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新高考数学一轮复习考点过关练习 数列求和—裂项相消法求和（含解析）
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这是一份新高考数学一轮复习考点过关练习 数列求和—裂项相消法求和（含解析），共26页。
【考点梳理】
1、常见的裂项公式
(1)eq \f(1,n（n＋1）)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).
(2)eq \f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
(3)eq \f(1,n（n＋1）（n＋2）)＝eq \f(1,2)[eq \f(1,n（n＋1）)－eq \f(1,（n＋1）（n＋2）)].
(4)eq \f(1,\r(a)＋\r(b))＝eq \f(1,a－b)(eq \r(a)－eq \r(b)).
(5)eq \f(n,（n＋1）！)＝eq \f(1,n！)－eq \f(1,（n＋1）！).
(6)Ceq \\al(m－1,n)＝Ceq \\al(m,n＋1)－Ceq \\al(m,n).
(7)n·n！＝(n＋1)！－n！.
(8)an＝Sn－Sn－1(n≥2).
2、裂项相消求和问题是常考题型. 裂项是通分的逆变形，裂项时需要注意的两点：一是要注意裂项时对系数的调整；二是裂项后，从哪里开始相互抵消，前面留下哪些项，后面对应留下哪些项，应做好处理. 其中等差数列相邻项乘积的倒数裂项是最常见的，即eq \f(1,anan＋1)＝eq \f(1,d)(eq \f(1,an)－eq \f(1,an＋1))，其中an≠0，d≠0. 除此之外，下面三种也比较常见.
指数型：eq \f(（a－1）an,（an＋b）（an＋1＋b）)＝eq \f(1,an＋b)－eq \f(1,an＋1＋b).
对数型：lgneq \f(an＋1,an)＝lgnan＋1－lgnan(an>0).
无理型：eq \f(1,\r(a)＋\r(b))＝eq \f(1,a－b)(eq \r(a)－eq \r(b))(a>0，b>0).
【典例剖析】
典例1．在① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 .这三个条件中任选一个补充在下面的问题中.已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且公差 SKIPIF 1 < 0 ，若___________.
（Ⅰ）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（Ⅱ）记 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
典例2．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，并求出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
典例3．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
典例4．已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【双基达标】
5．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
6．已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
7．已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ).
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
8．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 为等差数列；
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 ．
9．设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
10．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，求证：数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
11．已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
12．已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 的表达式.
13．设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列.
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
14．设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（Ⅰ）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（Ⅱ）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
15．已知数列 SKIPIF 1 < 0 是公差不为零的等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【高分突破】
16．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，是否存在正整数m， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．
17．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
18．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
19．在①数列 SKIPIF 1 < 0 为递增的等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，② SKIPIF 1 < 0 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求出k的最小值；若不存在，说明理由．
已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，____， SKIPIF 1 < 0 ，设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在实数k，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立？
20．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
21．已知数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列.
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
22．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）已知__________，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对第（2）问进行解答.
条件：① SKIPIF 1 < 0
② SKIPIF 1 < 0
③ SKIPIF 1 < 0
注：如果选择多个条件分别解答，以第一个解答计分.
23．已知公差 SKIPIF 1 < 0 的等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等比中项.
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证 SKIPIF 1 < 0 .
24．在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
25．已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是16与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前10项和 SKIPIF 1 < 0 ．
26．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上有一点列 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上的射影是 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（Ⅱ）对任意的正整数 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（Ⅲ）设四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
27．数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，求不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大的整数．
28．记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，已知 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 ．
参考答案：
1．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
（Ⅰ）若选条件①，根据条件建立关于公差 SKIPIF 1 < 0 的方程，求通项公式，若选条件②，利用等差数列前 SKIPIF 1 < 0 项和公式，求公差和首项，表示通项公式，若选条件③，利用 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系，求通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）可得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，再利用裂项相消法求和.
【详解】
（Ⅰ）若选①：由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
若选②：设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
得： SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
若选③：当时 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
显然 SKIPIF 1 < 0 时也满足 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）由（I）知 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
2．（1）证明见解析； SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，从而可求出通项公式；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用裂项相消求和法可求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用放缩法可证得结论
【详解】
证明：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
数列 SKIPIF 1 < 0 为首项为2，公比为2的等比数列．即 SKIPIF 1 < 0 是等比数列．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得证．
3．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）得到当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，然后与原式联立，可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后验证 SKIPIF 1 < 0 是否满足即可.
