2021-2022学年北京161中分校八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京161中分校八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共27页。试卷主要包含了填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x3+x3＝x6B．b2+b2＝2b2C．xm•x5＝x5mD．x5•x2＝x10
2．（3分）在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）计算（ab）2的结果是（ ）
A．2abB．a2bC．a2b2D．ab2
4．（3分）如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么x的值是（ ）
A．30°B．45°C．50°D．85°
5．（3分）下列各式中，相等关系一定成立的是（ ）
A．（x﹣2y）2＝x2﹣2xy+y2B．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣3y2
C．（b﹣a）2（a﹣b）3＝（a﹣b）5D．（﹣2x2）3＝﹣6x6
6．（3分）下列条件能够判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠DB．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF
C．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝EFD．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F
7．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（ ）
A．3B．4C．6D．5
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AC，下列结论正确的是（ ）
A．AB﹣AD＞CB﹣CD
B．AB﹣AD＝CB﹣CD
C．AB﹣AD＜CB﹣CD
D．AB﹣AD与CB﹣CD的大小关系不确定
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）计算：3﹣（）0＝ ．
10．（3分）如图，已知AB⊥BD，ED∥AB，AB＝ED，要使△ABC≌△EDC，可补充的一个条件是： ．（答案不唯一，写一个即可）
11．（3分）如果多项式y2﹣4y+m是完全平方式，那么m的值为 ．
12．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是 ．
13．（3分）如图所示的正方形的方格中，∠1+∠3﹣∠2＝ 度．
14．（3分）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC于点D，交AB于点E，如果AE＝3，△ADC的周长为9，那么△ABC的周长是 ．
15．（3分）已知如图，点D是△ABC的两外角平分线的交点，下列说法：
①AD＝CD；
②D到AB、BC的距离相等；
③D到△ABC的三边所在直线的距离相等；
④点D在∠B的平分线．
其中正确的说法的序号是 ．
16．（3分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中∠B＝∠C．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，则∠DEB＝ ∠A，∠ABC的大小为 °．
三、计算题（共20分）
17．（12分）计算题．
（1）a•a5﹣（a2）3﹣（﹣2a3）2；
（2）（6x4﹣8x3）÷（﹣2x2）；
（3）（x﹣1）（x﹣3）﹣8；
（4）5a5b•（﹣3b）2﹣64a8b3÷（﹣2a）．
18．（8分）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2﹣a（2a﹣3b），其中a＝﹣，b＝1．
四、解答题（共32分）
19．（5分）已知：如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB．
求证：∠A＝∠E．
20．（5分）如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
求证：DE＝DF．
证明：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（ ），
∴∠ ＝∠ （ ），
∴AD是∠BAC的角平分线．
又∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF（ ）．
21．（5分）作图题：
（1）已知：如图，线段a、b、c．
求作：△ABC，使得BC＝a，AC＝b，AB＝c．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求作：∠AOB的平分线OC．（不写作法，保留作图痕迹）
22．（5分）已知，如图∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠DAB；
（2）猜想AM与DM的位置关系如何，并证明你的结论．
23．（6分）阅读下面的材料，解决问题．
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，
∴m+n＝0，n﹣3＝0，
∴m＝﹣3，n＝3．
问题：（1）若2x2+4x﹣2xy+y2+4＝0，求xy的值；
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求c的取值范围．
24．（6分）已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°．
（1）按要求作出图形：
①延长BC到点D，使CD＝BC；
②延长CA到点E，使AE＝2CA；
③连接AD，BE．
（2）猜想（1）中线段AD与BE的大小关系，并证明你的结论．
解：（1）完成作图
（2）AD与BE的大小关系是 ．
25．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．
解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘2得：
2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014
将下式减去上式得2S﹣S＝22014﹣1
即S＝22014﹣1
即1+2+22+23+24+…+22013＝22014﹣1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．
26．三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它的三个角都是60°．△ABC是等边三角形，点D在BC所在直线上运动，连接AD，在AD所在直线的右侧作∠DAE＝60°，交△ABC的外角∠ACF的角平分线所在直线于点E．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，请你猜想AD与AE的大小关系，并给出证明；
（2）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，依据题意补全图形，请问上述结论还成立吗？请说明理由．
2021-2022学年北京161中分校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x3+x3＝x6B．b2+b2＝2b2C．xm•x5＝x5mD．x5•x2＝x10
【分析】选项A、B，根据合并同类项法则，在合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变，据此逐一选项判断即可；
选项C、D，根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此逐一选项判断即可．
【解答】解：A、x3+x3＝2x3，故本选项不合题意；
