浙江省温州市龙湾九校联考2023-2024学年九年级下学期返校质量检测数学试题（解析版）

这是一份浙江省温州市龙湾九校联考2023-2024学年九年级下学期返校质量检测数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了 不允许使用计算器计算， 关于的二次函数，甲同认为等内容，欢迎下载使用。

考生须知：
1. 本试卷分试题卷和答题卡两部分，满分 120分，考试时间120分钟.
2. 请在答题卡上指定位置填写学校、班级、姓名，正确填涂准考证号.
3. 全卷答案必须写在答题卡的相应位置上，做在试题卷上无效.
4. 如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑.
5. 不允许使用计算器计算.
一、选择题：本大题有 10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知的半径为7，点在外，则的长可能是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系得出即可，熟记点与圆的位置关系是解此题的关键．
【详解】解：∵的半径为7，点在外，
∴，
∴5、6、7都不符合，只有8符合题意，
故选：D．
2. 任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，下列事件中，发生可能性最小的是（ ）
A. 朝上一面的点数是3B. 朝上一面的点数是3的倍数
C. 朝上一面的点数小于3D. 朝上一面的点数大于3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，计算出各选项的概率即可求解．
【详解】解：A．朝上一面的点数是的概率为：，
B．朝上一面的点数是的倍数的概率为：，
C．朝上一面的点数小于的概率为：，
D．朝上一面的点数大于的概率为：，
∴发生可能性最小的是朝上一面的点数是3．
故选：A．
3. 如图，点分别在的边上，且，若 ，， 则的长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查相似三角形求线段长，涉及平行线性质、三角形相似的判定与性质等知识，先由平行线性质得到，从而判断，利用相似三角形性质列比例式，代值求解即可得到答案，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】解：，
，
，
，，
设，
，解得，
故选：C．
4. 如图，已知四边形内接于，，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，求得的度数是解题的关键．先依据内接四边形的性质求得的度数，然后再依据圆周角定理求得的度数即可．
【详解】解：四边形为的内接四边形，
，
，
．
故选：B
5. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是 （ ）
A. 对称轴是直线B. 当时， y随x的增大而减小
C. 顶点坐标为D. 图象与x轴没有交点
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数的顶点式得到函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质，逐项进行分析即可．
【详解】A．二次函数的对称轴为直线，故此选项不符合题意；
B．当时， y随x的增大而减小，当时， y随x的增大而增大，故此选项不符合题意；
C．二次函数顶点坐标为，故此选项不符合题意；
D．二次函数的开口向下，且顶点在x轴的下方，故图象与x轴没有交点，故此选项符合题意；
故选：D．
6. 如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针不落在“”所示区域的概率是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查几何概率模型，涉及简单概率公式，根据题意，求出“”区域以外的圆心角，利用简单概率公式代入角度化简即可得到答案，读懂题意，找准几何概率模型涉及的线段、面积、体积、角度等是解决问题的关键．
【详解】解：圆的周角是，其中“”区域以外的圆心角是，
由几何概率模型可知（指针不落在“”所示区域），
故选：B．
7. 摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点，以点为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的性质，依据题意，设，根据正方形的性质可得，然后根据黄金分割的意义可得，从而可得，最后进行计算即可解答．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
【详解】解：设，
四边形是正方形，
．
由题意，根据黄金分割的意义：矩形满足，
．
．
．
经检验：是原方程的根，
．，
故选：C．
8. 如图，已知点B在以为直径的上， 过 O作 交于 D，连结，，，与交于点．若，，则的长是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理，根据三角形面积公式并结合题意求出，根据等腰三角形的性质及平行线的性质求出，根据圆周角定理求出，即可判定，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”求解即可．
【详解】为的中点，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
为的直径，
，
，
∴
，
，
，
故选：A．
9. 关于的二次函数，甲同认为：若，则当时，随的增大而增大，乙同学认为：若该二次函数的图象在轴上截得的线段长为3，则的值是1或，以下对两位同学的看法判断正确的是（ ）
A. 甲、乙都错误B. 甲、乙都正确C. 甲正确、乙错误D. 甲错误、乙正确
【答案】B
【解析】
【分析】根据解析式，得到对称轴为直线，当时，抛物线开口向下，对称轴的左侧y随x的增大而增大，且，判断在对称轴的左侧，可判断甲的判断正确，设的两个根为，根据截长为3，构造方程解答即可，本题考查了抛物线的性质，抛物线与一元二次方程，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
【详解】∵解析式，
∴对称轴为直线，
当时，抛物线开口向下，对称轴的左侧y随x的增大而增大，且，
∴在对称轴的左侧，
故甲的判断正确，
设的两个根为，
则，
∵，
∴
∴，
整理得，，
解得，
经检验，都是原方程的根，
故乙的说法是正确的，
故选B．
10. 方方同学将图①中圆形纸片沿直径向上对折得到图②，再沿弦向下翻折得到图③，最后沿弦向上翻折得到图④．若点恰为弧的中点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据折叠和圆的相关知识得出，再利用圆周角知识进而得到，在等腰中，由勾股定理得到，由垂径定理及中垂线判定与性质可得，数形结合求值即可得到答案．
【详解】解：设圆的半径为，连接，，，，，，，，如图所示：
