
（ii）求证：.
【答案】（1）见解析 （2）（i）（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导判断函数的单调性即可求解最值证明，
（2）根据极值点可得韦达定理，根据一元二次方程根的分布即可求解的范围，利用，消去，进而看做关于的函数，构造，利用导数求解函数的单调性，即可求解最值判断，结合对数与指数的单调性即可求解.
【小问1详解】
时，
则，故在单调递减，
故，故时，，
【小问2详解】
（i），
由于有两个不同的极值点且，
故是的两个不相等的正实数根，
故，解得，
故
（ii）由于，所以，故，
由于，故，
，
令，
故，
当时，，故在单调递增，
故，
由于故，
因此，
故.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
1
2
3
4
5
6
1
1.5
3
6
12
经验回归方程
残差平方和
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】利用列举法表示集合A，即可求得真子集个数.
【详解】集合，
其真子集有：，，，，，，，共7个.
故选：C
2. 已知，为非零实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的知识求得正确答案.
【详解】当时，同号且非零，则，所以.
当时，如，则，无法得到.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3. 设是等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据成等比数列，得到方程，求出，得到答案.
【详解】由题意得S2=2,S4-S2=6，，
因为成等比数列，故S4-S22=S2S6-S4，
即62=2S6-8，解得，
故.
故选：D
4. 已知函数 的图象在点处的切线斜率为2，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】求得，根据题意得出方程，即可求解.
【详解】由函数，可得，
因为函数的图象在点处的切线斜率为，
可得，解得.
故选：B.
5. 已知连续型随机变量Xi~N(ui，σi2)(i=1，2，3)，其正态曲线如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. P(X1≤μ2)
C. P(X1≤μ2)
【答案】D
【解析】
【分析】根据正态分布密度曲线的性质与概率的关系判断．
【详解】解：对于A：P(X1≤μ2)是第一条正态分布密度函数图象在第二条虚线左侧与x轴围成的部分，
P(X2≤μ1)是第二条正态分布密度函数图象在第一条虚线左侧与x轴围成的部分，
故由图象可知P(X1≤μ2)>P(X2≤μ1)，故A错误；
对于B：P(X2≥μ2)=，P(X3≥μ3)=，则P(X2≥μ2)=P(X3≥μ3)，故B错误；
对于C：与A分析同理，P(X1≤μ2)>P(X2≤μ3)，故C错误；
对于D：由于概率表示曲线和x轴围成的部分，与是i还是i+1无关，
故P(μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1，2)成立，故D正确.
故选：D.
6. 已知等差数列的前项和为，，为整数，且，则数列的前9项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用给定条件，求出等差数列an的公差范围，进而求出及通项公式，再利用裂项相消法求和即得.
【详解】设等差数列an的公差为，由，得，则，
即，解得，而整数，则为整数，
因此，，，
所以数列的前9项和为.
故选：A
7. 在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】记该市去年人均收入为万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为,设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为，根据马尔可夫不等式可得，再根据二项分布求得，令，求导判断单调性即可求得最大值.
【详解】记该市去年人均收入为万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为.
设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为，
则根据马尔可夫不等式可得，
，
因为，
所以，
令，则，
，即，
在上单调递增.
，即.
故选：B
8. 若关于x的不等式有且只有一个整数解，则正实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】原不等式可化简为，设，，作出函数的图象，由图象可知函数的图象应介于直线与直线之间（可以为直线，进而求得答案．
【详解】原不等式可化简为，设，，
由得，，令可得，
时，，时，，
易知函数在单调递减，在单调递增，且，
作出的图象如下图所示，
而函数恒过点，要使关于的不等式有且只有一个整数解，则函数的图象应介于直线与直线之间（可以为直线），
又，，
∴，，
∴，
∴．
故选：A．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知正实数满足，则（ ）
A. 的最大值为2
B. 的最小值为1
C. 的最大值为2
D. 的最小值为1
【答案】AC
【解析】
【分析】由题可得，可令，，即，，代入选项依次化简即可结果.
【详解】由，可得，令，，所以，，
对于A，则，当时，取最大值为2，故A正确
对于B，
当时，的最大值为1，故B错误；
对于C、D，由B可得，由，则，故C正确，D错误.
故选：AC
10. 已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A B.
C. 第5次取出的球是红球的概率为D. 前3次取球恰有2次取到红球的概率是
【答案】AC
【解析】
【分析】依题意求出，设第次取出球是红球的概率为，则白球概率为，即可求出第次取出红球的概率，即可得到，从而可判断各个选项.
【详解】依题意，
设第次取出球是红球的概率为，则白球概率为，
对于第次，取出红球有两种情况．
①从红箱取出的概率为，②从白箱取出的概率为，
对应，即，故B错误；
所以，
令，则数列为等比数列，公比为，因为，所以，
故，所以，故选项A，C正确；
第1次取出球是红球的概率为，第2次取出球是红球的概率为，
第3次取出球是红球的概率为，
前3次取球恰有2次取到红球的概率是，
故D错误；
故选：AC．
11. 已知函数，则（ ）
A. 在区间上单调递增
B. 当时，取最小值
C. 对为增函数
D. 对
【答案】ACD
【解析】
【分析】直接求导确定函数单调递增，即可判断A、B选项；求导由即可确定C选项；由导函数和原函数在上均为增函数，结合函数图像即可判断D选项.
