2024年秋季新八年级开学摸底考试数学试卷（苏科版）（含答案解析）

这是一份2024年秋季新八年级开学摸底考试数学试卷（苏科版）（含答案解析），共19页。试卷主要包含了考试范围，若k为自然数，则的值总能等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：100分钟试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：苏科版七年级下册全部。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，把一个含角的直角三角尺的一个顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚．问笼中各有多少只鸡和兔？设兔有x只，鸡有y只，列方程组得（ ）
A．B．C．D．
6．若k为自然数，则的值总能（ ）
A．被3整除B．被4整除C．被5整除D．被7整除
7．如图所示是地球截面图，其中，分别表示南回归线和北回归线，表示赤道，点表示某市的位置．现已知地球南回归线的纬度是南纬（），某个城市的纬度是北纬（），而冬至正午时，太阳光（太阳光线都是互相平行的）直射南回归线（光线的延长线经过地心），则这个城市冬至正午时，太阳光线与地面水平线的夹角的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．不等式组的整数解共有个，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．如图，是校园内限速标志，若用V表示速度，请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义．
10．石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.0000000034米，将0.0000000034用科学记数法表示的结果是．
11．命题“如果两个角是等角，那么它们的余角相等”的逆命题是；
12．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是边形．
13．已知，是关于、的二元一次方程的一组解，则．
14．若是一个完全平方式，则常数的值为．
15．一副直角三角尺叠放如图①所示，现将含的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺有一组边互相平行，例：如图②，当时，．则其他所有可能符合条件的度数．
16．对于任何有理数a，我们用表示不大于a的最大整数，则，如：，，，请根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：；
（2）若，则x的值为．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）；（2）．
18．（6分）分解因式．
（1）（2）
19．（6分）计算：
（1）解方程组：；（2）解不等式：．
20．（6分）图①是一个长为，宽为的长方形，沿图①的虚线剪开分，四个小长方形，然后按图②形状拼成一个正方形．
（1）图②中的阴影部分的面积是多少？
（2）试用一个等式表示图①、图②这两个图形之间的面积关系；
（3）若，，试求的值．
21．（6分）画图并填空：如图，三角形的顶点都在方格纸的格点上，每个格子的边长为1个单位长度，将三角形向上平移3个单位长度，向左平移2个单位长度得到三角形．
（1）画出表示点C到的距离的线段；
（2）在图中画出平移后的三角形；
（3）在图中能使三角形的面积等于三角形面积的格点P的个数有 个（点P异于C）．
22．（6分）如图，于点，点是上任意一点，过点作于点，且．
（1）求证：；
（2）若，平分，求的度数．
23．（8分）某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机．如果购买一台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费5900元；如果购买2台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费9400元．
（1）求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元？
（2）如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20000元，并且购买B型打印机的台数要比购买A型电脑的台数多1台，那么该学校至多能购买多少台B型打印机？
24．（8分）在学习《完全平方公式》时，某数学学习小组发现：已知，，可以在不求a、b的值的情况下，求出的值．具体做法如下：．
（1）若，，则．
（2）若满足，求的值．同样可以应用上述方法解决问题，具体操作如下：
解：设，，
则，，
所以．
请参照上述方法解决下列问题：若，求的值；
（3）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为2，请求出图1的阴影部分面积．
25．（8分）阅读与思考：
【阅读材料】：
把（其中a，b是常数，x，y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．
【任务】：
（1）求“雅系二元一次方程”的“完美值”；
（2）是“雅系二元一次方程的“完美值”，求m的值；
（3）是否存在n，使得“雅系二元一次方程与“雅系二元一次方程”（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由．
26．（8分）如图，在中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒．
（1）求点整个运动过程共需多少秒？
（2）当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值；
（3）当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质进行逐一判断即可．
【详解】解：∵a＜b，
A、∴，故不符合题意；B、∴2a＞-2b，故不符合题意；C、∴2a＜2b，故不符合题意；D、∴a-1＜b-1，故符合题意；故选：D．
