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新高考数学一轮复习学案第34讲 圆的方程（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份新高考数学一轮复习学案第34讲 圆的方程（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学一轮复习学案第34讲圆的方程解析版doc、新高考数学一轮复习学案第34讲圆的方程原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共77页， 欢迎下载使用。
一、基本概念
平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆.
二、基本性质、定理与公式
1.圆的四种方程
（1）圆的标准方程： SKIPIF 1 < 0 ，圆心坐标为(a,b)，半径为 SKIPIF 1 < 0
（2）圆的一般方程： SKIPIF 1 < 0 ，圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0
（3）圆的直径式方程：若 SKIPIF 1 < 0 ，则以线段AB为直径的圆的方程是 SKIPIF 1 < 0
（4）圆的参数方程：
① SKIPIF 1 < 0 的参数方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为参数）；
② SKIPIF 1 < 0 的参数方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为参数）.
注 对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为参数，(a,b)为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.
2.点与圆的位置关系判断
（1）点 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的位置关系：
① SKIPIF 1 < 0 点P在圆外；
② SKIPIF 1 < 0 点P在圆上；
③ SKIPIF 1 < 0 点P在圆内.
（2）点 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的位置关系：
① SKIPIF 1 < 0 点P在圆外；
② SKIPIF 1 < 0 点P在圆上； SKIPIF 1 < 0 点P在圆内.
三、直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交
直线与圆的位置关系判断
1.几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，则 SKIPIF 1 < 0 ：
则 SKIPIF 1 < 0 直线与圆相交，交于两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 直线与圆相切；
SKIPIF 1 < 0 直线与圆相离
2.代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由 SKIPIF 1 < 0 ，消元得到一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 判别式为 SKIPIF 1 < 0 ，则：
则 SKIPIF 1 < 0 直线与圆相交；
SKIPIF 1 < 0 直线与圆相切；
SKIPIF 1 < 0 直线与圆相离.
五、两圆位置关系的判断
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆 SKIPIF 1 < 0 的半径分别是 SKIPIF 1 < 0 ，（不妨设 SKIPIF 1 < 0 ），且两圆的圆心距为 SKIPIF 1 < 0 ，则：
则 SKIPIF 1 < 0 两圆相交；
SKIPIF 1 < 0 两圆外切；
SKIPIF 1 < 0 两圆相离
SKIPIF 1 < 0 两圆内切；
SKIPIF 1 < 0 两圆内含（ SKIPIF 1 < 0 时两圆为同心圆）
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知圆C的圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且与直线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，则圆C方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
设圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，则圆心与点 SKIPIF 1 < 0 的连线与直线l垂直，即 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
所以方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
例2．（2022·全国·高三专题练习）点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
B．两圆公切线有两条
C．两个圆心所在的直线斜率为 SKIPIF 1 < 0
D．两个圆相交弦所在直线的方程为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【详解】
由圆的方程知：圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ；圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两圆外切；
对于A，若 SKIPIF 1 < 0 重合，为两圆的切点，则 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B，两圆外切，则公切线有 SKIPIF 1 < 0 条，B错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 两圆相外切， SKIPIF 1 < 0 两个圆不存在相交弦，D错误.
故选：AC.
例3．（2022·全国·高三专题练习）求圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且过两圆 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 交点的圆的方程．
【详解】
依题意可得，圆心在圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 公共弦的垂直平分线上．
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则两圆交点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则其公共弦的垂直平分线为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以圆心是直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点，联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
则圆半径 SKIPIF 1 < 0
所以圆方程为 SKIPIF 1 < 0
例4．（2021·湖南·攸县第三中学高三阶段练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 的方程： SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）当圆 SKIPIF 1 < 0 过A(1，1)时，求直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 所截得的弦 SKIPIF 1 < 0 的长.
【详解】
解：（1）圆 SKIPIF 1 < 0 的方程可化为 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
（2）∵圆 SKIPIF 1 < 0 过A(1，1)代入得 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0
圆心 SKIPIF 1 < 0 (1，2)，半径 SKIPIF 1 < 0 ,
圆心 SKIPIF 1 < 0 (1，2)到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 .
例5．（2020·江苏·高三专题练习） SKIPIF 1 < 0 的三个顶点的坐标是 SKIPIF 1 < 0 求它的外接圆的方程．
【详解】
设所求圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，则圆经过 SKIPIF 1 < 0 三点
SKIPIF 1 < 0 ，解之得 SKIPIF 1 < 0 .
所以所求圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 .
例6．（2020·全国·高三专题练习）已知圆C：（x+2）2+y2＝5，直线l：mx﹣y+1+2m＝0，m∈R.
（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.
【详解】
（1）直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，也即 SKIPIF 1 < 0 ，故直线恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 内，
此时直线 SKIPIF 1 < 0 一定与圆 SKIPIF 1 < 0 相交.
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得： SKIPIF 1 < 0 ；
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时，显然中点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 也满足上述方程.
故 SKIPIF 1 < 0 点的轨迹方程为： SKIPIF 1 < 0 .
例7．（2021·全国·高三专题练习（理））已知点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上运动.
（1）求过点 SKIPIF 1 < 0 且被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 的直线方程；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的最值.
【详解】
(1)依题意,直线的斜率存在,因为过点 SKIPIF 1 < 0 且被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ,所以圆心到直线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 所以直线方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
(2)设 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为88,最小值为72.
例8．（2021·辽宁·沈阳二中高三阶段练习）已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
（1）求两圆公共弦所在直线的方程；（2）求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.
【详解】
解：（1）设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点坐标是方程组 SKIPIF 1 < 0 的解，两式相减得x－y＋4＝0，
SKIPIF 1 < 0 A，B两点坐标都满足此方程，
SKIPIF 1 < 0 x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程；
(2)解方程组 SKIPIF 1 < 0 得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2)，
设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，所以b＝a－4，
则 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，解得a＝ SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
例9．（2021·全国·高三专题练习）求与圆 SKIPIF 1 < 0 切于点 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 的圆的方程.
【详解】
设与圆 SKIPIF 1 < 0 切于点 SKIPIF 1 < 0 的圆系方程为：
SKIPIF 1 < 0 .
以点 SKIPIF 1 < 0 代入，求得 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
化简即得所求圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
例10．（2021·全国·高三专题练习（理））已知点 SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）求经过点 SKIPIF 1 < 0 以及曲线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交点的圆的方程.
【详解】
(1)设 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 ,所以曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .(2)设所求方程为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,将 SKIPIF 1 < 0 代入上式得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以所求圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（理））己知圆C经过A（5，2）， B（－1，4）两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是（ ）
A．（x－2）2+y2= 13B．（x+2）2+y2= 17
C．（x+1）2 +y2= 40D．（x－1）2 +y2 = 20
【答案】D
【分析】
设圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，由圆心到 SKIPIF 1 < 0 距离相等求得 SKIPIF 1 < 0 ，然后再求出半径后可得．
【详解】
由题意，设圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ．
所以圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
2．（2021·新疆昌吉·高三阶段练习（理））圆 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的圆的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
圆关于直线的对称圆问题，第一步求圆心关于直线的对称点，半径不变，第二步直接写出圆的方程.
【详解】
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 半径为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 设对称点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，利用两圆心的连线与直线垂直，两圆心的中点在直线上列方程求解， SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 所以对称圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选:C.
3．（2022·全国·高三专题练习（理））若圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心在第一象限，且与直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
由题意可设圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，利用圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于圆的半径可求得正数 SKIPIF 1 < 0 的值，由此可得出圆 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【详解】
由题意可设圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上的圆的方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线 SKIPIF 1 < 0 上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，可得圆的方程．【详解】
因为过点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，
所以线段AB的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以线段AB的中垂线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以线段AB的中垂线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆心为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
5．（2022·全国·高三专题练习）以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心，且与直线 SKIPIF 1 < 0 相切的圆的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
由圆心到切线距离等于半径求得圆半径后可得圆方程．
【详解】
因直线与圆相切，所以圆的半径等于点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则所求圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D．
6．（2022·全国·高三专题练习）圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的位置关系为（ ）
A．内含B．外离C．相交D．相切
【答案】D
【分析】
根据两个圆的圆心距与两个半径的关系，即可判断两个圆的位置关系．【详解】
因为圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0
所以两个圆的圆心距 SKIPIF 1 < 0
两个圆的半径分别为 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以两个圆相切.
