新高考数学二轮复习 专题突破 专题2 培优点6　向量极化恒等式（含解析）

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考点一 向量极化恒等式
极化恒等式：a·b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－b,2)))2.
变式：(1)a·b＝eq \f(a＋b2,4)－eq \f(a－b2,4)，a·b＝eq \f(|a＋b|2,4)－eq \f(|a－b|2,4).
(2)如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)eq \(CB,\s\up6(→))2＝eq \(AM,\s\up6(→))2－eq \(MB,\s\up6(→))2.
考向1 利用向量极化恒等式求值
例1 (1)如图所示，在长方形ABCD中，AB＝4eq \r(5)，AD＝8，E，O，F为线段BD的四等分点，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝________.
答案 27
解析 BD＝eq \r(AB2＋AD2)＝12，
∴AO＝6，OE＝3，
∴由极化恒等式知eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))2－eq \(OE,\s\up6(→))2＝36－9＝27.
(2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点． eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝4，eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝－1，则eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))的值为________．
答案 eq \f(7,8)
解析 设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.
根据向量的极化恒等式，
得eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2＝9n2－m2＝4，①
eq \(FB,\s\up6(→))·eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \(FD,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2＝n2－m2＝－1.②
联立①②，解得n2＝eq \f(5,8)，m2＝eq \f(13,8).
因此eq \(EB,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2＝4n2－m2＝eq \f(7,8).
即eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(7,8).
考向2 利用向量极化恒等式求最值、范围
例2 (1)已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))·eq \(PC,\s\up6(→))的最小值是________．
答案 －eq \f(1,2)
解析 如图所示，取OC的中点D，连接PD，因为O为AB中点，
所以(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))·eq \(PC,\s\up6(→))
＝2eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))，
由极化恒等式得
eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PD,\s\up6(→))2－eq \(DO,\s\up6(→))2＝eq \(PD,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)，
因此当P为OC的中点，即|eq \(PD,\s\up6(→))|＝0时，
(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))·eq \(PC,\s\up6(→))取得最小值－eq \f(1,2).
(2)平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值为________．
答案 －eq \f(9,8)
解析 由向量极化恒等式知
a·b＝eq \f(2a＋b2－2a－b2,8)
＝eq \f(|2a＋b|2－|2a－b|2,8)
≥eq \f(02－32,8)＝－eq \f(9,8)，
当且仅当|2a＋b|＝0，|2a－b|＝3，
即|a|＝eq \f(3,4)，|b|＝eq \f(3,2)，〈a，b〉＝π时，a·b取最小值．
规律方法 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．
跟踪演练1 (1)如图，在四边形ABCD中，B＝60°，AB＝3，BC＝6，且eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(3,2)，则实数λ的值为________；若M，N是线段BC上的动点，且|eq \(MN,\s\up6(→))|＝1，则eq \(DM,\s\up6(→))·eq \(DN,\s\up6(→))的最小值为________．
答案 eq \f(1,6) eq \f(13,2)
解析 依题意得AD∥BC，∠BAD＝120°，
由eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝|eq \(AD,\s\up6(→))|·|eq \(AB,\s\up6(→))|·cs∠BAD
＝－eq \f(3,2)|eq \(AD,\s\up6(→))|＝－eq \f(3,2)，得|eq \(AD,\s\up6(→))|＝1，
因此λ＝eq \f(\(AD,\s\up6(→)),\(BC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,6).
取MN的中点E，连接DE(图略)，
则eq \(DM,\s\up6(→))＋eq \(DN,\s\up6(→))＝2eq \(DE,\s\up6(→))，
eq \(DM,\s\up6(→))·eq \(DN,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)[(eq \(DM,\s\up6(→))＋eq \(DN,\s\up6(→)))2－(eq \(DM,\s\up6(→))－eq \(DN,\s\up6(→)))2]
＝eq \(DE,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)eq \(NM,\s\up6(→))2＝eq \(DE,\s\up6(→))2－eq \f(1,4).
当点M，N在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，
即AB·sin B＝eq \f(3\r(3),2)，
因此eq \(DE,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)的最小值为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),2)))2－eq \f(1,4)＝eq \f(13,2)，
即eq \(DM,\s\up6(→))·eq \(DN,\s\up6(→))的最小值为eq \f(13,2).
