四川省成都市石室联合中学2023-2024学年下学期入学考试九年级数学试题（解析版）

这是一份四川省成都市石室联合中学2023-2024学年下学期入学考试九年级数学试题（解析版），共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各式计算结果为负数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先分别算出各个选项的数值，再作选择，即可作答．
【详解】解：A、5--3=5+3=8>0，故该选项是错误的；
B、5+-3=5-3=2>0，故该选项是错误的；
C、，故该选项是正确的；
D、-5×-3=15>0，故该选项是错误的；
故选：C
【点睛】本题考查了有理数的加法、减法、乘法，除法运算，掌握运算法则是解本题的关键．
2. 某商场的休息椅如图所示，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图的识别，熟练掌握和运用三视图的识别方法是解决本题的关键．
根据从左侧看到的图形，即可判定．
【详解】解：此商场的休息椅的左视图为C，
故选：C．
3. 下列因式分解正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用提公因式法，公式法对各项进行因式分解，即可求解．
【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
4. 若式子有意义，则的取值范围是（ ）
A. 且B. 且C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，熟记相关结论即可．
【详解】解：由题意得：，
∴且
故选：A
5. 如图，中，，顶点，分别在直线，上，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质．由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，则可求的度数，利用平角的定义即可求的度数．
【详解】解：如图，
，，
，
，
，
．
故选：A．
6. “践行垃圾分类助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了节废电池，琪琪收集了节废电池，根据题意可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据米乐及琪琪收集废电池数量间的关系，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：米乐比琪琪多收集了7节废电池，
；
若米乐给琪琪8节废电池，则琪琪的废电池数量就是米乐的2倍，
．
根据题意可列方程组为．
故选：A．
7. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．

根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）
A. 平均数为70分钟B. 众数为67分钟C. 中位数为67分钟D. 方差为0
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出平均数、众数、中位数、方差，即可进行判断．
【详解】解：A．平均数为（分钟），故选项错误，不符合题意；
B．在7个数据中，67出现的次数最多，为2次，则众数为67分钟，故选项正确，符合题意；
C．7个数据按照从小到大排列为：，中位数是70分钟，故选项错误，不符合题意；
D．平均数为，
方差为，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了平均数、众数、中位数、方差，熟练掌握各量的求解方法是解题的关键．
8. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线，若点A的坐标为，则下列结论正确的是（ ）

A.
B.
C. 是关于x的一元二次方程的一个根
D. 点，在抛物线上，当时
【答案】C
【解析】
【分析】根据对称轴为得到，即可判断A选项；根据当时，，即可判断B选项；根据当时，即可判断C选项；根据当时，y随着x的增大而增大即可判断D选项．
【详解】解：A．抛物线的对称轴为直线，则，则，即，故选项错误，不符合题意；
B．抛物线的对称轴为直线，点A的坐标为，当时，，故选项错误，不符合题意；
C．抛物线的对称轴为直线，若点A的坐标为，可得点，当时，，即是关于x的一元二次方程的一个根，故选项正确，符合题意；
D．∵抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y随着x的增大而增大，
∴点，在抛物线上，当时，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
9. 香包刺绣又称陇绣，是一项传统技艺．绣线多采用产地范围生产的蚕丝线、棉线、麻线等，织成蚕丝线的蚕丝截面可近似地看成圆，直径约为，蚕丝线的截面面积约为0.000000785cm2.其中数据0.000000785用科学记数法可表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】绝对值小于1数用科学记数法表示为的形式，其中，n为第一个不为0的数前面0的个数，据此表示出来即可求解．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，熟练掌握科学记数法法则是解题关键．
10. 关于x的分式方程有增根，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式方程的增根，解题的关键是熟练掌握分式方程增根的产生原因，增根的求法．
分式方程去分母，化成整式方程，根据分式方程有增根，令公分母等于0求出增根，代入整式方程即可求出m值．
【详解】方程去分母得，
，
∵关于x的分式方程有增根，
∴，
∴，
把代入得，，
∴，
故答案为：
11. 已知点和点B是坐标平面内的两个点，它们关于直线对称_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化-对称，熟记对称的性质并列出方程求出点B的横坐标是解题的关键．根据轴对称的定义列式求出点B的横坐标，然后解答即可．
【详解】解：设点B的横坐标为x，
∵点与点B关于直线对称，
∴，
解得，
∵点A、B关于直线对称，
∴点A、B的纵坐标相等，
∴点．
故答案为．
12. 《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为 _________________．

