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新高考数学一轮复习考点过关练习 求平面向量的夹角（含解析）
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这是一份新高考数学一轮复习考点过关练习 求平面向量的夹角（含解析），共28页。
求两向量a，b的夹角θ，通常采用公式csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)进行求解.
【典例分析】
典例1．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
典例2．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
典例3．如果平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .那么下列结论中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量的模为 SKIPIF 1 < 0
典例4．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中正确的个数为（ ）
①与 SKIPIF 1 < 0 同向共线的单位向量是 SKIPIF 1 < 0
② SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角余弦值为 SKIPIF 1 < 0
③向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
④ SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 个B． SKIPIF 1 < 0 个C． SKIPIF 1 < 0 个D． SKIPIF 1 < 0 个
典例5．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法不正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为2
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为1D．若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
【双基达标】
6．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角小于 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
7．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．定义空间两个向量的一种运算 SKIPIF 1 < 0 ，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
9．设 SKIPIF 1 < 0 为实数，已知向量 SKIPIF 1 < 0 =(-1，2)， SKIPIF 1 < 0 =(1， SKIPIF 1 < 0 ).若 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 +2 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角大小为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
13．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
14．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
15． SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
16．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
17．已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上两个不同的点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
18．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
19．已知单位向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
20．平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
21．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
22．在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，M是 SKIPIF 1 < 0 中点．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
23．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点D满足 SKIPIF 1 < 0 ，E为 SKIPIF 1 < 0 的外心，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
24．设 SKIPIF 1 < 0 为单位向量，满足 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的可能取值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
25．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【高分突破】
单选题
26．若向量 SKIPIF 1 < 0 ＝(1,2,0)， SKIPIF 1 < 0 ＝(－2,0,1)，则（ ）
A．cs〈 SKIPIF 1 < 0 〉＝ SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
27．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
28．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
二、多选题
29．设向量 SKIPIF 1 < 0 ，则下列叙述错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 2
B．若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
C．与 SKIPIF 1 < 0 共线的单位向量只有一个为 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
30．设向量 SKIPIF 1 < 0 ＝(k，2)， SKIPIF 1 < 0 ＝(1，－1)，则下列叙述错误的是（ ）
A．若k<－2，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角
B．| SKIPIF 1 < 0 |的最小值为2
C．与 SKIPIF 1 < 0 共线的单位向量只有一个为 SKIPIF 1 < 0
D．若| SKIPIF 1 < 0 |＝2| SKIPIF 1 < 0 |，则k＝ SKIPIF 1 < 0 或－ SKIPIF 1 < 0
31．已知 SKIPIF 1 < 0 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线且反向
D．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
32．已知单位向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ,则以下说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 可以作为平面内的一组基底
33．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
三、填空题
34．已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为______．
35．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为________．
36．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
37．若两个向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是单位向量，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为__________．
38．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角等于____；
39．若 SKIPIF 1 < 0 =（-3，4）， SKIPIF 1 < 0 =（5，-12），则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为_________
40．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角等于_______.
四、解答题
41．如图，在直角△ABC中，点D为斜边BC的靠近点B的三等分点，点E为AD的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值.
42．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求向量 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
（2）求向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角．
43．已知坐标平面内 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线时，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时，求 SKIPIF 1 < 0 的坐标，并求 SKIPIF 1 < 0 的值．
44．已知平面内两个不共线的向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角.
45．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时，求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
由数量积运算求解即可.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
2．D
【解析】
【分析】
先利用数量积的坐标运算求解 SKIPIF 1 < 0 ，再利用夹角公式求解夹角.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
3．D
【解析】
【分析】
由向量模长的坐标公式、向量共线的坐标公式、向量夹角的坐标公式以及向量的投影求解即可.
【详解】
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 不平行，B错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量的模为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：D.
4．C
【解析】
【分析】
根据单位向量、向量夹角的余弦值、投影以及向量垂直的定义逐个验证即可.
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 ，故①正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故②错误；
向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，故③正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故④正确；
故选:C.
5．D
【解析】
【分析】
根据向量平行、模、夹角等知识确定说法不正确的选项.
【详解】
A选项，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，A选项说法正确.
B选项，若 SKIPIF 1 < 0 ，两边平方并化简得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，B选项说法正确.