【详解】易知定义域为，，故在区间上单调递增，A正确；
无最小值，B错误；
当时，，
易得，则，即，故为增函数，C正确；
当时，，令，易得为增函数，即在为增函数，
又在为增函数，故函数为“上凹”函数，
结合图像可知，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．双空题第一个空2分，第二个空3分．
12. 曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数求的几何意义求出切线方程，求出切线与两坐标轴的交点，结合三角形的面积公式可求得结果.
【详解】对函数求导得，所求切线斜率为，
当时，，切点坐标为，
所以，曲线在处的切线方程为，即，
直线交轴于点，交轴于点，
所以，曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为.
故答案为：.
13. 已知实数满足，，则的最小值为__________.
【答案】2025
【解析】
【分析】先对式子变形得到，由基本不等式求出，从而求出的最小值.
【详解】，
因为，所以，，
，故，
由基本不等式得：，
当且仅当，即时，等号成立，
故，
即的最小值为2025.
故答案为：2025.
14. 数列满足，若对任意，所有的正整数n都有成立，则实数k的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】先由题设求得，然后利用数列的单调性求得其最大值，把对任意，所有的正整数n都有成立转化为对任意恒成立，再利用基本不等式求得的最小值，即可得到答案.
【详解】由，
当时，，
两式相减可得：，
∴，由，显然成立，
设，
∴当时，，当时，，
因此，，数列{an}单调递增，当时，数列{an}单调递减，
由，，故当或时，数列{an}取最大值，且最大值为，
对任意，所有的正整数n都有成立，可得，
因此，，即对任意恒成立，
由，当且仅当，即时取最小值，则，
∴实数k的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知an是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列.
（1）求数列an的通项公式；
（2）设，求数列bn的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）设出公差，借助等差数列性质与等比数列性质计算即可得；
（2）分奇数项及偶数项分组求和，结合等比数列的性质与裂项相消法计算即可得.
【小问1详解】
设an的公差为，由题意知，即，
即有，因为，可得，，
所以；
【小问2详解】
设数列bn的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为，
则
，
，
所以．
16. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，分类讨论的符号，结合二次不等式求的单调性；
（2）构建，原题意等价于对任意的恒成立，求导，结合，可得，并代入检验即可.
【小问1详解】
由题意可知：的定义域为0,+∞，且，
对于，则有：
若时，则，可得，
所以在0,+∞内单调递增；
若时，则有：
当，即时，则，可得f'x≥0，
所以在0,+∞内单调递增；
当，即时，令，
解得，，且，
令f'x>0，解得或；令f'x<0，解得；
所以在内单调递减，在，内单调递增；
综上所述：
当时，在0,+∞内单调递增；
当时，在内单调递减，在内单调递增.
【小问2详解】
构建，
原题意等价于对任意的恒成立，
则，
且，则，解得，
下证充分性，
若，令，则，
可知hx在内单调递增，则，
即对任意的恒成立，可知在内单调递增，
可得，符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
17. 已知数列前n项和为，且，记.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1），令，求出，再结合时，利用结合求出，然后结合和时，验证是否满足；
（2）把的通项公式带入中，化简，然后分离成两项之间的和的关系，借助前面的进行抵消求和.
【小问1详解】
，当时，；
当，时，，.
当时也符合, .
【小问2详解】
.
18. 当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段．某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计表．
（1）公司拟分别用①和②两种方案作为年销售量关于年投入额的回归分析模型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；（计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位）
（2）根据下表数据，用决定系数（只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为百万元时，产品的销售量是多少?
参考公式及数据：，，，，，，，， ．
【答案】（1），
（2）②的拟合效果好，预测销售量是千件
【解析】
【分析】（1）根据经验回归方程的求法求得正确答案.
（2）通过计算决定系数确定拟合效果较好的方案，并由此进行预测.
【小问1详解】
，
所以，
所以.
由，两边取以为底的对数得，即，
，
所以，所以
【小问2详解】
，
对于，；对于，，
所以②的拟合效果好，当时，预测值千件.
19. 已知函数.
（1）若，求证：当时，
（2）若有两个不同的极值点且.
（i）求的取值范围；
（ii）求证：.
【答案】（1）见解析 （2）（i）（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导判断函数的单调性即可求解最值证明，
（2）根据极值点可得韦达定理，根据一元二次方程根的分布即可求解的范围，利用，消去，进而看做关于的函数，构造，利用导数求解函数的单调性，即可求解最值判断，结合对数与指数的单调性即可求解.
【小问1详解】
时，
则，故在单调递减，
故，故时，，
【小问2详解】
（i），
由于有两个不同的极值点且，
故是的两个不相等的正实数根，
故，解得，
故
（ii）由于，所以，故，
由于，故，
，
令，
故，
当时，，故在单调递增，
故，
由于故，
因此，
故.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
1
2
3
4
5
6
1
1.5
3
6
12
经验回归方程
残差平方和
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