2．A
【分析】本题主要考查了命题真假的判断，平行线的性质，点到直线的距离，垂线的相关知识等根据平行线的性质，点到直线的距离，垂线的相关知识一一判断即可。
【详解】解：A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，故该选项符合题意；
B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题，故该选项不符合题意；
C．两条平行的直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意；
D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，原命题是假命题，故该选项不符合题意；
故选：A．
3．A
【分析】本题考查了幂的运算，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方等知识，掌握运算法则是关键；根据幂的运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A、，故计算正确；
B、，故计算错误；
C、不是同类项，不能合并，故计算错误；
D、，故计算错误；
故选：A．
4．B
【分析】本题考查的是平行线的性质，先证明，再利用角的和差关系可得答案；
【详解】解：如图，，，，，
∴，
∵，∴，
故选：B．
5．B
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．
设兔有x只，鸡有y只，然后根据从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚列出方程组即可．
【详解】解：设兔有x只，鸡有y只，列方程组得，
故选：B．
6．B
【分析】本题考查因式分解的应用，将利用平方差公式法进行因式分解，进而得出结论即可．
【详解】解：，
∴的值总能被4整除；
故选：B．
7．C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设和交于点，先由三角形内角和得出，再根据平行线的性质可知即可得到答案．
【详解】解：如图，设和交于点
，
，
故选：C．
8．D
【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，求出不等式组的解集，根据整数解共有个，确定的范围即可．
【详解】解：
由①得
由②得，
不等式组有个整数解，
．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．
【分析】本题考查列不等式．正确的识图，是解题的关键．
根据题意，列出不等式即可．
【详解】解：由图可知：；
故答案为：．
10．
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
【详解】解：0.0000000034用科学记数法表示的结果是．
故答案为：
11．如果两个角的余角相等，那么这两个角是等角
【分析】本题主要考查了逆命题的定义，正确理解原命题与逆命题的关系是关键．题设是：两个角是等角，结论是：它们的余角相等．把题设与结论互换即可得到逆命题．
【详解】解：命题“如果两个角是等角，那么它们的余角相等”的逆命题是：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等．
故答案是：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等．
12．六
【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．设这个多边形的边数为，根据多边形外角和等于360度和多边形内角和公式列方程解之即可．
【详解】解：设这个多边形为边形
根据题意可知，这个边形的内角和为
则
解得：
故答案为：六．
13．1
【分析】此题考查了二元一次方程的解，根据方程的一组解得到，整理得，代入求值即可，正确理解二元一次方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程的一组解，
∴
∴
∴
故答案为1．
14．
【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特征确定出的值是解本题的关键．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴
∴，
故答案为：．
15．或
【分析】本题考查平行线的性质、旋转的性质，根据题意画出不同情况的图形是解答本题的关键．分四种情况进行讨论：当时，当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：如图：当时，，
∵，
∴此时点B在上，
∴不符合题意；
如图：当时，，
∴；
如图：当时，；
如图：当时，（不符合题意舍去）；
综上分析可知：或或；
故答案为：或．
16．或
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，
（1）根据题干给的定义即可求解；
（2）根据新定义列出关于的不等式组，解之求得的范围及的范围，再根据为整数可得的值，解之可得．
【详解】解：（1）；
（2）∵，
∴，
解得：，
∴，即，
为整数，
∴或，
∴或，
故答案为：，或．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）（2）
【分析】本题考查整式的运算，
（1）根据同底数幂的乘方将原式化为，再根据有理数的乘方进行运算即可；
（2）先去括号，再进行合并同类项即可；
掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
18．（1）（2）
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握用提公因式与公式法分解因式是解题的关键．
（1）先用平方差公式分解，再用完全平方公式分解即可；
（2）先提内参因式，再用完全平方公式分解即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
19．（1）（2）
【分析】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式：