（2）根据（1）中条件可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后使用裂项相消求和并简单判断即可.
【详解】
（1）由题意： SKIPIF 1 < 0 ①
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ②
①－②得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 满足上式，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
4．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明过程见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据前n项和与第n项的关系，结合等差数列的定义进行求解即可；
（2）根据等差数列的性质，结合裂项相消法进行证明即可.
【详解】
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，化简得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
因此有：
SKIPIF 1 < 0
5．(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意可得出关于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方程组，解出这两个量的值，可得出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用裂项法可求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可证得原不等式成立.
(1)
解：设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
(2)
证明： SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故原不等式得证.
6．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求出 SKIPIF 1 < 0 的值，利用等差数列的通项公式可求得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用裂项求和法可求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
（1）等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
7．(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）由 SKIPIF 1 < 0 及题意可得数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，从而求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求出答案；
（2）利用裂项相消法即可求出答案．
(1)
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，1为公差的等差数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，满足上式，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
8．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，作差即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，再作差可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得证；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，再利用裂项相消法求和即可得证；
【详解】
证明：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
两式做差得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
两式做差得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 为等差数列．
（2） SKIPIF 1 < 0 为等差数列． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
9．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
（1）首先由条件判断数列是等差数列，再求公差和首项，求通项公式；（2）由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，利用裂项相消法求和.
【详解】
（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 是等差数列，设 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
10．(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用递推式，等比数列的定义及其通项公式即可得出答案.
(2) SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用“裂项求和”即可得出.
（1）解：由已知 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0
（2）证明 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
11．(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）先利用题设条件求得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，进而求得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用裂项相消法可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后结合条件及不等式的性质即得.
(1)
数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ，
则数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1公差为2的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，
则数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
12．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）利用 SKIPIF 1 < 0 可将题设中的递推关系转化为 SKIPIF 1 < 0 ，利用等差数列的通项公式可求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，从而可求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
（2）利用裂项相消法可求 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
（1）正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
由于数列为正项数列，所以 SKIPIF 1 < 0 （常数），
所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，1为公差的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，易见 SKIPIF 1 < 0 也适合该式.
故 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法或把通项拆成一个数列连续两项的和（除了符号外）.
13．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）利用基本量代换求出首项和公比，写出通项公式；
（2）利用 SKIPIF 1 < 0 把 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，利用裂项相消法求和.
【详解】
解析（1）设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比是 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）∵数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，以3为公比的等比数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
(1) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质；
(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．
14．（1） SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）利用 SKIPIF 1 < 0 ，得到数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且公比等于3，利用求和公式求得数列的首项 SKIPIF 1 < 0 ，再利用等比数列的通项公式求得结果；
（2）根据题意，可得 SKIPIF 1 < 0 ，之后应用裂项相消法对数列 SKIPIF 1 < 0 求和.
【详解】
（Ⅰ）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
（Ⅱ）∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的定义，等比数列的求和公式，等比数列通项公式，裂项相消法求和，属于中档题目.
15．(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）根据给定条件，利用等差数列性质、等比中项的意义列式求解作答.
（2）利用（1）的结论，结合裂项相消法计算作答.
（1）等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，即 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，于是得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
16．（1） SKIPIF 1 < 0 （2）存在， SKIPIF 1 < 0
【解析】
（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，由等差数列的通项公式与前 SKIPIF 1 < 0 项和公式得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，从而求出 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，利用裂项相消法得 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求出答案．
【详解】
解：（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴存在 SKIPIF 1 < 0 满足题意．
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质与求和，考查裂项相消法求和，属于中档题．
17．（1） SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，可求出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用等差数列的性质可求出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ；（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用裂项相消的求和方法，可求出 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
解：（1）设等差数列公差为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
易得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式及前 SKIPIF 1 < 0 项和公式，考查了裂项相消的求和方法，考查了学生的计算能力，属于基础题．
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）分 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 两种情况分析，当 SKIPIF 1 < 0 是，构造 SKIPIF 1 < 0 证明即可；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用裂项求和求解 SKIPIF 1 < 0 ，进而证明即可
（1）证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以2为公比，首项 SKIPIF 1 < 0 的等比数列
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 综上所述 SKIPIF 1 < 0
19．答案见解析.