由题中折叠性质可知，
，
，
，
，
，
在等腰中，，则由勾股定理可得，
，
如图④所示：
，
．
故选：．
【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，垂直平分线判定与性质，翻折变换（折叠问题），掌握圆的相关知识是解题的关键．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分.
11. 若，则的值为____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查比例性质，根据条件设，代值化简即可得到答案，熟练掌握比例性质及相应题型的解法是解决问题的关键．
【详解】解：，
设，则，
故答案为：．
12. 已知圆心角为 的扇形的弧长为，则该扇形的面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形面积公式：、弧长公式：是解题的关键．设扇形的半径为，根据弧长公式求出，根据扇形面积公式计算．
【详解】设扇形的半径为，
扇形的圆心角为，弧长为，
则，
解得，，
扇形的面积，
故答案为：．
13. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到新抛物线顶点坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【详解】抛物线，
将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线．
此时抛物线顶点坐标是．
故答案为：．
14. 如图，的半径是5，点C是弦延长线上的一点，连结，若，则的长为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理以及30度角所对的直角边是斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据30度角所对的直角边是斜边的一半，得出，再结合勾股定理列式，得，，即可作答．
【详解】解：如图：过点O作，连接
∵，
∴在中，，
∵的半径是5，
∴，
∴在中，，
∴，
故答案为：．
15. 如图， 已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线 的图象相交于， ， 三点． 则不等式 的解是________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数和二次函数的综合判断，将不等式 转化为不等式，再结合函数图像即可得出答案．
【详解】解：不等式 可以转化为不等式，
根据函数图像可知不等式的解集为：或，
故答案为：或．
16. 我国伟大的数学家刘徽在《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点为弧的中点，连结，，，交于点，则与的面积之比为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接、，过点作于，由正六边形性质可得，，，再运用解直角三角形及勾股定理可得，，，，再证得，得出．
【详解】解：连接、，过点作于，如图所示：
六边形是圆内接正六边形，
，，，
点为弧的中点，
，
，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形与圆、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 一个不透明的袋子中装有3个完全相同的小球（只有颜色不同），其中1个红球，2个白球，从中任意摸出一个小球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个小球，记下颜色．圆圆同学认为“两次摸出的小球颜色只有两种结果，要么相同，要么不同，所以两次摸出的小球颜色相同的概率是”．你认为圆圆的看法正确吗? 请用画树状图或列表法说明理由．
【答案】圆圆的看法不正确，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查两步概率问题求解，涉及列举法求两步概率问题、简单概率公式，读懂题意，列表表述出所有等可能得结果及满足题意的结果数，由简单概率公式代值求解即可得到答案，熟练掌握列举法解两步概率问题的方法是解决问题的关键．
【详解】解：圆圆的看法不正确，
理由如下：
列表如下：
表中共有9种等可能的结果，其中两次摸出颜色相同的结果有5种，
，即圆圆的看法不正确．
18. 如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
（1）如图1，在线段上找一点D，使得．
（2）如图2，画出的角平分线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）取格点F和格点E，使得，连接交于点D即可；
（2）取格点G，构造等腰三角形，找到的中点H，连接并延长交于点E即可．
【小问1详解】
（1）如图所示，点D即为所求；
如图可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D即可为所求；
【小问2详解】
如图所示，线段即为所求．
取格点，连接、，相交于点H，根据网格特点可知，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴平分，
延长交于点E，
则即为所求
19. 如图，在矩形中，点E在边上，连结，过点B作于点F．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识，证明是解题的关键．
（1）根据矩形的性质、直角三角形的性质求出，，，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解；
（2）由矩形的性质得，，根据勾股定理求出，再根据相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
在矩形中，，，
∴．
∵，
∴．
∴．
【小问2详解】
四边形是矩形，
，，
在中，
，
，
，
．
20. 设二次函数 （a， b，c是实数，且 ）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
（1）求二次函数的表达式．
（2）若点是抛物线上一点，且，求 n的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征；
（1）把，；，；，代入二次函数，得到关于，，的三元一次方程组，解方程组，求出，，的值即可；
（2）把点的坐标代入二次函数的解析式，把用表示出来，根据的取值范围，求出的取值范围即可．
【小问1详解】
把，；，；，代入二次函数得：
，
解得：，
二次函数的表达式为：；
【小问2详解】
，
对称轴为直线，当时，有最大值1，
点是抛物线上一点，且，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围为：．
21. 如图，是的直径， 弦于点E， 点 F在延长线上，连结交于点 G， 连结，．