C选项， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，有最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，C选项说法正确.
D选项，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角，则 SKIPIF 1 < 0 ，D选项说法不正确.
故选：D
6．A
【解析】
【分析】
由平面向量的模的坐标公式，平行的坐标表示，夹角的坐标表示，及垂直的坐标表示，依次判断各选项即可得出结果.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故 SKIPIF 1 < 0 正确；
SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 错误；
设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以不存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选： SKIPIF 1 < 0 .
7．B
【解析】
直接代入平面向量的夹角的坐标运算公式计算即可
【详解】
因为向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
故选B.
【点睛】
本题考查平面向量的夹角的坐标运算公式，属基础题， SKIPIF 1 < 0 .
8．D
【解析】
【分析】
A．按 SKIPIF 1 < 0 的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．
【详解】
A． SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，成立，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
综上，A不恒成立；
B． SKIPIF 1 < 0 是一个实数， SKIPIF 1 < 0 无意义，B不成立；
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，成立．
故选：D．
【点睛】
本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的 SKIPIF 1 < 0 用 SKIPIF 1 < 0 ，而余弦可由数量积进行计算．
9．A
【解析】
根据向量垂直的坐标运算解得 SKIPIF 1 < 0 ，再运用向量夹角的坐标运算公式可得选项.
【详解】
因为向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设向量 SKIPIF 1 < 0 +2 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的夹角 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以向量 SKIPIF 1 < 0 +2 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的夹角为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
10．B
【解析】
【分析】
本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由 SKIPIF 1 < 0 得出向量 SKIPIF 1 < 0 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 =0，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，故选B．
【点睛】
对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
11．A
【解析】
【分析】
先计算向量 SKIPIF 1 < 0 的模，再根据向量数量积的定义，将 SKIPIF 1 < 0 展开，即可求得答案.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
12．D
【解析】
【分析】
计算可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用数量积公式计算即可得出结果.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 向量 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
13．A
【解析】
【分析】
利用数量积的定义，即可求解.
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ,又因为向量夹角的范围为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为30°，
故选：A.
14．D
【解析】
【分析】
计算出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值，利用平面向量数量积可计算出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
【点睛】
本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.
15．A
【解析】
【分析】
本题首先可构建直角坐标系，根据题意得出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线以及 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线得出 SKIPIF 1 < 0 ，再然后根据向量的运算法则得出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，最后根据 SKIPIF 1 < 0 即可得出结果.
【详解】
如图所示，以 SKIPIF 1 < 0 点为原点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴构建直角坐标系，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
【点睛】
方法点睛：本题考查向量的几何应用，可借助平面直角坐标系进行解题，考查应用向量的数量积公式求夹角，考查向量共线的相关性质，体现了数形结合思想，是难题.
16．D
【解析】
【分析】
计算出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值，利用平面向量的数量积可求得结果.
【详解】
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
17．D
【解析】
【分析】
计算得出 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用三角恒等变换思想结合正弦型函数的有界性可求得结果.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 为锐角，且 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题考查与圆有关的最值问题，将圆上的点的坐标利用圆的参数方程表示，并结合三角恒等变换求解是解本题的关键.
18．C
【解析】
【分析】
根据已知条件，求得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用向量夹角的计算公式即可求得结果.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
代值得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故可得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
19．D
【解析】
分别求出 SKIPIF 1 < 0 ，应用向量夹角公式，即可求解.
【详解】
单位向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选:D.
【点睛】
本题考查向量的模长、向量的数量积、向量夹角，考查计算求解能力，属于基础题.
20．A
【解析】
【分析】
利用向量的夹角余弦公式求向量 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值.
【详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
21．D
【解析】
【分析】
根据 SKIPIF 1 < 0 ，利用向量数量积的定义和运算律可构造方程求得 SKIPIF 1 < 0 ，结合向量夹角范围可得结果.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
22．B
【解析】
【分析】
直接利用 SKIPIF 1 < 0 为基底，把 SKIPIF 1 < 0 转化为 SKIPIF 1 < 0 的计算，利用夹角公式求出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B
【点睛】
在几何图形中进行向量运算:
(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；
(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.