【解析】
【分析】
选①时，设数列 SKIPIF 1 < 0 为公比为q，由 SKIPIF 1 < 0 和等差数列的性质求得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，得通项公式，然后求得 SKIPIF 1 < 0 ，用裂项相消法求得和 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 的值．选①时，利用 SKIPIF 1 < 0 求得通项公式，然后同选①求解．
【详解】
解：若选①时，数列 SKIPIF 1 < 0 为公比为q的递增的等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
故k的最小值为1．
若选②时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，（首项符合通项），
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
故k的最小值为1．
20．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，依题意得到方程组，解得即可；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用裂项相消法求和即可；
【详解】
解：（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题考查等差数列通项公式的计算以及裂项相消法求和，属于中档题.
21．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）设数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，求出等比数列的 SKIPIF 1 < 0 即得解；
（2）求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再利用裂项相消法求解.
【详解】
（1）设数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 化简得 SKIPIF 1 < 0 ，因为公比 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）分组求和法；（3）错位相减法；（4）裂项相消法；（5）倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
22．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据 SKIPIF 1 < 0 求解即可；
(2)选①利用错位相减法求和即可；选②利用裂项相消法求和即可；选③对 SKIPIF 1 < 0 分奇偶讨论，然后利用并项求和法求和即可.
【详解】
（1）∵在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 也满足 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
（2）选择条件① SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ①
SKIPIF 1 < 0 ②
①-②得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 .
选择条件②由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
选择条件③
SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
综上所述： SKIPIF 1 < 0 .
23．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意列出关于 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的方程组，解出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 即可求得通项公式；
（2）化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，由裂项相消法可求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而求证.
【详解】
（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则可解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于 SKIPIF 1 < 0 结构，其中 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于 SKIPIF 1 < 0 结构，利用分组求和法；
（4）对于 SKIPIF 1 < 0 结构，其中 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，利用裂项相消法求和.
24．(1)证明见解析， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据等比数列的定义和累加法求解即可.
（2）利用分组求和和裂项相消求 SKIPIF 1 < 0 .
（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列.所以 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 满足上式，所以 SKIPIF 1 < 0
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
25．(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）设数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，由题知 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）由（1），得 SKIPIF 1 < 0 ，由裂项相消法即可求出答案.
（1）设数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，由题知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1），得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
26．（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 ；（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（Ⅲ）详见解析．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）变换得到 SKIPIF 1 < 0 ，确定 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，得到通项公式.
（Ⅱ）计算 SKIPIF 1 < 0 ，根据数列单调性得到 SKIPIF 1 < 0 ，代入不等式解得答案.
（Ⅲ）计算 SKIPIF 1 < 0 ，放缩得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据裂项相消法求和得到答案.
【详解】
（Ⅰ）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0 ，∵不等式 SKIPIF 1 < 0 对正整数 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是一个减数列， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
（Ⅲ） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
本题考查了构造法求通项公式，裂项相消法求和，判断数列的单调性，数列放缩思想，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
27．（1）证明见解析 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） 2021．
【解析】
【分析】
(1)将 SKIPIF 1 < 0 两边都加 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 是常数即可；
(2)求出 SKIPIF 1 < 0 的通项，利用错位相减法求解即可；
(3)先求出 SKIPIF 1 < 0 ，再求出 SKIPIF 1 < 0 的表达式，利用裂项相消法即可得解.
【详解】
（1）将 SKIPIF 1 < 0 两边都加 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列；
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）由（2）知 SKIPIF 1 < 0 ，于是得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大的整数是2021．
28．(1) SKIPIF 1 < 0
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式求得 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，利用和与项的关系得到当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,进而得： SKIPIF 1 < 0 ，利用累乘法求得 SKIPIF 1 < 0 ，检验对于 SKIPIF 1 < 0 也成立，得到 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而证得.