故选：D
7．（2022·全国·高三专题练习）若直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
根据点到直线的距离公式，求出圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，令其等于半径即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值
【详解】
圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
故选：A
8．（2022·全国·高三专题练习）直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴分别交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
由已知得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标，进而得圆心坐标和半径，写出圆的标准方程，然后化为一般方程即可.
【详解】
由直线截距式方程知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
化为一般方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
9．（2022·全国·高三专题练习） SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的公切线有（ ）
A．1条B．2条
C．3条D．4条
【答案】D
【分析】
判断出两圆的位置关系即可得到答案.
【详解】
由题意，两圆的标准式分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心和半径分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故两圆相离，一共有4条公切线.
故选：D.
10．（2022·全国·高三专题练习）圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为1，则 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】A
【详解】
试题分析：由 SKIPIF 1 < 0 配方得 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，因为圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为1，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故选A.
【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式
【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．
11．（2022·全国·高三专题练习）若方程 SKIPIF 1 < 0 表示圆，则实数m的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
根据 SKIPIF 1 < 0 ，解不等式即可求解.
【详解】
由方程 SKIPIF 1 < 0 表示圆，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以实数m的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
12．（2022·江苏·高三专题练习）若点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 的外部，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
由于点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 的外部，所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围
【详解】
解：由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
13．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（ ）
A．0B．1C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】设出圆的一般式 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后将点 SKIPIF 1 < 0 带入圆的方程即可求得结果.
【详解】
设圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为点 SKIPIF 1 < 0 在圆上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
14．（2022·全国·高三专题练习（文））圆心在 SKIPIF 1 < 0 轴上，且过点 SKIPIF 1 < 0 的圆与 SKIPIF 1 < 0 轴相切，则该圆的方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
根据题意设圆心坐标，建立方程，求解即可.
【详解】
解：设圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，因为圆心在 SKIPIF 1 < 0 轴上且圆与 SKIPIF 1 < 0 轴相切，所以 SKIPIF 1 < 0 即为半径,
则根据题意得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆心坐标为： SKIPIF 1 < 0 ，半径为5，该圆的方程是 SKIPIF 1 < 0 ,
展开得： SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 ，若圆 SKIPIF 1 < 0 上存在两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
根据圆 SKIPIF 1 < 0 上存在两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，可得直线 SKIPIF 1 < 0 过圆心，将圆心坐标代入直线方程即可得出答案.
【详解】
解：因为圆 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆C的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为圆 SKIPIF 1 < 0 上存在两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过圆心，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
16．（2022·全国·高三专题练习）直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．不确定
【答案】B
【分析】
求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系即可求解.
【详解】
解：直线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以定点 SKIPIF 1 < 0 在圆内，所以直线与圆相交，
故选：B.
17．（2022·全国·高三专题练习）若过点 SKIPIF 1 < 0 有两条直线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D【分析】
由于有两条直线与圆相切，所以可知点在圆外；由点与圆的位置关系及圆的判断条件，可得m的取值范围．
【详解】
圆的方程化为标准式为 SKIPIF 1 < 0
因为点 SKIPIF 1 < 0 有两条直线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切
所以点 SKIPIF 1 < 0 在圆外
所以 SKIPIF 1 < 0
解不等式组得 SKIPIF 1 < 0
所以选D
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系及其简单应用，属于基础题．
18．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上运动，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上运动，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
将 SKIPIF 1 < 0 的最小值问题，转化为圆心到直线距离的最小值减去圆的半径，利用点到直线的距离公式即可求得结果.
【详解】
点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值可以转化为圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离减去半径，
又圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .故选： SKIPIF 1 < 0 .
19．（2021·全国·高三专题练习（理））已知圆 SKIPIF 1 < 0 上的点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
先求得圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离d，再由圆上的点到该直线的距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为 SKIPIF 1 < 0 求解.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 圆 SKIPIF 1 < 0 即圆 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆上的点到该直线的距离的最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
20．（2022·上海·高三专题练习） SKIPIF 1 < 0 为任意实数时，直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长是
A．8B．4C．2D．与 SKIPIF 1 < 0 有关的值
【答案】B
【分析】
先根据圆的方程求得圆心坐标和半径，根据直线方程可知，圆心在直线上，推断出直线被圆截得的弦长正好为圆的直径，答案可得．
【详解】
解：根据圆的方程可知圆心为（1，1），半径为2，
直线方程 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线过定点 SKIPIF 1 < 0 ，即直线过圆的圆心，所以直线被圆截得的弦长正好为圆的直径4
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆的标准方程，直线和圆的位置关系，解题的关键是推断直线过定点，属于基础题.
21．（2022·全国·高三专题练习）已知点A的坐标是（-1，0），点M满足|MA|=2，那么M点的轨迹方程是（ ）
A．x2+y2+2x-3=0B．x2+y2-2x-3=0C．x2+y2+2y-3=0D．x2+y2-2y-3=0
【答案】A
【分析】
设出 SKIPIF 1 < 0 点的坐标，利用已知条件列出方程化简求解即可．
【详解】
解：设 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
可得： SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ，
所以M点的轨迹方程是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A．
22．（2022·全国·高三专题练习（文））已知点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），过 SKIPIF 1 < 0 点的直线被动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹曲线截得的所有弦中最短弦所在的直线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
设 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 得到动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为圆，再由圆的性质求解.
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹曲线为圆，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ．
又点 SKIPIF 1 < 0 在圆内，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以最短弦所在直线的斜率为2，
所以所求直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A
23．（2022·全国·高三专题练习）圆 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 的点有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 个B． SKIPIF 1 < 0 个
C． SKIPIF 1 < 0 个D． SKIPIF 1 < 0 个
【答案】B
【分析】
先将圆方程化为标准方程，然后求出圆心到直线的距离，判断出直线与圆的位置关系，从而可判断出结论
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 的点有2个，
故选：B
24．（2022·全国·高三专题练习）直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【答案】A
【分析】
由直线方程可得直线过定点 SKIPIF 1 < 0 ，又点 SKIPIF 1 < 0 在圆内，得到答案.
【详解】
直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 的内部，∴直线 SKIPIF 1 < 0 与圆相交，
故选：A.
25．（2022·全国·高三专题练习）过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则直线l的方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
先判断出 SKIPIF 1 < 0 在圆上，求出切线斜率，即可得到切线方程.
【详解】
把圆 SKIPIF 1 < 0 化为标准方程得： SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 在圆上，所以过P的切线有且只有一条.
显然过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率不存在的直线: SKIPIF 1 < 0 与圆相交，
所以过P的切线的斜率为k.
因为切线与过切点的半径垂直，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
26．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 切于点 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
由圆心和切点求得切线的斜率后可得切线方程．
【详解】
圆 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 与圆心连线所在直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则所求直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
由点斜式方程，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
27．（2022·全国·高三专题练习）过点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，则直线PA的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线PB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 均在两直线上，故 SKIPIF 1 < 0 ，
直线AB的方程为3x+4y=4.
点 SKIPIF 1 < 0 到直线AB的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
本题选择D选项.
28．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一个动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 ，切点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
求得圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合点到直线的距离公式，求得 SKIPIF 1 < 0 的最小值，进而求得 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【详解】
如图所示，化简圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，可得圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的切线且 SKIPIF 1 < 0 为切点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 最小时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
29．（2021·江西·高三阶段练习（文））已知圆О的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，过圆О外一点 SKIPIF 1 < 0 作圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
根据平面几何知识可知点O，A，P，B在以OP为直径的圆上，求出该圆的方程，再将两圆的方程相减，即可得到直线AB的方程．
【详解】
由题意知点O，A，P，B在以OP为直径的圆上，易求该圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，AB为圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的公共弦，将这两圆的方程相减，得 SKIPIF 1 < 0 ，即AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B．30．（2022·全国·高三专题练习）过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
求出 SKIPIF 1 < 0 ，求出以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心、以 SKIPIF 1 < 0 为半径的圆的方程，然后与圆 SKIPIF 1 < 0 的方程作差可得出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【详解】
圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
由圆的切线的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心、以 SKIPIF 1 < 0 为半径的圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将圆 SKIPIF 1 < 0 的方程与圆 SKIPIF 1 < 0 的方程作差并化简可得 SKIPIF 1 < 0 .