【答案】
【解析】
【分析】此题考查了位似图形的性质、正多边形与圆等知识，连接，根据相似三角形的性质得到正方形与正方形的面积比为，则正方形的面积为8，得到正方形的边长为，用勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】解：连接，

∵正方形与正方形是位似图形，，
∴正方形与正方形的面积比为，
∵正方形面积为2，
∴正方形的面积为8，
∴正方形的边长为，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴四边形的外接圆的周长为，
故答案为：．
13. 如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交和于点，，以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线交边于点，连接，交于点，连接，若，，则___________________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了基本作图，三角形的面积公式和相似三角形的判定和性质．先由作图得出平分，垂直平分，再根据三角形的面积公式求出和的面积关系，再根据相似三角形的性质求解．
【详解】解：由作图得：平分，垂直平分，
，，
在中，，，，
，
，
，
，
，，
，则，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共5小题，共48分）
14. （1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）5；（2）．
【解析】
【分析】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组．
（1）先代入三角函数值、计算零指数幂和负整数指数幂、去绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）
；
（2）22x-5≤34x+2①x+23>x+12②
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为．
15. 为推进“传统文化进校园”活动，我市某中学举行了“走进经典”征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，B，C，D四个等级，并将结果绘制成不完整的条形统计图和扇形统计图．请根据统计图解答下列问题：
（1）参加征文比赛的学生共有 人；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，表示C等级的扇形的圆心角为 ，图中 ；
（4）学校决定从本次比赛获得A等级的学生中选出两名去参加市征文比赛，已知A等级中有男生一名，女生两名．请用列表或画树状图的方法求出所选两名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）30 （2）见解析
（3），
（4）
【解析】
【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比即可求出总人数；
（2）根据条形统计图得出A、C、D等级的人数，用总人数减A、C、D等级的人数即可；
（3）计算C等级的人数所占总人数的百分比，即可求出表示等级的扇形的圆心角和的值；
（4）利用列表法或树状图法得出所有等可能的情况数，找出一名男生和一名女生的情况数，即可求出所求的概率．
【小问1详解】
解：根据题意得成绩为A等级的学生有3人，所占的百分比为，
则，
即参加征文比赛的学生共有30人；
【小问2详解】
解：由条形统计图可知A、C、D等级的人数分别为3人、12人、6人，
则（人），即B等级的人数为9人
补全条形统计图如下图
；
【小问3详解】
解：，
∴表示C等级的扇形的圆心角为；
∵ ，
∴；
【小问4详解】
解：依题意，列表如下∶
由上表可知总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好是一男一女的结果共有4种，
所以；
或树状图如下
由上图可知总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好是一男一女的结果共有4种，
所以．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及利用列表法或者树状图法求概率，求解圆心角，弄清题意是解题的关键．
16. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，）
【答案】该风力发电机塔杆的高度约为32米．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题．延长交于点，延长交于点，根据题意可得：，，米，，然后设米，在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进而列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：延长交于点，延长交于点，
由题意得：，，米，，
设米，
在中，，米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
（米），
，
解得：，
米，
（米），
该风力发电机塔杆的高度约为32米．
17. 如图1，在的内接中，，垂足为E．延长至P，连接．

（1）求证：为的切线；
（2）如图2，F为上一点，且弧弧，，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，由及，可得，由相似三角形的性质可得，再利用等腰三角形的性质及三角形的内角和可求得，问题得证；
（2）连接，由，，，可求的，，，，，，
设，则，设，则，可证，由相似三角形的性质可分别求得，，再由勾股定理可得，的长，两者相加即可求得的长．
【小问1详解】
证明：∵，
∴为的直径，连接，