23．A
【解析】
【分析】
利用向量的数量积求得 SKIPIF 1 < 0 ，以O为原点，建立平面直角坐标系，再利用向量的坐标运算可得解.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
以O为原点，OA，垂直于OA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又E为 SKIPIF 1 < 0 的外心， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A
24．C
【解析】
【分析】
根据 SKIPIF 1 < 0 为单位向量，设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再根据 SKIPIF 1 < 0 ，得到x的范围，然后利用 SKIPIF 1 < 0 求解.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 为单位向量，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题关键是在 SKIPIF 1 < 0 为单位向量的条件下，设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 确定x的范围.
25．B
【解析】
【分析】
根据 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，再结合平面向量的夹角公式计算即可
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0
故选：B.
26．D
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标进行运算可得答案.
【详解】
∵向量 SKIPIF 1 < 0 ＝(1,2,0)， SKIPIF 1 < 0 ＝(－2,0,1)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2.
∴ SKIPIF 1 < 0 .
易知A，B不正确，D正确，C显然也不正确.
故选：D
27．B
【解析】
【分析】
将 SKIPIF 1 < 0 变为 SKIPIF 1 < 0 ，将该式两边平方，利用向量的乘法运算求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据向量的夹角公式计算可得答案.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,
故选：B.
28．C
【解析】
利用向量公式求出向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角及模长，利用三角形面积公式求得面积，运用三角函数性质求得最值.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
29．BCD
【解析】
【分析】
利用向量的模长公式及二次函数的性质可判断A的正误；利用向量的夹角公式可判断B的正误；利用向量共线的坐标表示可判断C的正误；利用模长公式可求出 SKIPIF 1 < 0 的值，进而判断D的正误.
【详解】
A： SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值为2，故A正确；
B：若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角，则有 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线，
即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
C：与 SKIPIF 1 < 0 共线的单位向量有 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两个，故C错误；
D：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；
故选：BCD.
30．CD
【解析】
【分析】
对于A选项，得k<2且k≠－2，所以A选项正确；
对于B选项，| SKIPIF 1 < 0 |≥2，所以B选项正确；
对于C选项，与 SKIPIF 1 < 0 共线的单位向量为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以C选项错误；
对于D选项，得k＝±2，所以D选项错误．
【详解】
对于A选项，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线，则k－2<0且k≠－2，解得k<2且k≠－2，所以A选项正确；
对于B选项，| SKIPIF 1 < 0 |＝ SKIPIF 1 < 0 ≥ SKIPIF 1 < 0 ＝2，当且仅当k＝0时等号成立，所以B选项正确；
对于C选项，| SKIPIF 1 < 0 |＝ SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 共线的单位向量为 SKIPIF 1 < 0 ，即与 SKIPIF 1 < 0 共线的单位向量为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以C选项错误；
对于D选项，∵| SKIPIF 1 < 0 |＝2| SKIPIF 1 < 0 |＝2 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ＝2 SKIPIF 1 < 0 ，解得k＝±2，所以D选项错误．
故选：CD
31．AC
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A；由向量垂直时乘积为0，可判断B；利用向量数量积的运算律，化简可判断C；根据向量数量积的坐标关系，可判断D.
【详解】
对于A，由平面向量数量积定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以A正确，
对于B，当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 都和 SKIPIF 1 < 0 垂直时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B错误，
对于C，两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则两个向量的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线且反向，故C正确；
对于D，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，
可得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为0时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角时 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；
故选:AC.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.
32．ABD
【解析】
【分析】
根据向量的模的公式，数量积的运算，向量的夹角公式，判断向量共线的条件逐项验证即可
【详解】
据题意 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 对
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 对.
因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 错
因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线,所以可以作为平面内的一组基底,所以 SKIPIF 1 < 0 正确
故选：ABD
33．AC
【解析】
【分析】
对于A选项， SKIPIF 1 < 0 即可求解；
对于B选项，利用向量夹角公式 SKIPIF 1 < 0 计算；
对于C、D选项，由投影向量的定义得， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；对于B选项，设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角，则 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；对于C选项， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；对于D选项， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：AC.