因此，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
31．（2021·江苏常州·一模）过圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 外一点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】C
【分析】
本题首先可结合题意绘出图像，然后根据圆的方程得出 SKIPIF 1 < 0 ，再然后根据两点间距离公式以及勾股定理得出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，最后通过等面积法即可得出结果.
【详解】
如图，结合题意绘出图像：
因为圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 的切线，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据圆的对称性易知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查圆的切点弦长的求法，主要考查圆的切线的相关性质，考查两点间距离公式以及勾股定理的应用，考查等面积法的应用，考查数形结合思想，是中档题.
32．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则m的值为（ ）
A．3或 SKIPIF 1 < 0 B．1或 SKIPIF 1 < 0
C．0或4D． SKIPIF 1 < 0 或0
【答案】A
【分析】
利用圆的切线性质结合点到直线的距离公式列式计算即得.
【详解】
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，因直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，
则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以m的值为3或 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A33．（2022·河北张家口·高三期末）直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
求出圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，利用勾股定理可求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
34．（2022·全国·高三专题练习）若点 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的弦 SKIPIF 1 < 0 的中点，则弦 SKIPIF 1 < 0 所在直线的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
利用点差法求出直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率，进而得到方程，注意检验是否符合题意即可.
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式做差可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，经检验，符合题意，故弦 SKIPIF 1 < 0 所在直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
35．（2019·天津·耀华中学高三阶段练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ；若直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 的面积为2，则 SKIPIF 1 < 0 值为（ ）
A．-1或3B．1或5C．-1或-5D．2或6
【答案】C
【分析】
利用垂径定理表示 SKIPIF 1 < 0 ,再由面积可得 SKIPIF 1 < 0 ,利用点到直线距离列方程求解即可.
【详解】
圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 .
∴圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 的面积为2， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或-5.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系,利用垂径定理表示弦长是解题的关键,属于基础题.
36．（2022·全国·高三专题练习）圆C1：(x-2)2+(y-4)2＝9与圆C2：(x-5)2+y2＝16的公切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】
根据题意，求出两圆的圆心，半径及圆心距，分析可得两圆相交，由此分析可得答案．
【详解】
根据题意，圆C1：(x-2)2+(y-4)2＝9，其圆心为(2，4)，半径R＝3，
圆C2：(x-5)2+y2＝16，其圆心为(5，0），半径r＝4，
圆心距|C1C2| SKIPIF 1 < 0 5，则有r-R＜|C1C2|＜r+R，所以两圆相交，所以两圆有2条共切线；
故选：B．
37．（2021·全国·高二课时练习）圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交点的圆的方程为（ ）
A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0
C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0
【答案】A
【分析】
求出两个圆的交点，再求出中垂线方程，然后求出圆心坐标，求出半径，即可得到圆的方程．
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 解得两圆交点为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线斜率 SKIPIF 1 < 0 ；MN中点P坐标为（1，1）
所以垂直平分线为y＝﹣x+2
由 SKIPIF 1 < 0
解得x＝3，y＝﹣1，所以圆心O点坐标为（3，﹣1）
所以r SKIPIF 1 < 0
所以所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝13即：x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0
故选：A
38．（2022·全国·高三专题练习）若圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 外切，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆相外切，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为两圆相外切，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C.
39．（2022·全国·高三专题练习）圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 公共弦所在直线的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
将两圆的方程作差即可得到答案.
【详解】
将两圆的方程相减得到两个圆公共弦所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0
故选：D.
40．（2022·全国·高三专题练习）圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．6B．5C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
先求出两个圆的半径和圆心距，然后在 SKIPIF 1 < 0 中，利用余弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 的值，从而可求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用圆的半径，圆心距和半径的关系可求得结果
【详解】
圆 SKIPIF 1 < 0 的半径 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 的半径 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D
41．（2022·上海·高三专题练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 上到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于1的点恰有3个，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
试题分析： 由圆 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ，可得圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为原点 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，若圆 SKIPIF 1 < 0 上恰有 SKIPIF 1 < 0 个点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 ，因为半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 等于 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的一般方程为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故选D.
考点:1、圆的几何性质；2、点到直线的距离公式.
42．（2022·全国·高三专题练习（理））已知圆 SKIPIF 1 < 0 上有且只有两个点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
由圆的方程求出圆心 SKIPIF 1 < 0 和半径 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，求出圆心到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解不等式即可得实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆上有且只有两个点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
43．（2022·全国·高三专题练习）若圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上有四个不同的点到直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的距离为2，则 SKIPIF 1 < 0 的取值不可能是（ ）
A．-15B．13C．15D．0
【答案】A
【分析】
根据圆 SKIPIF 1 < 0 上有四个不同的点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为2，可得圆心到直线的距离小于3，列不等式求解即可.
【详解】
圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
若圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上有四个不同的点到直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的距离为2，
则圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，如图.
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
44．（2022·全国·高三专题练习（文））若圆 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有两个点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于2，则实数a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
先求圆心到直线的距离，再求半径的范围.
【详解】
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为3．
圆心到直线的距离为：
SKIPIF 1 < 0 ，
又圆 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有两个点到直线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的距离等于2，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
二、多选题
45．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 的一般方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 B．圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为5
C．圆 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 轴截得的弦长为6D．圆 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 轴截得的弦长为6【答案】BD
【分析】
首先得到圆的标准方程，从而得到圆心坐标和半径，即可判断A错误，B正确，再计算弦长即可判断C错误，D正确.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误，B正确.
对选项C，圆心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 轴截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对选项D，圆心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 轴截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：BD
46．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，M为圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则线段 SKIPIF 1 < 0 的长可能为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】ABC
【分析】
由圆的标准方程求得圆心 SKIPIF 1 < 0 和半径，再根据两点的距离公式可求得 SKIPIF 1 < 0 ，由此可得选项.
【详解】
解：因为圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为M为上的动点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以线段 SKIPIF 1 < 0 的长可能为3，5，7，
故选：ABC.
47．（2022·全国·高三专题练习）若P是圆 SKIPIF 1 < 0 上任一点，则点P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离可以为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】AB【分析】
利用圆心到直线的距离，结合圆的半径即可求P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离范围，结合各选项判断符合要求的距离即可.
【详解】
由题设， SKIPIF 1 < 0 且半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴只有A、B符合要求.
故选：AB
48．（2022·全国·高三专题练习）圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有且仅有两条公切线，实数 SKIPIF 1 < 0 的值可以取（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【分析】
由题可知两个圆相交，列出不等式可求得答案.
【详解】
因为圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有且仅有两条公切线，所以两圆相交，
因为 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：AB
49．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，则下列是圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的公切线的直线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC【分析】
通过圆心距和半径关系，判断出两圆有四条公切线，再设切线，列等式解方程即可.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 , 半径 SKIPIF 1 < 0 , 两圆相离，有四条公切线
两圆心坐标关于原点 SKIPIF 1 < 0 对称，则有两条切线过原点 SKIPIF 1 < 0 ,
设切线 SKIPIF 1 < 0 , 则圆心到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 , 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
另两条切线与直线 SKIPIF 1 < 0 平行且相距为1, SKIPIF 1 < 0 ,
设切线 SKIPIF 1 < 0 , 则 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以只有 SKIPIF 1 < 0 项不正确（也可以不计算 SKIPIF 1 < 0 ，通过斜率即可排除D）
故选：ABC
三、双空题
50．（2022·全国·高三专题练习）已知方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则圆心坐标为________，圆半径为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【分析】
将圆一般方程化为标准方程即可求解.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
四、填空题
51．（2022·全国·高三专题练习）已知圆心在第一象限的圆经过点 SKIPIF 1 < 0 ，圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且半径为5，则此圆的标准方程为___________．【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
由圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，可设圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，因为圆经过点 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，结合圆心在第一象限，可求出 SKIPIF 1 < 0 的值，从而写出圆的方程.