∵，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴为切线；
【小问2详解】
解：连接，

∵，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，，，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，即，
∴，则，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了圆的相关判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数的应用及勾股定理在计算中的应用，熟练掌握相关判定与性质，是解题的关键．
18. 已知在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交等腰的边于点C，且，已知，，．

（1）求反比例函数的表达式；
（2）点M是反比例函数图象上的一个动点，连接与与的图象于点N，过点M作轴于点E．
①若的面积是3，请求出满足条件的M的坐标；
②过点E作，交反比例函数的图象于点P，动点M在运动过程中，对于确定的实数，的面积是否会发生变化？若没有变化；若有变化，请说明理由．
【答案】（1）反比例函数解析式为：
（2）①的坐标为：或；②的面积不会发生变化，；
【解析】
【分析】（1）如图，作轴，垂足为D，作轴，垂足为点G， 再求解的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①作轴，垂足为Q，根据反比例函数k值的几何意义得：，所以S，设M点的坐标为，，则，同理可得另一种情况的答案． ②设点M的坐标为，直线的解析式为，，根据平行得直线解析式为 ，联立方程组得到 ，解方程得，根据三角形面积公式答案即可．
【小问1详解】
解：如图，作轴，垂足为D，作轴，垂足为点G，

∵，
∴，，
∵ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∵．
∴ ，
∴ ，
∴，，
∴，
点C在反比例函数的图象上，
∴．
∴反比例函数解析式为：；
【小问2详解】
解：①作轴，垂足为Q，根据反比例函数k值的几何意义得：，

∴， 设M点的坐标为，
∴，
解得：（舍去负值），
∴，
∴．
如图，当在的左边时，作轴，垂足为Q，作轴于，

同理可得：， 设M点的坐标为，
∴，
解得：（舍去负值），
∴，
∴．
综上：的坐标为：或；
②设点M的坐标为，
∴直线的解析式为，，
∵，
∴直线解析式为，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵，，则，
∵，
∴，
∴．
∵实数确定，
∴的面积不会发生变化，．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质、反比例函数k值的几何意义、一元二次方程的解、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用等，熟练掌握相关知识是关键．
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
19. 已知直四棱柱的三视图如图所示，俯视图是一个正方形，则这个直四棱柱的体积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解该几何体的形状，根据题意可知该直四棱柱的底面是一个对角线长为的正方形，它的高为，进而得出这个直四棱柱的体积．
【详解】解：根据题意可知该直四棱柱的底面是一个对角线长为的正方形，
这个直四棱柱的体积为：，
故答案为：．
20. 若a，b是方程的两个实数根，则代数式的值为 _________．
【答案】2028
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．利用a，b是方程的两个实数根，可得，即可求出答案．
【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：2028．
21. 如图，等腰内接于，，，则小针针尖落在内的概率为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比，解题的关键是求出圆的半径．连接并延长交于点D，连接，根据针尖落在阴影区域的概率就是等腰三角形的面积与圆的面积之比，即可求解．
【详解】解：如图，连接并延长交于点D，连接，
∵等腰内接于，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中 ，，
∴，
解得：，
即的半径为，
∴的面积为，
∴小针针尖落在内的概率为．
故答案为：
22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，是反比例函数位于第一象限内的图象上的点，作射线交轴于点，连接，，若，的面积为18，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题重点考查正比例函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形．作于点，，交的延长线于点，作于点，设交轴于点，设，则，，设点的横坐标为，则，可证明，则，即可推导出，则，所以，则，所以，，由，得，则，于是得，则，所以．
【详解】解：作于点，，交的延长线于点，作于点，设交轴于点，
直线经过原点，且与双曲线交于，两点，
点与点关于原点对称，
设，则，，
设点的横坐标为，则，，
，，
，
，
∵，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
23. 如图，在平行四边形中，，，为锐角，且 ，P是边上的一动点，点C，D 同时绕点 P 按逆时针方向旋转90°得点，当是直角三角形时，线段的长为_____．
【答案】3 或 或 ．
【解析】
【分析】过点C作 于点H，根据平行四边形的性质及解三角形得出，再由旋转的性质分三种情况讨论：①当以为直角顶点时，②当以A为直角顶点时，③当以为直角顶点时，分别利用旋转的性质，相似三角形的判定和性质及解一元二次方程求解即可．
【详解】解：过点C作 于点H，
∵在中，，
∴在 中， ，
由旋转的性质，得，
∵，，由是直角三角形，可知需分三种情况讨论：
①当以为直角顶点时，如图1，
∵，
∴点落在的延长线上．
∵，
∴，
∴点 P 与点H重合，
∴，
∴；
②当以A直角顶点时，如图 2，
设 与射线 的交点为T，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴．
设 t，则，
∴．
，
∴，
∴，
，
，
，
，
化简得 ，
解得 ，
；
③当以为直角顶点时，点P 在的延长线上，不符合题意．
综上所述，或 或 ；
故答案为：3 或 或 ．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形及相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三角函数的应用等，理解题意，综合运用这些知识点进行分情况分析是解题关键．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
24. 某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元）之间的函数关系如图所示．