(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时， eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的取值范围是________．
答案 [0,2]
解析 由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2eq \r(3).当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径．设内切球的球心为O，
则eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \(PO,\s\up6(→))2－eq \(ON,\s\up6(→))2＝eq \(PO,\s\up6(→))2－1.
由于P为正方体表面上的动点，故OP∈[1，eq \r(3)]，
所以eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))∈[0,2]．
考点二 等和(高)线解基底系数和(差)问题
等和(高)线
平面内一组基底eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))及任一向量eq \(OP′,\s\up6(—→))，eq \(OP′,\s\up6(—→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线．
①当等和线恰为直线AB时，k＝1；
②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；
③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
④当等和线过O点时，k＝0；
⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；
⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．
例3 (1) 在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，eq \(AN,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D．1
答案 A
解析 方法一 设eq \(BM,\s\up6(→))＝teq \(BC,\s\up6(→))(0≤t≤1)，
则eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BM,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(t,2)eq \(BC,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(t,2)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(t,2)))eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(t,2)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以λ＝eq \f(1,2)－eq \f(t,2)，μ＝eq \f(t,2)，所以λ＋μ＝eq \f(1,2) .
方法二 如图，过N作BC的平行线，
设λ＋μ＝k，则k＝eq \f(|\(AN,\s\up6(→))|,|\(AM,\s\up6(→))|).
由图易知，eq \f(|\(AN,\s\up6(→))|,|\(AM,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2).
(2)如图，圆O是边长为2eq \r(3)的等边△ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，eq \(BM,\s\up6(→))＝xeq \(BA,\s\up6(→))＋yeq \(BD,\s\up6(→))(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3)
C．2 D．2eq \r(2)
答案 C
解析 如图，作出定值k为1的等和线DE，AC是过圆上的点最远的等和线，
则eq \(BM,\s\up6(→))＝xeq \(BA,\s\up6(→))＋yeq \(BD,\s\up6(→))
＝2x·eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))·＋yeq \(BD,\s\up6(→))＝2xeq \(BE,\s\up6(→))＋yeq \(BD,\s\up6(→))，
当M在N点所在的位置时，2x＋y最大，设2x＋y＝k，则k＝eq \f(|\(NB,\s\up6(→))|,|\(PB,\s\up6(→))|)＝2，
所以2x＋y取得最大值2.
易错提醒 要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，以此来求其他的等和(高)线．
跟踪演练2 给定两个长度为1的平面向量eq \(OA,\s\up6(→))和eq \(OB,\s\up6(→))，它们的夹角为eq \f(2π,3)，如图所示，点C在以O为圆心的上运动，若eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，则x＋y的最大值是________．
答案 2
解析 方法一 以O为坐标原点，eq \(OA,\s\up6(→))所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图(1)所示，
则A(1,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，
设∠AOC＝αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))))，
则C(cs α，sin α)．
由eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs α＝x－\f(1,2)y，,sin α＝\f(\r(3),2)y，))
所以x＝cs α＋eq \f(\r(3),3)sin α，y＝eq \f(2\r(3),3)sin α，
所以x＋y＝cs α＋eq \r(3)sin α＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))，
又α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，
所以当α＝eq \f(π,3)时，x＋y取得最大值2.
图(1) 图(2)
方法二 令x＋y＝k，在所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，如图(2)，即此时k取得最大值，结合角度，不难得到k＝eq \f(|\(OD,\s\up6(→))|,|\(OE,\s\up6(→))|)＝2.
专题强化练
1．已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则eq \(PD,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最大值是( )
A.eq \f(9,2) B．2 C.eq \f(3,2) D.eq \f(3,4)
答案 B
解析 如图所示，取CD的中点E，连接PE，由极化恒等式可得eq \(PD,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PE,\s\up6(→))2－eq \(EC,\s\up6(→))2＝eq \(PE,\s\up6(→))2－eq \f(1,2)，所以当P与A(B)重合时，
|PE|＝eq \f(\r(10),2)最大，从而(eq \(PD,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→)))max＝2.