34． SKIPIF 1 < 0
【解析】
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
根据向量的数量积运算，则 SKIPIF 1 < 0
代入化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
35． SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
根据向量的夹角公式计算即可．
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
36． SKIPIF 1 < 0 ##0.5
【解析】
【分析】
根据向量的数量积公式 SKIPIF 1 < 0 即可求出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
37． SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
求出 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ，然后由数量积定义可得夹角．
【详解】
由已知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
38． SKIPIF 1 < 0 ##120°
【解析】
【分析】
利用夹角公式求出向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
39． SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
根据向量夹角坐标公式求解.
【详解】
SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】
本题考查向量夹角坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
40． SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
根据向量夹角的坐标公式运算即可.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
41．(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）由平面向量的线性运算法则求解；
（2）以 SKIPIF 1 < 0 所在的方向分别为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴的正方向，建立平面直角坐标系，用数量积的坐标表示计算．
(1)
∵D为斜边BC的靠近点B的三等分点，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵E为AD的中点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
(2)
SKIPIF 1 < 0 ， 如图，以 SKIPIF 1 < 0 所在的方向分别为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴的正方向，建立平面直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
42．（1） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，根据向量模的坐标表示以及向量数量积的坐标表示列方程组，解方程组即可求解.
（2）设向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，利用向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
解：（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，①
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，②
由①②解得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题考查了向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示，利用向量的数量积求向量的夹角，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
43．(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）利用向量共线坐标表示即求；
（2）利用数量积的坐标表示可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用夹角公式即求.
(1)
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线时，有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
44．（1）2；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
（1）根据条件可求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据 SKIPIF 1 < 0 进行数量积的运算即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）可求出 SKIPIF 1 < 0 的值，进而可求出 SKIPIF 1 < 0 的值，从而可求出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角．
【详解】
解：（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
对向量数量积定义进行变行是求解向量长度，向量夹角的常用方法，同时要注意夹角的范围．
45．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
（1）利用平面向量垂直表示可得出关于 SKIPIF 1 < 0 的等式，进而可求得实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）利用平面向量数量积的运算法则以及二次函数的基本性质可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，可求出 SKIPIF 1 < 0 的值，进一步可求出 SKIPIF 1 < 0 的值，利用平面向量数量积可求得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值．
【详解】
（1）由已知条件可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
方法点睛：求平面向量夹角的方法：
（1）定义法：利用向量数量积的定义得 SKIPIF 1 < 0 ，其中两向量 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）坐标法：若非零向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
求两向量a，b的夹角θ，通常采用公式csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)进行求解.
【典例分析】
典例1．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
典例2．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
典例3．如果平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .那么下列结论中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量的模为 SKIPIF 1 < 0
典例4．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中正确的个数为（ ）
①与 SKIPIF 1 < 0 同向共线的单位向量是 SKIPIF 1 < 0
② SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角余弦值为 SKIPIF 1 < 0
③向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
④ SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 个B． SKIPIF 1 < 0 个C． SKIPIF 1 < 0 个D． SKIPIF 1 < 0 个
典例5．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法不正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为2
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为1D．若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
【双基达标】
6．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角小于 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
7．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．定义空间两个向量的一种运算 SKIPIF 1 < 0 ，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
9．设 SKIPIF 1 < 0 为实数，已知向量 SKIPIF 1 < 0 =(-1，2)， SKIPIF 1 < 0 =(1， SKIPIF 1 < 0 ).若 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 +2 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角大小为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
13．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
14．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
15． SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
16．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
17．已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上两个不同的点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
18．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
19．已知单位向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
20．平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
21．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
22．在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，M是 SKIPIF 1 < 0 中点．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
23．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点D满足 SKIPIF 1 < 0 ，E为 SKIPIF 1 < 0 的外心，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
24．设 SKIPIF 1 < 0 为单位向量，满足 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的可能取值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
25．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【高分突破】
单选题
26．若向量 SKIPIF 1 < 0 ＝(1,2,0)， SKIPIF 1 < 0 ＝(－2,0,1)，则（ ）
A．cs〈 SKIPIF 1 < 0 〉＝ SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
27．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
28．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
二、多选题
29．设向量 SKIPIF 1 < 0 ，则下列叙述错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 2
B．若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
C．与 SKIPIF 1 < 0 共线的单位向量只有一个为 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
30．设向量 SKIPIF 1 < 0 ＝(k，2)， SKIPIF 1 < 0 ＝(1，－1)，则下列叙述错误的是（ ）
A．若k<－2，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角
B．| SKIPIF 1 < 0 |的最小值为2
C．与 SKIPIF 1 < 0 共线的单位向量只有一个为 SKIPIF 1 < 0
D．若| SKIPIF 1 < 0 |＝2| SKIPIF 1 < 0 |，则k＝ SKIPIF 1 < 0 或－ SKIPIF 1 < 0
31．已知 SKIPIF 1 < 0 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线且反向
D．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
32．已知单位向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ,则以下说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 可以作为平面内的一组基底
33．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
三、填空题
34．已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为______．
35．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为________．
36．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
37．若两个向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是单位向量，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为__________．
38．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角等于____；
39．若 SKIPIF 1 < 0 =（-3，4）， SKIPIF 1 < 0 =（5，-12），则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为_________
40．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角等于_______.