（1）求关于的函数表达式：
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】
【答案】（1）
（2）销售价格为元时，利润最大为
【解析】
【分析】（1）分时，当时，分别待定系数法求解析式即可求解；
（2）设利润为，根据题意当时，得出，当时，，
进而根据分时，当时，分别求得最大值，即可求解．
【小问1详解】
当时，设关于的函数表达式为，将点代入得，
∴
解得：
∴，
当时，设关于的函数表达式为，将点代入得，
解得：
∴，
【小问2详解】
设利润为
当时，
∵在范围内，随着的增大而增大，
当时，取得最大值为；
当时，
∴当时，w取得最大值为
，
当销售价格为元时，利润最大为．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
25. 如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在抛物线上，点在轴上，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为，对称轴与轴交于点，过点的直线（直线除外）与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】（1）；
（2）点的坐标为或或；
（3）是定值，定值为16．
【解析】
【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、根和系数的关系等．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）当或为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当为对角线时，同理可解；
（3）求出直线的表达式为：，得到，同理可得，，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得，抛物线的表达式为：，
即，
∴a=-1
则抛物线的表达式为：；
【小问2详解】
解：设点的坐标为：，点，
当或为对角线时，由中点坐标公式得：，
解得：（舍去）或2，
则点；
当为对角线时，同理可得：，
解得：，
则点的坐标为2,3或或；
【小问3详解】
解：是定值，理由：
直线过点，故设直线的表达式为：，
设点、的坐标分别为：，点，
联立和并整理得：，
则，，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
令，则，即点，
则，
同理可得，，
则．
26. 如图，在中，，，点在边上，且，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，．
（1）如图1，当时，
①求证：；
②求线段长；
（2）当是等腰三角形时，求长；
（3）如图2，将沿翻折，得到，连接，是线段上的一点，且，连接，当线段的长度取得最大值时，求的值．
【答案】（1）①见解析；②；
（2）或；
（3）．
【解析】
【分析】（1）①由得出，根据得出，从而得出，从而得出结论；
②根据得出，进而求得结果；
（2）当时，作于，可证得，从而得出，进而求得；当时，作于，可求得，进而得出，进一步得出结果；可推出，故有两种结果；
（3）先构造得出，，，在上取点，使，则，可推出，从而，，进而得出，从而点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接，并延长，交于，此时最大，可得出，从而，解三角形求得，进一步得出结果．
【小问1详解】
①证明：，，
，
，
，
，
，
；
②解：，，，
，
由①得，，
，
，
或（舍去）；
；
【小问2详解】
解：如图1，
当时，
作于，
，，
，
，
，
，
；
如图2，
当时，
作于，
，
，
，
；
如图3，
作于，
，
，
，
，
，
，
综上所述：或；
【小问3详解】
解：如图4，
在中，，，，在的延长线上，且，
，
，，，
如图5，
在上取点，使，则，
，
，
，
，
，
，
，，
，
沿翻折，得到，
，，
，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
连接，并延长，交于，此时最大，
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，
作的平分线，作于，
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，
，
，
，
设，，则，
，
，
，
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，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，解直角三角形等知识，解决问题的关键是分类讨论．
男
女
女
男
(男，女)
(男，女)
女
(男，女)
(女，女)
女
(男，女)
(女，女)