【详解】
解：因为圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，所以设圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，
又此圆经过点 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0
因为圆心在第一象限
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以圆心为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
52．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C和直线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，且经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则圆C的方程为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
由已知可求得过点 SKIPIF 1 < 0 的直径所在直线为 SKIPIF 1 < 0 ，因为圆心在以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点为端点的线段的中垂线 SKIPIF 1 < 0 ，然后两直线方程联立方程组可求出圆心坐标，从而可求得圆的半径，进而可求得圆的方程
【详解】
解：因为圆C和直线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以过点 SKIPIF 1 < 0 的直径所在直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
又因为圆心在以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点为端点的线段的中垂线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 上，
由 SKIPIF 1 < 0 解得圆心为（3，5），所以半径为 SKIPIF 1 < 0 ，故所求圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
53．（2022·全国·高三专题练习）圆 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 中心对称的圆的方程为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
求出圆心的坐标，进而可得出所求圆的标准方程.
【详解】
圆心 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 中心对称点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
故所求圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
54．（2022·全国·高三专题练习）已知三个点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的外接圆的圆心坐标是___________.
【答案】(1，3)
【分析】
设出圆的一般方程，代入三点坐标后可求解.
【详解】
设圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
55．（2022·上海·高三专题练习）若圆 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则该圆的半径为__________
【答案】2【分析】
根据圆关于直线对称可知,直线经过圆心.将圆心坐标代入直线方程,结合圆的半径公式即可求得半径.
【详解】
将圆的一般方程转化为标准方程可得 SKIPIF 1 < 0
所以圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
因为圆关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称,所以直线经过圆心
则 SKIPIF 1 < 0 ,化简可得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为:2
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系,圆的一般方程与标准方程的转化,直线过圆心的方程,属于基础题.
56．（2022·全国·高三专题练习）两圆x2＋y2－6x＋6y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切线的条数是________．
【答案】2
【分析】
求出两圆的圆心距及半径，判断两圆的位置关系即可得出结论.
【详解】
解：将两圆分别化为标准方程：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以两圆的圆心分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
半径分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
圆心距为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以两圆相交，所以公切线的条数是2条.
故答案为：2.
57．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l：kx﹣y﹣2k+2＝0与圆C：x2+y2﹣2x﹣6y+6＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为______________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
根据题意，分析圆C的圆心与半径，将直线l的方程变形为y﹣2＝k（x﹣2），恒过定点M（2，2），分析可得M在圆C内部，分析可得：当直线l与CM垂直时，弦|AB|最小，求出此时|CM|的值，由勾股定理分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，圆C：x2+y2﹣2x﹣6y+6＝0即（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4，
圆心C的坐标为（1，3），半径r＝2，
直线l：kx﹣y﹣2k+2＝0，即y﹣2＝k（x﹣2），恒过定点M（2，2），
又由圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4，则点M（2，2）在圆内，
分析可得：当直线l与CM垂直时，弦|AB|最小，
此时|CM|＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
则|AB|的最小值为2 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
58．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 上一定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为圆上的动点，则线段 SKIPIF 1 < 0 中点的轨迹方程为______________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
设线段 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 ，结合中点公式求得 SKIPIF 1 < 0 ，代入即可求解.
【详解】
设线段 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .59．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 和圆的位置关系为___________.
【答案】相交
【分析】
根据圆的一般方程求得圆的圆心和半径，再求圆心到直线的距离，且与圆的半径比较可得结论.
【详解】
解：由圆 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 和圆的位置关系为相交，
故答案为：相交.
60．（2022·全国·高三专题练习）已知圆O：则 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作圆的切线，则切线的方程为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
分斜率不存在与斜率存在两种情况，再利用点到直线的距离公式，求得斜率存在时的切线方程.
【详解】
由题意：当切线斜率不存在时，方程为： SKIPIF 1 < 0 ，满足与圆相切，
当斜率存在时，设切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
则： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
61．（2021·江苏省如皋中学高三开学考试）已知点Q是直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上的动点，过点Q作圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点___________.
【答案】(1，－1)
【分析】
设Q的坐标为(m，n)，根据方程，写出切点弦AB所在直线方程，利用 SKIPIF 1 < 0 的关系，求得动直线 SKIPIF 1 < 0 恒过的定点坐标.
【详解】由题意可设Q的坐标为(m，n)，则m－n－4＝0，即m＝n＋4，过点Q作圆O： SKIPIF 1 < 0 的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为mx＋ny－4＝0，又由m＝n＋4，则直线AB的方程变形可得nx＋ny＋4x－4＝0，则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则直线AB恒过定点(1，－1).
故答案为：(1，－1).
62．（2022·上海·高三专题练习）若斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与圆 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 ，利用直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切求出 SKIPIF 1 < 0 的值，求出 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理可求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 ，
由于直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，且圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
63．（2022·全国·高三专题练习）已知直线x－ SKIPIF 1 < 0 y＋8＝0和圆x2＋y2＝25相交于A，B两点，则|AB|＝__________.
【答案】6
【分析】
求出圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长．
【详解】
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为：6．
64．（2022·全国·高三专题练习）若圆 SKIPIF 1 < 0 被直线 SKIPIF 1 < 0 所截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或
【分析】
由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由圆 SKIPIF 1 < 0 被直线 SKIPIF 1 < 0 所截弦长得圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式列式求得 SKIPIF 1 < 0 值．
【详解】
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
又圆 SKIPIF 1 < 0 被直线 SKIPIF 1 < 0 所截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
65．（2022·上海·高三专题练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于A､B两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则直线l的倾斜角为___________.
【答案】0或 SKIPIF 1 < 0
【分析】
求出圆心到直线的距离，再由圆的半径，圆心到直线的距离和弦长之间的关系求出k的值，进而求出直线l的倾斜角．
【详解】
直线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
可得圆心到直线l的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
圆的半径r＝2，
所以弦长 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意 SKIPIF 1 < 0
整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
所以倾斜角为0或 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为：0或 SKIPIF 1 < 0 .
66．（2022·全国·高三专题练习）已知过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为k的直线l，与圆C： SKIPIF 1 < 0 交于M，N两点，若弦 SKIPIF 1 < 0 的长是2，则k的值是________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，先求得圆心到直线的距离，再利用圆的弦长公式求解.
【详解】
设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵圆C： SKIPIF 1 < 0 的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，且弦 SKIPIF 1 < 0 的长是2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
67．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 截直线 SKIPIF 1 < 0 所得弦长是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为______．
【答案】2
【分析】
化圆的方程为标准方程，可得圆心和半径，求得圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离d，代入弦长公式，即可求得答案.
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 可变形为： SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
根据弦长公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：2
68．（2021·河北秦皇岛·二模）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于A，B两点，则 SKIPIF 1 < 0 面积为___________.
【答案】2
【分析】
求得圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，求得弦长 SKIPIF 1 < 0 ，由此求得三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【详解】
圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆心C到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
五、解答题
69．（2021·山东·邹平市第一中学模拟预测）已知直线 SKIPIF 1 < 0 经过两条直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的交点，且与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直．
（1）求直线 SKIPIF 1 < 0 的一般式方程；
（2）若圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 被该圆所截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，求圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程．
【答案】
（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 【分析】
（1）由题意求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程．
（1）
解：由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 ；
设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，化为一般形式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
解：设圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则圆心为 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为
SKIPIF 1 < 0 ，由垂径定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
70．（2020·西藏·林芝市第二高级中学高三阶段练习（文））已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积．
【答案】（1）（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25．（2）12
【分析】
（1）求出半径，从而可得圆的标准方程；
（2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理求出弦长，从而可求出面积．
【详解】
解：（1）圆C的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
从而圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25；
（2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，
在直角三角形ADC中，由点到直线的距离公式，得|CD|＝3，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以|AB|＝2|AD|＝8，
所以△ABC的面积 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
71．（2021·山西·天镇县实验中学高二期中）已知圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 .
（1）试判断两圆的位置关系；
（2）求公共弦所在直线的方程；
（3）求公共弦的长度.
【答案】
（1）相交
（2） SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）将两圆的方程化为标准方程，得出圆心和半径，然后算出圆心距，和半径之差的绝对值和半径之和比较可得答案；
（2）将两圆的方程作差可得答案；
（3）联立两个圆的方程，解出交点坐标，然后可得答案.
（1）将两圆方程化为标准方程为
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
则圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ；
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两圆相交.