四、解答题
41．如图，在直角△ABC中，点D为斜边BC的靠近点B的三等分点，点E为AD的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值.
42．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求向量 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
（2）求向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角．
43．已知坐标平面内 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线时，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时，求 SKIPIF 1 < 0 的坐标，并求 SKIPIF 1 < 0 的值．
44．已知平面内两个不共线的向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角.
45．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时，求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
由数量积运算求解即可.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
2．D
【解析】
【分析】
先利用数量积的坐标运算求解 SKIPIF 1 < 0 ，再利用夹角公式求解夹角.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
3．D
【解析】
【分析】
由向量模长的坐标公式、向量共线的坐标公式、向量夹角的坐标公式以及向量的投影求解即可.
【详解】
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 不平行，B错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量的模为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：D.
4．C
【解析】
【分析】
根据单位向量、向量夹角的余弦值、投影以及向量垂直的定义逐个验证即可.
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 ，故①正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故②错误；
向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，故③正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故④正确；
故选:C.
5．D
【解析】
【分析】
根据向量平行、模、夹角等知识确定说法不正确的选项.
【详解】
A选项，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，A选项说法正确.
B选项，若 SKIPIF 1 < 0 ，两边平方并化简得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，B选项说法正确.
C选项， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，有最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，C选项说法正确.
D选项，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角，则 SKIPIF 1 < 0 ，D选项说法不正确.
故选：D
6．A
【解析】
【分析】
由平面向量的模的坐标公式，平行的坐标表示，夹角的坐标表示，及垂直的坐标表示，依次判断各选项即可得出结果.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故 SKIPIF 1 < 0 正确；
SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 错误；
设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以不存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选： SKIPIF 1 < 0 .
7．B
【解析】
直接代入平面向量的夹角的坐标运算公式计算即可
【详解】
因为向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
故选B.
【点睛】
本题考查平面向量的夹角的坐标运算公式，属基础题， SKIPIF 1 < 0 .
8．D
【解析】
【分析】
A．按 SKIPIF 1 < 0 的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．
【详解】
A． SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，成立，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
综上，A不恒成立；
B． SKIPIF 1 < 0 是一个实数， SKIPIF 1 < 0 无意义，B不成立；
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，成立．
故选：D．
【点睛】
本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的 SKIPIF 1 < 0 用 SKIPIF 1 < 0 ，而余弦可由数量积进行计算．
9．A
【解析】
根据向量垂直的坐标运算解得 SKIPIF 1 < 0 ，再运用向量夹角的坐标运算公式可得选项.
【详解】
因为向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设向量 SKIPIF 1 < 0 +2 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的夹角 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以向量 SKIPIF 1 < 0 +2 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的夹角为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
10．B
【解析】
【分析】
本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由 SKIPIF 1 < 0 得出向量 SKIPIF 1 < 0 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 =0，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，故选B．
【点睛】
对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
11．A
【解析】
【分析】
先计算向量 SKIPIF 1 < 0 的模，再根据向量数量积的定义，将 SKIPIF 1 < 0 展开，即可求得答案.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
12．D
【解析】
【分析】
计算可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用数量积公式计算即可得出结果.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 向量 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
13．A
【解析】
【分析】
利用数量积的定义，即可求解.
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ,又因为向量夹角的范围为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为30°，
故选：A.
14．D
【解析】
【分析】
计算出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值，利用平面向量数量积可计算出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
【点睛】
本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.
