新高考数学二轮复习 专题突破 专题5 第2讲　随机变量及其分布（含解析）

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考点一 分布列的性质及应用
核心提炼
离散型随机变量X的分布列为
则(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn.
(4)D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn.
(5)若Y＝aX＋b，
则E(Y)＝aE(X)＋b，
D(Y)＝a2D(X)．
例1 (1)(2022·保定模拟)若离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝alg2eq \f(k＋1,k)(1≤k≤7，k∈Z)，则P(2D(Y)，则投资股票乙的期望收益较小，投资股票甲比投资股票乙的风险高．
(2)(2022·河南三市联考)甲、乙、丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记X为三人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则( )
A．E(X)＝E(Y)，D(X)＝D(Y)
B．E(X)＝E(Y)，D(X)≠D(Y)
C．E(X)≠E(Y)，D(X)≠D(Y)
D．E(X)≠E(Y)，D(X)＝D(Y)
答案 D
解析 由题意得X的可能取值为1,2,3，
则P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,3),33)＝eq \f(1,9)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,3)A\\al(2,3),33)＝eq \f(2,3)，
P(X＝3)＝eq \f(A\\al(3,3),33)＝eq \f(2,9)，
∴E(X)＝1×eq \f(1,9)＋2×eq \f(2,3)＋3×eq \f(2,9)＝eq \f(19,9)，
D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(19,9)))2×eq \f(1,9)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(19,9)))2×eq \f(2,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(19,9)))2×eq \f(2,9)＝eq \f(26,81)，
又X＋Y＝3，∴Y＝3－X，
∴E(Y)＝3－E(X)＝3－eq \f(19,9)＝eq \f(8,9)，
D(Y)＝(－1)2D(X)＝D(X)，故选D.
考点二 随机变量的分布列
核心提炼
1．二项分布
一般地，在n次独立重复试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0