（2）
将两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（3）
由 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 两圆的交点坐标为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 两圆的公共弦的长度为 SKIPIF 1 < 0 .
一、基本概念
平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆.
二、基本性质、定理与公式
1.圆的四种方程
（1）圆的标准方程： SKIPIF 1 < 0 ，圆心坐标为(a,b)，半径为 SKIPIF 1 < 0
（2）圆的一般方程： SKIPIF 1 < 0 ，圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0
（3）圆的直径式方程：若 SKIPIF 1 < 0 ，则以线段AB为直径的圆的方程是 SKIPIF 1 < 0
（4）圆的参数方程：
① SKIPIF 1 < 0 的参数方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为参数）；
② SKIPIF 1 < 0 的参数方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为参数）.
注 对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为参数，(a,b)为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.
2.点与圆的位置关系判断
（1）点 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的位置关系：
① SKIPIF 1 < 0 点P在圆外；
② SKIPIF 1 < 0 点P在圆上；
③ SKIPIF 1 < 0 点P在圆内.
（2）点 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的位置关系：
① SKIPIF 1 < 0 点P在圆外；
② SKIPIF 1 < 0 点P在圆上； SKIPIF 1 < 0 点P在圆内.
三、直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交
直线与圆的位置关系判断
1.几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，则 SKIPIF 1 < 0 ：
则 SKIPIF 1 < 0 直线与圆相交，交于两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 直线与圆相切；
SKIPIF 1 < 0 直线与圆相离
2.代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由 SKIPIF 1 < 0 ，消元得到一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 判别式为 SKIPIF 1 < 0 ，则：
则 SKIPIF 1 < 0 直线与圆相交；
SKIPIF 1 < 0 直线与圆相切；
SKIPIF 1 < 0 直线与圆相离.
五、两圆位置关系的判断
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆 SKIPIF 1 < 0 的半径分别是 SKIPIF 1 < 0 ，（不妨设 SKIPIF 1 < 0 ），且两圆的圆心距为 SKIPIF 1 < 0 ，则：
则 SKIPIF 1 < 0 两圆相交；
SKIPIF 1 < 0 两圆外切；
SKIPIF 1 < 0 两圆相离
SKIPIF 1 < 0 两圆内切；
SKIPIF 1 < 0 两圆内含（ SKIPIF 1 < 0 时两圆为同心圆）
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知圆C的圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且与直线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，则圆C方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
设圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，则圆心与点 SKIPIF 1 < 0 的连线与直线l垂直，即 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
所以方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
例2．（2022·全国·高三专题练习）点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
B．两圆公切线有两条
C．两个圆心所在的直线斜率为 SKIPIF 1 < 0
D．两个圆相交弦所在直线的方程为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【详解】
由圆的方程知：圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ；圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两圆外切；
对于A，若 SKIPIF 1 < 0 重合，为两圆的切点，则 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B，两圆外切，则公切线有 SKIPIF 1 < 0 条，B错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 两圆相外切， SKIPIF 1 < 0 两个圆不存在相交弦，D错误.
故选：AC.
例3．（2022·全国·高三专题练习）求圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且过两圆 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 交点的圆的方程．
【详解】
依题意可得，圆心在圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 公共弦的垂直平分线上．
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则两圆交点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则其公共弦的垂直平分线为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以圆心是直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点，联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
则圆半径 SKIPIF 1 < 0
所以圆方程为 SKIPIF 1 < 0
例4．（2021·湖南·攸县第三中学高三阶段练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 的方程： SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）当圆 SKIPIF 1 < 0 过A(1，1)时，求直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 所截得的弦 SKIPIF 1 < 0 的长.
【详解】
解：（1）圆 SKIPIF 1 < 0 的方程可化为 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
（2）∵圆 SKIPIF 1 < 0 过A(1，1)代入得 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0
圆心 SKIPIF 1 < 0 (1，2)，半径 SKIPIF 1 < 0 ,
圆心 SKIPIF 1 < 0 (1，2)到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 .
例5．（2020·江苏·高三专题练习） SKIPIF 1 < 0 的三个顶点的坐标是 SKIPIF 1 < 0 求它的外接圆的方程．
【详解】
设所求圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，则圆经过 SKIPIF 1 < 0 三点
SKIPIF 1 < 0 ，解之得 SKIPIF 1 < 0 .
所以所求圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 .
例6．（2020·全国·高三专题练习）已知圆C：（x+2）2+y2＝5，直线l：mx﹣y+1+2m＝0，m∈R.
（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.
【详解】
（1）直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，也即 SKIPIF 1 < 0 ，故直线恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 内，
此时直线 SKIPIF 1 < 0 一定与圆 SKIPIF 1 < 0 相交.
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得： SKIPIF 1 < 0 ；
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时，显然中点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 也满足上述方程.
故 SKIPIF 1 < 0 点的轨迹方程为： SKIPIF 1 < 0 .
例7．（2021·全国·高三专题练习（理））已知点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上运动.
（1）求过点 SKIPIF 1 < 0 且被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 的直线方程；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的最值.
【详解】
(1)依题意,直线的斜率存在,因为过点 SKIPIF 1 < 0 且被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ,所以圆心到直线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 所以直线方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
(2)设 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为88,最小值为72.
例8．（2021·辽宁·沈阳二中高三阶段练习）已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
（1）求两圆公共弦所在直线的方程；（2）求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.
【详解】
解：（1）设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点坐标是方程组 SKIPIF 1 < 0 的解，两式相减得x－y＋4＝0，
SKIPIF 1 < 0 A，B两点坐标都满足此方程，
SKIPIF 1 < 0 x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程；
(2)解方程组 SKIPIF 1 < 0 得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2)，
设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，所以b＝a－4，
则 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，解得a＝ SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
例9．（2021·全国·高三专题练习）求与圆 SKIPIF 1 < 0 切于点 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 的圆的方程.
【详解】
设与圆 SKIPIF 1 < 0 切于点 SKIPIF 1 < 0 的圆系方程为：
SKIPIF 1 < 0 .
以点 SKIPIF 1 < 0 代入，求得 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
化简即得所求圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
例10．（2021·全国·高三专题练习（理））已知点 SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）求经过点 SKIPIF 1 < 0 以及曲线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交点的圆的方程.
【详解】
(1)设 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 ,所以曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .(2)设所求方程为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,将 SKIPIF 1 < 0 代入上式得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以所求圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（理））己知圆C经过A（5，2）， B（－1，4）两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是（ ）
A．（x－2）2+y2= 13B．（x+2）2+y2= 17
C．（x+1）2 +y2= 40D．（x－1）2 +y2 = 20
【答案】D
【分析】
设圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，由圆心到 SKIPIF 1 < 0 距离相等求得 SKIPIF 1 < 0 ，然后再求出半径后可得．
【详解】
由题意，设圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ．
所以圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
2．（2021·新疆昌吉·高三阶段练习（理））圆 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的圆的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
圆关于直线的对称圆问题，第一步求圆心关于直线的对称点，半径不变，第二步直接写出圆的方程.
【详解】
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 半径为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 设对称点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，利用两圆心的连线与直线垂直，两圆心的中点在直线上列方程求解， SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 所以对称圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选:C.
3．（2022·全国·高三专题练习（理））若圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心在第一象限，且与直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
由题意可设圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，利用圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于圆的半径可求得正数 SKIPIF 1 < 0 的值，由此可得出圆 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【详解】
由题意可设圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上的圆的方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线 SKIPIF 1 < 0 上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，可得圆的方程．【详解】
因为过点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，
所以线段AB的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以线段AB的中垂线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以线段AB的中垂线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆心为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
5．（2022·全国·高三专题练习）以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心，且与直线 SKIPIF 1 < 0 相切的圆的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
由圆心到切线距离等于半径求得圆半径后可得圆方程．
【详解】
因直线与圆相切，所以圆的半径等于点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则所求圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D．
6．（2022·全国·高三专题练习）圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的位置关系为（ ）
A．内含B．外离C．相交D．相切
【答案】D
【分析】
根据两个圆的圆心距与两个半径的关系，即可判断两个圆的位置关系．【详解】
因为圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0
所以两个圆的圆心距 SKIPIF 1 < 0
两个圆的半径分别为 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以两个圆相切.