15．A
【解析】
【分析】
本题首先可构建直角坐标系，根据题意得出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线以及 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线得出 SKIPIF 1 < 0 ，再然后根据向量的运算法则得出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，最后根据 SKIPIF 1 < 0 即可得出结果.
【详解】
如图所示，以 SKIPIF 1 < 0 点为原点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴构建直角坐标系，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
【点睛】
方法点睛：本题考查向量的几何应用，可借助平面直角坐标系进行解题，考查应用向量的数量积公式求夹角，考查向量共线的相关性质，体现了数形结合思想，是难题.
16．D
【解析】
【分析】
计算出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值，利用平面向量的数量积可求得结果.
【详解】
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
17．D
【解析】
【分析】
计算得出 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用三角恒等变换思想结合正弦型函数的有界性可求得结果.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 为锐角，且 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题考查与圆有关的最值问题，将圆上的点的坐标利用圆的参数方程表示，并结合三角恒等变换求解是解本题的关键.
18．C
【解析】
【分析】
根据已知条件，求得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用向量夹角的计算公式即可求得结果.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
代值得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故可得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
19．D
【解析】
分别求出 SKIPIF 1 < 0 ，应用向量夹角公式，即可求解.
【详解】
单位向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选:D.
【点睛】
本题考查向量的模长、向量的数量积、向量夹角，考查计算求解能力，属于基础题.
20．A
【解析】
【分析】
利用向量的夹角余弦公式求向量 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值.
【详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
21．D
【解析】
【分析】
根据 SKIPIF 1 < 0 ，利用向量数量积的定义和运算律可构造方程求得 SKIPIF 1 < 0 ，结合向量夹角范围可得结果.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
22．B
【解析】
【分析】
直接利用 SKIPIF 1 < 0 为基底，把 SKIPIF 1 < 0 转化为 SKIPIF 1 < 0 的计算，利用夹角公式求出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B
【点睛】
在几何图形中进行向量运算:
(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；
(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.
23．A
【解析】
【分析】
利用向量的数量积求得 SKIPIF 1 < 0 ，以O为原点，建立平面直角坐标系，再利用向量的坐标运算可得解.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
以O为原点，OA，垂直于OA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又E为 SKIPIF 1 < 0 的外心， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A
24．C
【解析】
【分析】
根据 SKIPIF 1 < 0 为单位向量，设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再根据 SKIPIF 1 < 0 ，得到x的范围，然后利用 SKIPIF 1 < 0 求解.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 为单位向量，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题关键是在 SKIPIF 1 < 0 为单位向量的条件下，设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 确定x的范围.
25．B
【解析】
【分析】
根据 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，再结合平面向量的夹角公式计算即可
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0
故选：B.
26．D
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标进行运算可得答案.
【详解】
∵向量 SKIPIF 1 < 0 ＝(1,2,0)， SKIPIF 1 < 0 ＝(－2,0,1)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2.
∴ SKIPIF 1 < 0 .
易知A，B不正确，D正确，C显然也不正确.
故选：D
27．B
【解析】
【分析】
将 SKIPIF 1 < 0 变为 SKIPIF 1 < 0 ，将该式两边平方，利用向量的乘法运算求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据向量的夹角公式计算可得答案.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,
故选：B.
28．C
【解析】
利用向量公式求出向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角及模长，利用三角形面积公式求得面积，运用三角函数性质求得最值.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
29．BCD
【解析】
【分析】
利用向量的模长公式及二次函数的性质可判断A的正误；利用向量的夹角公式可判断B的正误；利用向量共线的坐标表示可判断C的正误；利用模长公式可求出 SKIPIF 1 < 0 的值，进而判断D的正误.
【详解】
A： SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值为2，故A正确；
B：若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角，则有 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线，
即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
C：与 SKIPIF 1 < 0 共线的单位向量有 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两个，故C错误；
D：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；
故选：BCD.