（1）若弧度数是， 求的度数．
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距之间关系定理；
（1）利用垂径定理和圆周角定理解答即可；
（2）利用垂径定理和圆周角定理求出，可得，即可得结论．
【小问1详解】
是的直径，，
的度数的度数，
的度数，
的度数的度数；
【小问2详解】
是的直径，，
的度数的度数，
度数，
的度数的度数，
，
，
．
22. 如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G．
（1）若，， 求的长．
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是利用平行四边形性质证三角形相似求解．
（1）根据平行四边形的性质，可得，，，从而可证，利用相似三角形性质求解，即可求得的长；
（2）根据平行四边形的性质，可证，，从而可得，，再可得，从而证得．
【小问1详解】
解：∵四边形是平行四边形，，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
证明：在平行四边形中，，，
，，
，
，
，
，
，
．
23. 如图， 已知四边形内接于， 对角线，交于点 E， ，．
（1）猜想的度数， 并说明理由．
（2）若的半径为，，求四边形的面积．
（3）若过圆心O作 于点F，求证： ．
【答案】（1），理由见解析
（2）四边形的面积为
（3）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的相关计算、圆周角定理．综合运用以上知识是解题的关键．
（1）证明四边形为正方形，则，得到为等腰直角三角形即可求解；
（2）由四边形的面积即可求解；
（3）证明，得到即可求解．
【小问1详解】
解：， 理由如下：
作，，
，
则，，
则四边形为正方形，则，
，
为等腰直角三角形，
．
小问2详解】
连接、，
，
，
，
，
四边形的面积为：．
【小问3详解】
证明：，，，
为等腰直角三角形，
连接并延长交于点，则，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
．
24. 在二次函数复习课上，李老师为检验同学们对函数知识的掌握情况，给出一个关于的函数 ．下面是方方同学的探究过程，请予以补充完整．
（1）当 时，对于函数 ，随的增大而 ，且．对于函数 ，随的增大而 ，且．
结合上述分析，可以发现对于函数，当时，随的增大而 ．
（2）当时，对于函数，取若干自变量与函数对应值如下表：
求的值，并在给出的平面直角坐标系中画出当时函数的图象．
（3）过点作平行于轴的直线，请结合（1）（2）的分析，当直线与函数的图象有两个交点时，求的取值范围．
【答案】（1）减小，减小，减小
（2），图象见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质、函数作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）由一次函数和二次函数的性质即可求解；
（2）当时，，通过描点连线绘制函数图象即可；
（3）当时，，画出整个函数的大致图象，观察函数图象即可求解．
【小问1详解】
解：当时，对于函数，随的增大而减小，且；对于函数，随的增大而减小；
结合上述分析，可以发现对于函数，当时，随的增大而减小；
故答案为：减小，减小，减小；
【小问2详解】
解：当时，；
通过描点连线绘制函数图象如下：
【小问3详解】
解：当时，，
如图所示：
当直线与函数的图象有两个交点时，的取值范围为：．

红
白 1
白2
红
红， 红
红， 白1
红，白2
白1
白1， 红
白1，白1
白1，白2
白2
白2， 红
白2，白1
白2，白2
x
...
0
1
2
3

y
..
0
1
0

x
0
1
2
3
y
0
m
5