故选：D
7．（2022·全国·高三专题练习）若直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
根据点到直线的距离公式，求出圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，令其等于半径即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值
【详解】
圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
故选：A
8．（2022·全国·高三专题练习）直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴分别交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
由已知得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标，进而得圆心坐标和半径，写出圆的标准方程，然后化为一般方程即可.
【详解】
由直线截距式方程知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
化为一般方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
9．（2022·全国·高三专题练习） SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的公切线有（ ）
A．1条B．2条
C．3条D．4条
【答案】D
【分析】
判断出两圆的位置关系即可得到答案.
【详解】
由题意，两圆的标准式分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心和半径分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故两圆相离，一共有4条公切线.
故选：D.
10．（2022·全国·高三专题练习）圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为1，则 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】A
【详解】
试题分析：由 SKIPIF 1 < 0 配方得 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，因为圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为1，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故选A.
【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式
【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．
11．（2022·全国·高三专题练习）若方程 SKIPIF 1 < 0 表示圆，则实数m的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
根据 SKIPIF 1 < 0 ，解不等式即可求解.
【详解】
由方程 SKIPIF 1 < 0 表示圆，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以实数m的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
12．（2022·江苏·高三专题练习）若点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 的外部，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
由于点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 的外部，所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围
【详解】
解：由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
13．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（ ）
A．0B．1C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】设出圆的一般式 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后将点 SKIPIF 1 < 0 带入圆的方程即可求得结果.
【详解】
设圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为点 SKIPIF 1 < 0 在圆上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
14．（2022·全国·高三专题练习（文））圆心在 SKIPIF 1 < 0 轴上，且过点 SKIPIF 1 < 0 的圆与 SKIPIF 1 < 0 轴相切，则该圆的方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
根据题意设圆心坐标，建立方程，求解即可.
【详解】
解：设圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，因为圆心在 SKIPIF 1 < 0 轴上且圆与 SKIPIF 1 < 0 轴相切，所以 SKIPIF 1 < 0 即为半径,
则根据题意得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆心坐标为： SKIPIF 1 < 0 ，半径为5，该圆的方程是 SKIPIF 1 < 0 ,
展开得： SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 ，若圆 SKIPIF 1 < 0 上存在两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
根据圆 SKIPIF 1 < 0 上存在两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，可得直线 SKIPIF 1 < 0 过圆心，将圆心坐标代入直线方程即可得出答案.
【详解】
解：因为圆 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆C的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为圆 SKIPIF 1 < 0 上存在两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过圆心，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
16．（2022·全国·高三专题练习）直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．不确定
【答案】B
【分析】
求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系即可求解.
【详解】
解：直线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以定点 SKIPIF 1 < 0 在圆内，所以直线与圆相交，
故选：B.
17．（2022·全国·高三专题练习）若过点 SKIPIF 1 < 0 有两条直线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D【分析】
由于有两条直线与圆相切，所以可知点在圆外；由点与圆的位置关系及圆的判断条件，可得m的取值范围．
【详解】
圆的方程化为标准式为 SKIPIF 1 < 0
因为点 SKIPIF 1 < 0 有两条直线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切
所以点 SKIPIF 1 < 0 在圆外
所以 SKIPIF 1 < 0
解不等式组得 SKIPIF 1 < 0
所以选D
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系及其简单应用，属于基础题．
18．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上运动，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上运动，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
将 SKIPIF 1 < 0 的最小值问题，转化为圆心到直线距离的最小值减去圆的半径，利用点到直线的距离公式即可求得结果.
【详解】
点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值可以转化为圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离减去半径，
又圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .故选： SKIPIF 1 < 0 .
19．（2021·全国·高三专题练习（理））已知圆 SKIPIF 1 < 0 上的点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
先求得圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离d，再由圆上的点到该直线的距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为 SKIPIF 1 < 0 求解.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 圆 SKIPIF 1 < 0 即圆 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆上的点到该直线的距离的最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
20．（2022·上海·高三专题练习） SKIPIF 1 < 0 为任意实数时，直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长是
A．8B．4C．2D．与 SKIPIF 1 < 0 有关的值
【答案】B
【分析】
先根据圆的方程求得圆心坐标和半径，根据直线方程可知，圆心在直线上，推断出直线被圆截得的弦长正好为圆的直径，答案可得．
【详解】
解：根据圆的方程可知圆心为（1，1），半径为2，
直线方程 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线过定点 SKIPIF 1 < 0 ，即直线过圆的圆心，所以直线被圆截得的弦长正好为圆的直径4
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆的标准方程，直线和圆的位置关系，解题的关键是推断直线过定点，属于基础题.
21．（2022·全国·高三专题练习）已知点A的坐标是（-1，0），点M满足|MA|=2，那么M点的轨迹方程是（ ）
A．x2+y2+2x-3=0B．x2+y2-2x-3=0C．x2+y2+2y-3=0D．x2+y2-2y-3=0
【答案】A
【分析】
设出 SKIPIF 1 < 0 点的坐标，利用已知条件列出方程化简求解即可．
【详解】
解：设 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
可得： SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ，
所以M点的轨迹方程是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A．
22．（2022·全国·高三专题练习（文））已知点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），过 SKIPIF 1 < 0 点的直线被动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹曲线截得的所有弦中最短弦所在的直线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
设 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 得到动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为圆，再由圆的性质求解.
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹曲线为圆，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ．
又点 SKIPIF 1 < 0 在圆内，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以最短弦所在直线的斜率为2，
所以所求直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A
23．（2022·全国·高三专题练习）圆 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 的点有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 个B． SKIPIF 1 < 0 个
C． SKIPIF 1 < 0 个D． SKIPIF 1 < 0 个
【答案】B
【分析】
先将圆方程化为标准方程，然后求出圆心到直线的距离，判断出直线与圆的位置关系，从而可判断出结论
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 的点有2个，
故选：B
24．（2022·全国·高三专题练习）直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【答案】A
【分析】
由直线方程可得直线过定点 SKIPIF 1 < 0 ，又点 SKIPIF 1 < 0 在圆内，得到答案.
【详解】
直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 的内部，∴直线 SKIPIF 1 < 0 与圆相交，
故选：A.
25．（2022·全国·高三专题练习）过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则直线l的方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
先判断出 SKIPIF 1 < 0 在圆上，求出切线斜率，即可得到切线方程.
【详解】
把圆 SKIPIF 1 < 0 化为标准方程得： SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 在圆上，所以过P的切线有且只有一条.
显然过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率不存在的直线: SKIPIF 1 < 0 与圆相交，
所以过P的切线的斜率为k.
因为切线与过切点的半径垂直，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
26．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 切于点 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
由圆心和切点求得切线的斜率后可得切线方程．
【详解】
圆 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 与圆心连线所在直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则所求直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
由点斜式方程，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
27．（2022·全国·高三专题练习）过点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，则直线PA的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线PB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 均在两直线上，故 SKIPIF 1 < 0 ，
直线AB的方程为3x+4y=4.
点 SKIPIF 1 < 0 到直线AB的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
本题选择D选项.
28．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一个动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 ，切点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
求得圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合点到直线的距离公式，求得 SKIPIF 1 < 0 的最小值，进而求得 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【详解】
如图所示，化简圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，可得圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的切线且 SKIPIF 1 < 0 为切点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 最小时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
29．（2021·江西·高三阶段练习（文））已知圆О的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，过圆О外一点 SKIPIF 1 < 0 作圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
根据平面几何知识可知点O，A，P，B在以OP为直径的圆上，求出该圆的方程，再将两圆的方程相减，即可得到直线AB的方程．
【详解】
由题意知点O，A，P，B在以OP为直径的圆上，易求该圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，AB为圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的公共弦，将这两圆的方程相减，得 SKIPIF 1 < 0 ，即AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B．30．（2022·全国·高三专题练习）过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
求出 SKIPIF 1 < 0 ，求出以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心、以 SKIPIF 1 < 0 为半径的圆的方程，然后与圆 SKIPIF 1 < 0 的方程作差可得出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【详解】
圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
由圆的切线的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心、以 SKIPIF 1 < 0 为半径的圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将圆 SKIPIF 1 < 0 的方程与圆 SKIPIF 1 < 0 的方程作差并化简可得 SKIPIF 1 < 0 .