（1）可求出代入①得，从而可求出方程组的解；
（2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集即可
【详解】（1）解：，
，得：，解得，，
把代入①得，解得，，
所以，方程组的解为；
（2）解：
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并得，，
系数化为1得，，
所以，不等式的解集为：
20．（1）；（2）；（3）1
【分析】（1）阴影部分可以看作从边长为的正方形面积中减去4个长为，宽为的长方形面积即可；
（2）结合图形，阴影部分是边长为的正方形，可用面积公式列代数式，由（1）两种方法所表示的面积相等可得答案；
（3）①由（2）的结论代入计算即可；
本题考查完全平方公式的几何背景，完全平方公式变形应用，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键．
【详解】（1）解：依题意，阴影部分的面积可以看作从边长为的正方形面积减去4个长，宽为的长方形面积，即；
故答案为：；
（2）解：依题意，阴影面积是小正方形，边长是，则小正方形的面积是，
结合（1）得，
故答案为：；
（3）解：，，
∴，
∵，
∴．
21．（1）见解析（2）见解析（3）10
【分析】本题考查作图−平移、垂线，平移的性质，（1）取格点D，连接，即为所求；
（2）根据已知的平移方式确定A、B、C的对应点、、的位置，再依次连接即可；
（3）由平移的性质得，过点C且与平行的直线上的点与A、B组成的三角形面积都相等，即可求解．
【详解】（1）解：如图，线段CD即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，由平移的性质得，过点C且与平行的直线上的点与A、B组成的三角形面积都相等，
∴符合题意的点P的个数为10个，
故答案为：10．
22．（1）见解析（2）
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由题意得出，由平行线的性质得出，结合题意得出，即可得证；
（2）由平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，再由平行线的性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得：，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
23．（1）元，元（2）台
【分析】本题主要考查一元一次不等式与二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系或不等关系，并据此列出方程组与不等式．
（1）设每台A型电脑的价格为x元，每台B型打印机的价格为y元，根据“1台A型电脑的钱数+2台B型打印机的钱数，2台A型电脑的钱数台B型打印机的钱数”列出二元一次方程组，解之可得；
（2）设学校购买a台B型打印机，则购买A型电脑为台，根据“台A型电脑的钱数台B型打印机的钱数”列出不等式，解之可得．
【详解】（1）设每台A型电脑的价格为元，每台B型打印机的价格为元，
根据题意，得：，
解得：，
答：每台A型电脑的价格为元，每台B型打印机的价格为元；
（2）设学校购买台B型打印机，则购买A型电脑为台，
根据题意，得：，
解得：，
答：该学校至多能购买台B型打印机．
24．（1）（2）（3）
【分析】本题考查完全平方公式与图形面积，利用完全平方公式的变形求值：
（1）利用完全平方公式的变形求值即可；
（2）设，进而得到，利用完全平方公式的变形求值即可；
（3）设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则，根据题意，求出，再根据分割法求出阴影部分面积，代值计算即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：33；
（2）解：设，
则，
所以；
（3）解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则，
∴，
∴，
∵点H为的中点，
∴，
∵图2的阴影部分面积，
∴，
∴，
∴图1的阴影部分面积
．
25．（1）8
（2）
（3）不存在，见解析
【分析】本题考查了新定义二元一次方程，一元一次方程的解法，正确理解新定义，熟练转化为一元一次方程求解是解题的关键．
（1）根据定义，得到，解方程即可；
（2）根据定义，得到，再把代入，解方程即可；
（3）根据定义，得到，假设存在，则，方程无解，进而可判断结果；
【详解】（1）解：根据定义，得，
解得，
∴“雅系二元一次方程”的“完美值”为8；
（2）解：根据定义，得到，
是“雅系二元一次方程”的“完美值”，
，
解得；
（3）解：不存在，理由如下：
根据定义，得，
解得，
假设存在n，使得“雅系二元一次方程”与“雅系二元一次方程”（n是常数）的“完美值”相同，
则，无解，
∴不存在n，使得“雅系二元一次方程”与“雅系二元一次方程”（n是常数）的“完美值”相同．
26．（1）12秒
（2）2或6
（3）或
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，注意分情况讨论是解题的关键．
（1）利用速度、路程、时间的关系求解；
（2）当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，，分点P在点D左侧与右侧两种情况，根据列方程，即可求解；
（3）点运动总路程为，分“点在边上运动”和“点在边上运动”两种情况，根据的长大于点运动总路程的列不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：，
（秒），
即点整个运动过程共需12秒；
（2）解：是边上的高，
当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，，
当点P在点D左侧时，，即，
解得；
当点P在点D右侧时，，即，
解得；
综上可知，的值为2或6；
（3）解：点运动总路程为，
当点在边上运动时，，
则，
解得；
当点在边上运动时，，
则，
解得，
点整个运动过程共需12秒，
，
综上可知，的取值范围为或．