（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,又∵ SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ,整理得： SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，显然对于 SKIPIF 1 < 0 也成立，∴ SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【考点梳理】
1、常见的裂项公式
(1)eq \f(1,n（n＋1）)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).
(2)eq \f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
(3)eq \f(1,n（n＋1）（n＋2）)＝eq \f(1,2)[eq \f(1,n（n＋1）)－eq \f(1,（n＋1）（n＋2）)].
(4)eq \f(1,\r(a)＋\r(b))＝eq \f(1,a－b)(eq \r(a)－eq \r(b)).
(5)eq \f(n,（n＋1）！)＝eq \f(1,n！)－eq \f(1,（n＋1）！).
(6)Ceq \\al(m－1,n)＝Ceq \\al(m,n＋1)－Ceq \\al(m,n).
(7)n·n！＝(n＋1)！－n！.
(8)an＝Sn－Sn－1(n≥2).
2、裂项相消求和问题是常考题型. 裂项是通分的逆变形，裂项时需要注意的两点：一是要注意裂项时对系数的调整；二是裂项后，从哪里开始相互抵消，前面留下哪些项，后面对应留下哪些项，应做好处理. 其中等差数列相邻项乘积的倒数裂项是最常见的，即eq \f(1,anan＋1)＝eq \f(1,d)(eq \f(1,an)－eq \f(1,an＋1))，其中an≠0，d≠0. 除此之外，下面三种也比较常见.
指数型：eq \f(（a－1）an,（an＋b）（an＋1＋b）)＝eq \f(1,an＋b)－eq \f(1,an＋1＋b).
对数型：lgneq \f(an＋1,an)＝lgnan＋1－lgnan(an>0).
无理型：eq \f(1,\r(a)＋\r(b))＝eq \f(1,a－b)(eq \r(a)－eq \r(b))(a>0，b>0).
【典例剖析】
典例1．在① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 .这三个条件中任选一个补充在下面的问题中.已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且公差 SKIPIF 1 < 0 ，若___________.
（Ⅰ）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（Ⅱ）记 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
典例2．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，并求出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
典例3．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
典例4．已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【双基达标】
5．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
6．已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
7．已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ).
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
8．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 为等差数列；
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 ．
9．设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
10．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，求证：数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
11．已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
12．已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 的表达式.
13．设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列.
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
14．设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（Ⅰ）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（Ⅱ）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
15．已知数列 SKIPIF 1 < 0 是公差不为零的等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【高分突破】
16．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，是否存在正整数m， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．
17．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
18．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
19．在①数列 SKIPIF 1 < 0 为递增的等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，② SKIPIF 1 < 0 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求出k的最小值；若不存在，说明理由．
已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，____， SKIPIF 1 < 0 ，设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在实数k，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立？
20．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
21．已知数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列.
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
22．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）已知__________，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对第（2）问进行解答.
条件：① SKIPIF 1 < 0
② SKIPIF 1 < 0
③ SKIPIF 1 < 0
注：如果选择多个条件分别解答，以第一个解答计分.
23．已知公差 SKIPIF 1 < 0 的等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等比中项.
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证 SKIPIF 1 < 0 .
24．在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
25．已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是16与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前10项和 SKIPIF 1 < 0 ．
26．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上有一点列 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上的射影是 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（Ⅱ）对任意的正整数 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（Ⅲ）设四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
27．数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，求不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大的整数．
28．记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，已知 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 ．
参考答案：
1．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
（Ⅰ）若选条件①，根据条件建立关于公差 SKIPIF 1 < 0 的方程，求通项公式，若选条件②，利用等差数列前 SKIPIF 1 < 0 项和公式，求公差和首项，表示通项公式，若选条件③，利用 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系，求通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）可得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，再利用裂项相消法求和.
【详解】
（Ⅰ）若选①：由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
若选②：设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
得： SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
若选③：当时 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
显然 SKIPIF 1 < 0 时也满足 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）由（I）知 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
2．（1）证明见解析； SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，从而可求出通项公式；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用裂项相消求和法可求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用放缩法可证得结论
【详解】
证明：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
数列 SKIPIF 1 < 0 为首项为2，公比为2的等比数列．即 SKIPIF 1 < 0 是等比数列．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得证．
3．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）得到当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，然后与原式联立，可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后验证 SKIPIF 1 < 0 是否满足即可.