因此，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
31．（2021·江苏常州·一模）过圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 外一点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】C
【分析】
本题首先可结合题意绘出图像，然后根据圆的方程得出 SKIPIF 1 < 0 ，再然后根据两点间距离公式以及勾股定理得出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，最后通过等面积法即可得出结果.
【详解】
如图，结合题意绘出图像：
因为圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 的切线，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据圆的对称性易知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查圆的切点弦长的求法，主要考查圆的切线的相关性质，考查两点间距离公式以及勾股定理的应用，考查等面积法的应用，考查数形结合思想，是中档题.
32．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则m的值为（ ）
A．3或 SKIPIF 1 < 0 B．1或 SKIPIF 1 < 0
C．0或4D． SKIPIF 1 < 0 或0
【答案】A
【分析】
利用圆的切线性质结合点到直线的距离公式列式计算即得.
【详解】
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，因直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，
则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以m的值为3或 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A33．（2022·河北张家口·高三期末）直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
求出圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，利用勾股定理可求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
34．（2022·全国·高三专题练习）若点 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的弦 SKIPIF 1 < 0 的中点，则弦 SKIPIF 1 < 0 所在直线的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
利用点差法求出直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率，进而得到方程，注意检验是否符合题意即可.
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式做差可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，经检验，符合题意，故弦 SKIPIF 1 < 0 所在直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
35．（2019·天津·耀华中学高三阶段练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ；若直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 的面积为2，则 SKIPIF 1 < 0 值为（ ）
A．-1或3B．1或5C．-1或-5D．2或6
【答案】C
【分析】
利用垂径定理表示 SKIPIF 1 < 0 ,再由面积可得 SKIPIF 1 < 0 ,利用点到直线距离列方程求解即可.
【详解】
圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 .
∴圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 的面积为2， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或-5.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系,利用垂径定理表示弦长是解题的关键,属于基础题.
36．（2022·全国·高三专题练习）圆C1：(x-2)2+(y-4)2＝9与圆C2：(x-5)2+y2＝16的公切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】
根据题意，求出两圆的圆心，半径及圆心距，分析可得两圆相交，由此分析可得答案．
【详解】
根据题意，圆C1：(x-2)2+(y-4)2＝9，其圆心为(2，4)，半径R＝3，
圆C2：(x-5)2+y2＝16，其圆心为(5，0），半径r＝4，
圆心距|C1C2| SKIPIF 1 < 0 5，则有r-R＜|C1C2|＜r+R，所以两圆相交，所以两圆有2条共切线；
故选：B．
37．（2021·全国·高二课时练习）圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交点的圆的方程为（ ）
A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0
C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0
【答案】A
【分析】
求出两个圆的交点，再求出中垂线方程，然后求出圆心坐标，求出半径，即可得到圆的方程．
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 解得两圆交点为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线斜率 SKIPIF 1 < 0 ；MN中点P坐标为（1，1）
所以垂直平分线为y＝﹣x+2
由 SKIPIF 1 < 0
解得x＝3，y＝﹣1，所以圆心O点坐标为（3，﹣1）
所以r SKIPIF 1 < 0
所以所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝13即：x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0
故选：A
38．（2022·全国·高三专题练习）若圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 外切，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆相外切，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为两圆相外切，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C.
39．（2022·全国·高三专题练习）圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 公共弦所在直线的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
将两圆的方程作差即可得到答案.
【详解】
将两圆的方程相减得到两个圆公共弦所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0
故选：D.
40．（2022·全国·高三专题练习）圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．6B．5C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
先求出两个圆的半径和圆心距，然后在 SKIPIF 1 < 0 中，利用余弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 的值，从而可求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用圆的半径，圆心距和半径的关系可求得结果
【详解】
圆 SKIPIF 1 < 0 的半径 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 的半径 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D
41．（2022·上海·高三专题练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 上到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于1的点恰有3个，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
试题分析： 由圆 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ，可得圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为原点 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，若圆 SKIPIF 1 < 0 上恰有 SKIPIF 1 < 0 个点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 ，因为半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 等于 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的一般方程为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故选D.
考点:1、圆的几何性质；2、点到直线的距离公式.
42．（2022·全国·高三专题练习（理））已知圆 SKIPIF 1 < 0 上有且只有两个点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
由圆的方程求出圆心 SKIPIF 1 < 0 和半径 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，求出圆心到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解不等式即可得实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆上有且只有两个点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
43．（2022·全国·高三专题练习）若圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上有四个不同的点到直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的距离为2，则 SKIPIF 1 < 0 的取值不可能是（ ）
A．-15B．13C．15D．0
【答案】A
【分析】
根据圆 SKIPIF 1 < 0 上有四个不同的点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为2，可得圆心到直线的距离小于3，列不等式求解即可.
【详解】
圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
若圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上有四个不同的点到直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的距离为2，
则圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，如图.
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
44．（2022·全国·高三专题练习（文））若圆 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有两个点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于2，则实数a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
先求圆心到直线的距离，再求半径的范围.
【详解】
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为3．
圆心到直线的距离为：
SKIPIF 1 < 0 ，
又圆 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有两个点到直线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的距离等于2，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
二、多选题
45．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 的一般方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 B．圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为5
C．圆 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 轴截得的弦长为6D．圆 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 轴截得的弦长为6【答案】BD
【分析】
首先得到圆的标准方程，从而得到圆心坐标和半径，即可判断A错误，B正确，再计算弦长即可判断C错误，D正确.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误，B正确.
对选项C，圆心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 轴截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对选项D，圆心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 轴截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：BD
46．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，M为圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则线段 SKIPIF 1 < 0 的长可能为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】ABC
【分析】
由圆的标准方程求得圆心 SKIPIF 1 < 0 和半径，再根据两点的距离公式可求得 SKIPIF 1 < 0 ，由此可得选项.
【详解】
解：因为圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为M为上的动点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以线段 SKIPIF 1 < 0 的长可能为3，5，7，
故选：ABC.
47．（2022·全国·高三专题练习）若P是圆 SKIPIF 1 < 0 上任一点，则点P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离可以为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】AB【分析】
利用圆心到直线的距离，结合圆的半径即可求P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离范围，结合各选项判断符合要求的距离即可.
【详解】
由题设， SKIPIF 1 < 0 且半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴只有A、B符合要求.
故选：AB
48．（2022·全国·高三专题练习）圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有且仅有两条公切线，实数 SKIPIF 1 < 0 的值可以取（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【分析】
由题可知两个圆相交，列出不等式可求得答案.
【详解】
因为圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有且仅有两条公切线，所以两圆相交，
因为 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：AB
49．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，则下列是圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的公切线的直线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC【分析】
通过圆心距和半径关系，判断出两圆有四条公切线，再设切线，列等式解方程即可.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 , 半径 SKIPIF 1 < 0 , 两圆相离，有四条公切线
两圆心坐标关于原点 SKIPIF 1 < 0 对称，则有两条切线过原点 SKIPIF 1 < 0 ,
设切线 SKIPIF 1 < 0 , 则圆心到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 , 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
另两条切线与直线 SKIPIF 1 < 0 平行且相距为1, SKIPIF 1 < 0 ,
设切线 SKIPIF 1 < 0 , 则 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以只有 SKIPIF 1 < 0 项不正确（也可以不计算 SKIPIF 1 < 0 ，通过斜率即可排除D）
故选：ABC
三、双空题
50．（2022·全国·高三专题练习）已知方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则圆心坐标为________，圆半径为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【分析】
将圆一般方程化为标准方程即可求解.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
四、填空题
51．（2022·全国·高三专题练习）已知圆心在第一象限的圆经过点 SKIPIF 1 < 0 ，圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且半径为5，则此圆的标准方程为___________．【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
由圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，可设圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，因为圆经过点 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，结合圆心在第一象限，可求出 SKIPIF 1 < 0 的值，从而写出圆的方程.