30．CD
【解析】
【分析】
对于A选项，得k<2且k≠－2，所以A选项正确；
对于B选项，| SKIPIF 1 < 0 |≥2，所以B选项正确；
对于C选项，与 SKIPIF 1 < 0 共线的单位向量为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以C选项错误；
对于D选项，得k＝±2，所以D选项错误．
【详解】
对于A选项，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线，则k－2<0且k≠－2，解得k<2且k≠－2，所以A选项正确；
对于B选项，| SKIPIF 1 < 0 |＝ SKIPIF 1 < 0 ≥ SKIPIF 1 < 0 ＝2，当且仅当k＝0时等号成立，所以B选项正确；
对于C选项，| SKIPIF 1 < 0 |＝ SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 共线的单位向量为 SKIPIF 1 < 0 ，即与 SKIPIF 1 < 0 共线的单位向量为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以C选项错误；
对于D选项，∵| SKIPIF 1 < 0 |＝2| SKIPIF 1 < 0 |＝2 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ＝2 SKIPIF 1 < 0 ，解得k＝±2，所以D选项错误．
故选：CD
31．AC
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A；由向量垂直时乘积为0，可判断B；利用向量数量积的运算律，化简可判断C；根据向量数量积的坐标关系，可判断D.
【详解】
对于A，由平面向量数量积定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以A正确，
对于B，当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 都和 SKIPIF 1 < 0 垂直时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B错误，
对于C，两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则两个向量的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线且反向，故C正确；
对于D，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，
可得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为0时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角时 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；
故选:AC.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.
32．ABD
【解析】
【分析】
根据向量的模的公式，数量积的运算，向量的夹角公式，判断向量共线的条件逐项验证即可
【详解】
据题意 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 对
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 对.
因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 错
因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线,所以可以作为平面内的一组基底,所以 SKIPIF 1 < 0 正确
故选：ABD
33．AC
【解析】
【分析】
对于A选项， SKIPIF 1 < 0 即可求解；
对于B选项，利用向量夹角公式 SKIPIF 1 < 0 计算；
对于C、D选项，由投影向量的定义得， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；对于B选项，设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角，则 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；对于C选项， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；对于D选项， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：AC.
34． SKIPIF 1 < 0
【解析】
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
根据向量的数量积运算，则 SKIPIF 1 < 0
代入化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
35． SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
根据向量的夹角公式计算即可．
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
36． SKIPIF 1 < 0 ##0.5
【解析】
【分析】
根据向量的数量积公式 SKIPIF 1 < 0 即可求出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
37． SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
求出 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ，然后由数量积定义可得夹角．
【详解】
由已知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
38． SKIPIF 1 < 0 ##120°
【解析】
【分析】
利用夹角公式求出向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
39． SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
根据向量夹角坐标公式求解.
【详解】
SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】
本题考查向量夹角坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
40． SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
根据向量夹角的坐标公式运算即可.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
41．(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）由平面向量的线性运算法则求解；
（2）以 SKIPIF 1 < 0 所在的方向分别为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴的正方向，建立平面直角坐标系，用数量积的坐标表示计算．
(1)
∵D为斜边BC的靠近点B的三等分点，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵E为AD的中点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
(2)
SKIPIF 1 < 0 ， 如图，以 SKIPIF 1 < 0 所在的方向分别为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴的正方向，建立平面直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
42．（1） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，根据向量模的坐标表示以及向量数量积的坐标表示列方程组，解方程组即可求解.
（2）设向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，利用向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
解：（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，①
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，②
由①②解得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题考查了向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示，利用向量的数量积求向量的夹角，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
43．(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）利用向量共线坐标表示即求；
（2）利用数量积的坐标表示可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用夹角公式即求.
(1)
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线时，有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
44．（1）2；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
（1）根据条件可求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据 SKIPIF 1 < 0 进行数量积的运算即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）可求出 SKIPIF 1 < 0 的值，进而可求出 SKIPIF 1 < 0 的值，从而可求出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角．
【详解】
解：（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
对向量数量积定义进行变行是求解向量长度，向量夹角的常用方法，同时要注意夹角的范围．
45．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
（1）利用平面向量垂直表示可得出关于 SKIPIF 1 < 0 的等式，进而可求得实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）利用平面向量数量积的运算法则以及二次函数的基本性质可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，可求出 SKIPIF 1 < 0 的值，进一步可求出 SKIPIF 1 < 0 的值，利用平面向量数量积可求得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值．
【详解】
（1）由已知条件可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
方法点睛：求平面向量夹角的方法：
（1）定义法：利用向量数量积的定义得 SKIPIF 1 < 0 ，其中两向量 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）坐标法：若非零向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
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