2.如图，在四边形MNPQ中，若eq \(NO,\s\up6(→))＝eq \(OQ,\s\up6(→))，|eq \(OM,\s\up6(→))|＝6，|eq \(OP,\s\up6(→))|＝10，eq \(MN,\s\up6(→))·eq \(MQ,\s\up6(→))＝－28，则eq \(NP,\s\up6(→))·eq \(QP,\s\up6(→))等于( )
A．64 B．42 C．36 D．28
答案 C
解析 由eq \(MN,\s\up6(→))·eq \(MQ,\s\up6(→))＝eq \(MO,\s\up6(→))2－eq \(ON,\s\up6(→))2
＝36－eq \(ON,\s\up6(→))2＝－28，
解得eq \(ON,\s\up6(→))2＝64，
所以eq \(OQ,\s\up6(→))2＝64，
所以eq \(NP,\s\up6(→))·eq \(QP,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \(PO,\s\up6(→))2－eq \(OQ,\s\up6(→))2
＝100－64＝36.
3．若A，B为双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1上经过原点的一条动弦，M为圆C：x2＋(y－2)2＝1上的一个动点，则eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))的最大值为( )
A.eq \f(15,4) B．7
C．－7 D．－16
答案 C
解析 如图，O为AB的中点，
eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝eq \(MO,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)eq \(BA,\s\up6(→))2，
|MO|max＝|OC|＋1＝3，
|AB|min＝2a＝8，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(MA,\s\up6(→))·\(MB,\s\up6(→))))max＝9－eq \f(1,4)×64＝－7.
4.如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是区域ABDC内任意一点(含边界)，且eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ的取值范围为( )
A．[0,1] B．[0,2]
C．[0,3] D．[0,4]
答案 C
解析 如图，当P位于点A时，(λ＋μ)min＝0，
当P位于点D时，(λ＋μ)max＝3.
5．已知在△ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0B＝eq \f(1,4)AB，且对于边AB上任一点P，恒有eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))≥eq \(P0B,\s\up6(—→))·eq \(P0C,\s\up6(—→))，则( )
A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90°
C．AB＝AC D．AC＝BC
答案 D
解析 如图所示，取AB的中点E，因为P0B＝eq \f(1,4)AB，
所以P0为EB的中点，取BC的中点D，连接DP0，DP，
则DP0为△CEB的中位线，DP0∥CE.
根据向量的极化恒等式，
有eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PD,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2，
eq \(P0B,\s\up6(—→))·eq \(P0C,\s\up6(—→))＝eq \(P0D,\s\up6(—→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2.
又eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))≥eq \(P0B,\s\up6(—→))·eq \(P0C,\s\up6(—→))，
则|eq \(PD,\s\up6(→))|≥|eq \(P0D,\s\up6(—→))|恒成立，
必有DP0⊥AB.因此CE⊥AB，
又E为AB的中点，所以AC＝BC.
6．已知等边△ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的取值范围是______．
答案 [－2,6]
解析 如图所示，取AB的中点D，连接CD，因为△ABC为等边三角形，所以O为△ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝2eq \r(3).又由极化恒等式得eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝
eq \(PD,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)eq \(BA,\s\up6(→))2＝eq \(PD,\s\up6(→))2－3，
因为P在圆O上，所以当P在点C处时，|PD|max＝3，当P在CO的延长线与圆O的交点处时，
|PD|min＝1，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))∈[－2,6]．
7.如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动，则eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))的最大值是______．
答案 2
解析 如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，
则eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))2－eq \f(1,4).
因为OM≤ON＋NM＝eq \f(1,2)AD＋AB＝eq \f(3,2)，
当且仅当O，N，M三点共线时取等号．
所以eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))的最大值为2.
8.如图，已知点P为等边△ABC外接圆上一点，点Q是该三角形内切圆上的一点，若eq \(AP,\s\up6(→))＝x1eq \(AB,\s\up6(→))＋y1eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AQ,\s\up6(→))＝x2eq \(AB,\s\up6(→))＋y2eq \(AC,\s\up6(→))，则|(2x1－x2)＋(2y1－y2)|的最大值为________．
答案 eq \f(7,3)
解析 由等和线定理知当点P，Q分别在如图所示的位置时，x1＋y1取最大值，x2＋y2取最小值，且x1＋y1的最大值为eq \f(AP,AM)＝eq \f(4,3)，x2＋y2的最小值为eq \f(AQ,AM)＝eq \f(1,3).
故|(2x1－x2)＋(2y1－y2)|＝|2(x1＋y1)－(x2＋y2)|≤eq \f(8,3)－eq \f(1,3)＝eq \f(7,3).