新高考数学一轮复习考点过关练习 利用导数证明不等式（含解析）

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（1）①证明f(x)>g(x)，可以构造函数h(x)＝ f(x)－g(x), 然后利用h(x)的最值证明不等式；
②若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形分拆，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量， 达到证明的目的.
(2)利用“隐零点”证明不等式的关键在于“设而不求”及“等量代换”，常见的有不含参和含参两种类型：①不含参函数的隐零点问题：已知不含参函数f(x)，导函数方程f′(x)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x)＝0的根为x0，则(i)有关系式f′(x0)＝0成立；(ii)注意确定x0的合适范围. ②含参函数的隐零点问题：已知含参函数f(x，a)，其中a为参数，导函数方程f′(x，a)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x，a)＝0的根为x0，则(i)有关系式f′(x0，a)＝0成立，该关系式给出了x0，a的关系；(ii)注意确定x0的合适范围，往往和a的取值范围有关.
【题型归纳】
题型一：利用导数证明不等式
1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，证明：在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 .
2．设函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ．
（ⅰ）证明： SKIPIF 1 < 0 恰有两个零点；
（ⅱ）设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的极值点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的零点，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 （a∈R且a≠0）．
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，若关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 有两个实数根 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【双基达标】
4．设函数 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点．
（1）求a；
（2）设函数 SKIPIF 1 < 0 ．证明: SKIPIF 1 < 0 ．
5．设a，b为实数，且 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时，证明：对任意 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的零点 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 .
(注： SKIPIF 1 < 0 是自然对数的底数)
6．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)设函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在其定义域内恒成立，求实数a的最小值：
(2)若方程 SKIPIF 1 < 0 恰有两个相异的实根 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，试求实数a的取值范围，并证明 SKIPIF 1 < 0 ．
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的增区间；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的两个极值点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
8．已知函数f（x）＝（x+1）ex+（a﹣1）x，其中a∈R．
（1）当a＝1时，求f（x）的最小值；
（2）若g（x）＝f（x）﹣ex在R上单调递增，则当x＞0时，求证： SKIPIF 1 < 0
9．已知函数f（x）＝ax3﹣3lnx.
(1)若a＝1，证明：f（x）≥1；
(2)讨论f（x）的单调性.
10．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若曲线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点处的切线斜率不小于3，求a的最小值.
(2)当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
11．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 在R上的极值；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 ．
12．已知 SKIPIF 1 < 0 .
（1）当 SKIPIF 1 < 0 有两个零点时，求a的取值范围；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
13．（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，判断函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内的单调性；
（2）证明：对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
14．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
15．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域内是单调增函数，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
16．已知函数f(x)=x-mlnx-m.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有最小值g(m)，证明：g(m) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立.
17．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为两个不相等的正数，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
18．已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证： SKIPIF 1 < 0 ．
19．已知函数 SKIPIF 1 < 0 （a为常数）在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求a的值，并讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求证 SKIPIF 1 < 0 .
20．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 是自然对数的底数.
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不同极值点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ；
（i）求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（ii）证明： SKIPIF 1 < 0 .
【高分突破】
21．已知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 的导函数 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 恰有两个互异的零点 SKIPIF 1 < 0 .
（i）求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（ii）求证： SKIPIF 1 < 0 .
22．已知关于x的函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在区间D上恒有 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求h(x)的表达式；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求k的取值范围；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 求证： SKIPIF 1 < 0 ．
23．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)设函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)设函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
24．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性．
25．已知函数f(x)=ex，g(x)=2ax+1.
（1）若f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值集合；
（2）若a>0，且方程f(x)-g(x)=0有两个不同的根x1，x2，证明： SKIPIF 1 < 0