【详解】
解：因为圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，所以设圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，
又此圆经过点 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0
因为圆心在第一象限
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以圆心为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
52．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C和直线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，且经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则圆C的方程为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
由已知可求得过点 SKIPIF 1 < 0 的直径所在直线为 SKIPIF 1 < 0 ，因为圆心在以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点为端点的线段的中垂线 SKIPIF 1 < 0 ，然后两直线方程联立方程组可求出圆心坐标，从而可求得圆的半径，进而可求得圆的方程
【详解】
解：因为圆C和直线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以过点 SKIPIF 1 < 0 的直径所在直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
又因为圆心在以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点为端点的线段的中垂线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 上，
由 SKIPIF 1 < 0 解得圆心为（3，5），所以半径为 SKIPIF 1 < 0 ，故所求圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
53．（2022·全国·高三专题练习）圆 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 中心对称的圆的方程为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
求出圆心的坐标，进而可得出所求圆的标准方程.
【详解】
圆心 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 中心对称点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
故所求圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
54．（2022·全国·高三专题练习）已知三个点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的外接圆的圆心坐标是___________.
【答案】(1，3)
【分析】
设出圆的一般方程，代入三点坐标后可求解.
【详解】
设圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
55．（2022·上海·高三专题练习）若圆 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则该圆的半径为__________
【答案】2【分析】
根据圆关于直线对称可知,直线经过圆心.将圆心坐标代入直线方程,结合圆的半径公式即可求得半径.
【详解】
将圆的一般方程转化为标准方程可得 SKIPIF 1 < 0
所以圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
因为圆关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称,所以直线经过圆心
则 SKIPIF 1 < 0 ,化简可得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为:2
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系,圆的一般方程与标准方程的转化,直线过圆心的方程,属于基础题.
56．（2022·全国·高三专题练习）两圆x2＋y2－6x＋6y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切线的条数是________．
【答案】2
【分析】
求出两圆的圆心距及半径，判断两圆的位置关系即可得出结论.
【详解】
解：将两圆分别化为标准方程：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以两圆的圆心分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
半径分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
圆心距为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以两圆相交，所以公切线的条数是2条.
故答案为：2.
57．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l：kx﹣y﹣2k+2＝0与圆C：x2+y2﹣2x﹣6y+6＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为______________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
根据题意，分析圆C的圆心与半径，将直线l的方程变形为y﹣2＝k（x﹣2），恒过定点M（2，2），分析可得M在圆C内部，分析可得：当直线l与CM垂直时，弦|AB|最小，求出此时|CM|的值，由勾股定理分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，圆C：x2+y2﹣2x﹣6y+6＝0即（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4，
圆心C的坐标为（1，3），半径r＝2，
直线l：kx﹣y﹣2k+2＝0，即y﹣2＝k（x﹣2），恒过定点M（2，2），
又由圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4，则点M（2，2）在圆内，
分析可得：当直线l与CM垂直时，弦|AB|最小，
此时|CM|＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
则|AB|的最小值为2 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
58．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 上一定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为圆上的动点，则线段 SKIPIF 1 < 0 中点的轨迹方程为______________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
设线段 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 ，结合中点公式求得 SKIPIF 1 < 0 ，代入即可求解.
【详解】
设线段 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .59．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 和圆的位置关系为___________.
【答案】相交
【分析】
根据圆的一般方程求得圆的圆心和半径，再求圆心到直线的距离，且与圆的半径比较可得结论.
【详解】
解：由圆 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 和圆的位置关系为相交，
故答案为：相交.
60．（2022·全国·高三专题练习）已知圆O：则 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作圆的切线，则切线的方程为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
分斜率不存在与斜率存在两种情况，再利用点到直线的距离公式，求得斜率存在时的切线方程.
【详解】
由题意：当切线斜率不存在时，方程为： SKIPIF 1 < 0 ，满足与圆相切，
当斜率存在时，设切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
则： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
61．（2021·江苏省如皋中学高三开学考试）已知点Q是直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上的动点，过点Q作圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点___________.
【答案】(1，－1)
【分析】
设Q的坐标为(m，n)，根据方程，写出切点弦AB所在直线方程，利用 SKIPIF 1 < 0 的关系，求得动直线 SKIPIF 1 < 0 恒过的定点坐标.
【详解】由题意可设Q的坐标为(m，n)，则m－n－4＝0，即m＝n＋4，过点Q作圆O： SKIPIF 1 < 0 的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为mx＋ny－4＝0，又由m＝n＋4，则直线AB的方程变形可得nx＋ny＋4x－4＝0，则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则直线AB恒过定点(1，－1).
故答案为：(1，－1).
62．（2022·上海·高三专题练习）若斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与圆 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 ，利用直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切求出 SKIPIF 1 < 0 的值，求出 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理可求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 ，
由于直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，且圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
63．（2022·全国·高三专题练习）已知直线x－ SKIPIF 1 < 0 y＋8＝0和圆x2＋y2＝25相交于A，B两点，则|AB|＝__________.
【答案】6
【分析】
求出圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长．
【详解】
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为：6．
64．（2022·全国·高三专题练习）若圆 SKIPIF 1 < 0 被直线 SKIPIF 1 < 0 所截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或
【分析】
由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由圆 SKIPIF 1 < 0 被直线 SKIPIF 1 < 0 所截弦长得圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式列式求得 SKIPIF 1 < 0 值．
【详解】
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
又圆 SKIPIF 1 < 0 被直线 SKIPIF 1 < 0 所截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
65．（2022·上海·高三专题练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于A､B两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则直线l的倾斜角为___________.
【答案】0或 SKIPIF 1 < 0
【分析】
求出圆心到直线的距离，再由圆的半径，圆心到直线的距离和弦长之间的关系求出k的值，进而求出直线l的倾斜角．
【详解】
直线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
可得圆心到直线l的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
圆的半径r＝2，
所以弦长 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意 SKIPIF 1 < 0
整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
所以倾斜角为0或 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为：0或 SKIPIF 1 < 0 .
66．（2022·全国·高三专题练习）已知过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为k的直线l，与圆C： SKIPIF 1 < 0 交于M，N两点，若弦 SKIPIF 1 < 0 的长是2，则k的值是________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，先求得圆心到直线的距离，再利用圆的弦长公式求解.
【详解】
设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵圆C： SKIPIF 1 < 0 的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，且弦 SKIPIF 1 < 0 的长是2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
67．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 截直线 SKIPIF 1 < 0 所得弦长是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为______．
【答案】2
【分析】
化圆的方程为标准方程，可得圆心和半径，求得圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离d，代入弦长公式，即可求得答案.
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 可变形为： SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
根据弦长公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：2
68．（2021·河北秦皇岛·二模）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于A，B两点，则 SKIPIF 1 < 0 面积为___________.
【答案】2
【分析】
求得圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，求得弦长 SKIPIF 1 < 0 ，由此求得三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【详解】
圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆心C到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
五、解答题
69．（2021·山东·邹平市第一中学模拟预测）已知直线 SKIPIF 1 < 0 经过两条直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的交点，且与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直．
（1）求直线 SKIPIF 1 < 0 的一般式方程；
（2）若圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 被该圆所截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，求圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程．
【答案】
（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 【分析】
（1）由题意求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程．
（1）
解：由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 ；
设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，化为一般形式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
解：设圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则圆心为 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为
SKIPIF 1 < 0 ，由垂径定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
70．（2020·西藏·林芝市第二高级中学高三阶段练习（文））已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积．
【答案】（1）（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25．（2）12
【分析】
（1）求出半径，从而可得圆的标准方程；
（2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理求出弦长，从而可求出面积．
【详解】
解：（1）圆C的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
从而圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25；
（2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，
在直角三角形ADC中，由点到直线的距离公式，得|CD|＝3，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以|AB|＝2|AD|＝8，
所以△ABC的面积 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
71．（2021·山西·天镇县实验中学高二期中）已知圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 .
（1）试判断两圆的位置关系；
（2）求公共弦所在直线的方程；
（3）求公共弦的长度.
【答案】
（1）相交
（2） SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）将两圆的方程化为标准方程，得出圆心和半径，然后算出圆心距，和半径之差的绝对值和半径之和比较可得答案；
（2）将两圆的方程作差可得答案；
（3）联立两个圆的方程，解出交点坐标，然后可得答案.
（1）将两圆方程化为标准方程为
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
则圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ；
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两圆相交.
（2）
将两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（3）
由 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 两圆的交点坐标为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 两圆的公共弦的长度为 SKIPIF 1 < 0 .
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