（2）根据（1）中条件可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后使用裂项相消求和并简单判断即可.
【详解】
（1）由题意： SKIPIF 1 < 0 ①
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ②
①－②得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 满足上式，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
4．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明过程见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据前n项和与第n项的关系，结合等差数列的定义进行求解即可；
（2）根据等差数列的性质，结合裂项相消法进行证明即可.
【详解】
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，化简得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
因此有：
SKIPIF 1 < 0
5．(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意可得出关于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方程组，解出这两个量的值，可得出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用裂项法可求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可证得原不等式成立.
(1)
解：设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
(2)
证明： SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故原不等式得证.
6．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求出 SKIPIF 1 < 0 的值，利用等差数列的通项公式可求得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用裂项求和法可求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
（1）等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
7．(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）由 SKIPIF 1 < 0 及题意可得数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，从而求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求出答案；
（2）利用裂项相消法即可求出答案．
(1)
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，1为公差的等差数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，满足上式，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
8．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，作差即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，再作差可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得证；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，再利用裂项相消法求和即可得证；
【详解】
证明：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
两式做差得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
两式做差得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 为等差数列．
（2） SKIPIF 1 < 0 为等差数列． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
9．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
（1）首先由条件判断数列是等差数列，再求公差和首项，求通项公式；（2）由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，利用裂项相消法求和.
【详解】
（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 是等差数列，设 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
10．(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用递推式，等比数列的定义及其通项公式即可得出答案.
(2) SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用“裂项求和”即可得出.
（1）解：由已知 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0
（2）证明 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
11．(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）先利用题设条件求得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，进而求得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用裂项相消法可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后结合条件及不等式的性质即得.
(1)
数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ，
则数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1公差为2的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，
则数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
12．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）利用 SKIPIF 1 < 0 可将题设中的递推关系转化为 SKIPIF 1 < 0 ，利用等差数列的通项公式可求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，从而可求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
（2）利用裂项相消法可求 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
（1）正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
由于数列为正项数列，所以 SKIPIF 1 < 0 （常数），
所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，1为公差的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，易见 SKIPIF 1 < 0 也适合该式.
故 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法或把通项拆成一个数列连续两项的和（除了符号外）.
13．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）利用基本量代换求出首项和公比，写出通项公式；
（2）利用 SKIPIF 1 < 0 把 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，利用裂项相消法求和.
【详解】
解析（1）设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比是 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）∵数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，以3为公比的等比数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
(1) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质；
(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．
14．（1） SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）利用 SKIPIF 1 < 0 ，得到数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且公比等于3，利用求和公式求得数列的首项 SKIPIF 1 < 0 ，再利用等比数列的通项公式求得结果；
（2）根据题意，可得 SKIPIF 1 < 0 ，之后应用裂项相消法对数列 SKIPIF 1 < 0 求和.
【详解】
（Ⅰ）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
（Ⅱ）∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的定义，等比数列的求和公式，等比数列通项公式，裂项相消法求和，属于中档题目.
15．(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）根据给定条件，利用等差数列性质、等比中项的意义列式求解作答.
（2）利用（1）的结论，结合裂项相消法计算作答.
（1）等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，即 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，于是得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
16．（1） SKIPIF 1 < 0 （2）存在， SKIPIF 1 < 0
【解析】
（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，由等差数列的通项公式与前 SKIPIF 1 < 0 项和公式得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，从而求出 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，利用裂项相消法得 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求出答案．
【详解】
解：（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴存在 SKIPIF 1 < 0 满足题意．
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质与求和，考查裂项相消法求和，属于中档题．
17．（1） SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，可求出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用等差数列的性质可求出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ；（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用裂项相消的求和方法，可求出 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
解：（1）设等差数列公差为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
易得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式及前 SKIPIF 1 < 0 项和公式，考查了裂项相消的求和方法，考查了学生的计算能力，属于基础题．
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）分 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 两种情况分析，当 SKIPIF 1 < 0 是，构造 SKIPIF 1 < 0 证明即可；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用裂项求和求解 SKIPIF 1 < 0 ，进而证明即可
（1）证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以2为公比，首项 SKIPIF 1 < 0 的等比数列
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 综上所述 SKIPIF 1 < 0
19．答案见解析.
【解析】
【分析】
选①时，设数列 SKIPIF 1 < 0 为公比为q，由 SKIPIF 1 < 0 和等差数列的性质求得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，得通项公式，然后求得 SKIPIF 1 < 0 ，用裂项相消法求得和 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 的值．选①时，利用 SKIPIF 1 < 0 求得通项公式，然后同选①求解．
【详解】
解：若选①时，数列 SKIPIF 1 < 0 为公比为q的递增的等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
故k的最小值为1．
若选②时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，（首项符合通项），
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
故k的最小值为1．
20．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，依题意得到方程组，解得即可；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用裂项相消法求和即可；
【详解】
解：（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题考查等差数列通项公式的计算以及裂项相消法求和，属于中档题.
21．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）设数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，求出等比数列的 SKIPIF 1 < 0 即得解；
（2）求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再利用裂项相消法求解.
【详解】
（1）设数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 化简得 SKIPIF 1 < 0 ，因为公比 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）分组求和法；（3）错位相减法；（4）裂项相消法；（5）倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
22．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据 SKIPIF 1 < 0 求解即可；
(2)选①利用错位相减法求和即可；选②利用裂项相消法求和即可；选③对 SKIPIF 1 < 0 分奇偶讨论，然后利用并项求和法求和即可.
【详解】
（1）∵在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 也满足 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
（2）选择条件① SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ①
SKIPIF 1 < 0 ②
①-②得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 .
选择条件②由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
选择条件③
SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
综上所述： SKIPIF 1 < 0 .
23．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意列出关于 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的方程组，解出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 即可求得通项公式；
（2）化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，由裂项相消法可求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而求证.
【详解】
（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则可解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于 SKIPIF 1 < 0 结构，其中 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于 SKIPIF 1 < 0 结构，利用分组求和法；
（4）对于 SKIPIF 1 < 0 结构，其中 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，利用裂项相消法求和.
24．(1)证明见解析， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据等比数列的定义和累加法求解即可.
（2）利用分组求和和裂项相消求 SKIPIF 1 < 0 .
（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列.所以 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 满足上式，所以 SKIPIF 1 < 0
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
25．(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）设数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，由题知 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）由（1），得 SKIPIF 1 < 0 ，由裂项相消法即可求出答案.
（1）设数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，由题知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1），得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
26．（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 ；（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（Ⅲ）详见解析．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）变换得到 SKIPIF 1 < 0 ，确定 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，得到通项公式.
（Ⅱ）计算 SKIPIF 1 < 0 ，根据数列单调性得到 SKIPIF 1 < 0 ，代入不等式解得答案.
（Ⅲ）计算 SKIPIF 1 < 0 ，放缩得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据裂项相消法求和得到答案.
【详解】
（Ⅰ）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0 ，∵不等式 SKIPIF 1 < 0 对正整数 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是一个减数列， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
（Ⅲ） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
本题考查了构造法求通项公式，裂项相消法求和，判断数列的单调性，数列放缩思想，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
27．（1）证明见解析 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） 2021．
【解析】
【分析】
(1)将 SKIPIF 1 < 0 两边都加 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 是常数即可；
(2)求出 SKIPIF 1 < 0 的通项，利用错位相减法求解即可；
(3)先求出 SKIPIF 1 < 0 ，再求出 SKIPIF 1 < 0 的表达式，利用裂项相消法即可得解.
【详解】
（1）将 SKIPIF 1 < 0 两边都加 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列；
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）由（2）知 SKIPIF 1 < 0 ，于是得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大的整数是2021．
28．(1) SKIPIF 1 < 0
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式求得 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，利用和与项的关系得到当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,进而得： SKIPIF 1 < 0 ，利用累乘法求得 SKIPIF 1 < 0 ，检验对于 SKIPIF 1 < 0 也成立，得到 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而证得.
（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,又∵ SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ,整理得： SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，显然对于 SKIPIF 1 < 0 也成立，∴ SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
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