B、b2+b2＝2b2，故本选项符合题意；
C、xm•x5＝xm+5，故本选项不合题意；
D、x5•x2＝x7，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘法，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
2．（3分）在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故选项错误；
B、是轴对称图形，故选项正确；
C、不是轴对称图形，故选项错误；
D、不是轴对称图形，故选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3．（3分）计算（ab）2的结果是（ ）
A．2abB．a2bC．a2b2D．ab2
【分析】根据积的乘方法则：积的乘方，等于各因式乘方的积，进行计算即可．
【解答】解：原式＝a2b2．
故选：C．
【点评】此题考查了幂的乘方及积的乘方，属于基础题，注意掌握积的乘方法则：积的乘方，等于各因式乘方的积．
4．（3分）如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么x的值是（ ）
A．30°B．45°C．50°D．85°
【分析】根据全等三角形的性质和三角形内角和，可以求得x的值．
【解答】解：∵图中的两个三角形是全等三角形，
∴第二个三角形中x是边长为3对应的角的度数，
∵180°﹣85°﹣45°＝50°，
∴第一个三角形中边长为3对应的角的度数是50°，
∴x＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的性质\三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的性质解答．
5．（3分）下列各式中，相等关系一定成立的是（ ）
A．（x﹣2y）2＝x2﹣2xy+y2B．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣3y2
C．（b﹣a）2（a﹣b）3＝（a﹣b）5D．（﹣2x2）3＝﹣6x6
【分析】根据完全平方公式和平方差公式进行计算判断A和B，根据同底数幂的乘法运算法则进行计算判断C，根据积的乘方与幂的乘方运算法则进行计算判断D．
【解答】解：A、原式＝x2﹣4xy+4y2，故此选项不符合题意；
B、原式＝x2﹣9y2，故此选项不符合题意；
C、原式＝（a﹣b）2（a﹣b）3＝（a﹣b）5，故此选项符合题意；
D、原式＝（﹣2x2）3＝﹣8x6，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查整式的混合运算，掌握幂的乘方（am）n＝amn，积的乘方（ab）n＝anbn运算法则，完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的结构是解题关键．
6．（3分）下列条件能够判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠DB．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF
C．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝EFD．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F
【分析】主要是验证各选项提供的已知条件能否符合三角形全等判定方法的要求，符合的是可选的，反之，是错误的．本题中选项B符合SSS，是本题的答案．
【解答】解：A、AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D，属于SSA形式，错；
B、AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF是正确的．根据是SSS；
C、∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝EF，虽然是两角相等和一边相等，但这边不是其中一边的对边，所以错；
D、∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，属于AAA形式，也错．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法；普通三角形全等判定定理SAS定理强调的是夹角，AAS定理强调的是一角的对边，而SSA、AAA形式的命题是不能作为三角形全等的判定定理的．
7．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（ ）
A．3B．4C．6D．5
【分析】过D作DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DF＝DE＝2，根据S△ADB+S△ADC＝7和三角形面积公式求出即可．
【解答】解：如图，过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2，
∴DE＝DF＝2，
∵S△ABC＝7，
∴S△ADB+S△ADC＝7，
∴×AB×DE+×AC×DF＝7，
∴×4×2+×AC×2＝7，
解得：AC＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了角的平分线性质，三角形面积公式的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AC，下列结论正确的是（ ）
A．AB﹣AD＞CB﹣CD
B．AB﹣AD＝CB﹣CD
C．AB﹣AD＜CB﹣CD
D．AB﹣AD与CB﹣CD的大小关系不确定
【分析】取AE＝AD，然后利用“边角边”证明△ACD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得CD＝CE，然后利用三角形的任意两边之和大于第三边解答．
【解答】解：如图，取AE＝AD，
∵对角线AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ACD和△ACE中，
，
∴△ACD≌△ACE（SAS），
∴CD＝CE，
∵BE＞CB﹣CE，
∴AB﹣AD＞CB﹣CD．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）计算：3﹣（）0＝ 2 ．
【分析】非0实数的0次幂为1，再利用实数的运算法则进行运算即可．
【解答】解：3﹣
＝3﹣1
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查实数的运算，零指数幂，解答的关键是熟记非0实数的0次幂为1．
10．（3分）如图，已知AB⊥BD，ED∥AB，AB＝ED，要使△ABC≌△EDC，可补充的一个条件是： ∠A＝∠E或∠ACB＝∠ECD或BC＝DC或AC＝AE ．（答案不唯一，写一个即可）
【分析】依据AB⊥BD，ED∥AB，可得∠B＝∠D＝90°，再根据AB＝ED，即可得到可补充的一个条件，使得△ABC≌△EDC．
【解答】解：∵AB⊥BD，ED∥AB，
∴∠B＝∠D＝90°，
又∵AB＝ED，
∴当∠A＝∠E时，△ABC≌△EDC（ASA）；
当∠ACB＝∠ECD时，△ABC≌△EDC（AAS）；
当BC＝DC时，△ABC≌△EDC（SAS）；
当AC＝EC时，Rt△ABC≌Rt△EDC（HL）；
故答案为：∠A＝∠E或∠ACB＝∠ECD或BC＝DC或AC＝AE．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
11．（3分）如果多项式y2﹣4y+m是完全平方式，那么m的值为 4 ．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【解答】解：∵多项式y2﹣4y+m是完全平方式，
∴m＝4，
解得：m＝4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是 全等三角形的对应角相等 ．
【分析】根据作图过程可以证明△OCD≌△O′C′D′，进而可得结论．
【解答】解：根据作图过程可知：
OC＝O′C′，OD＝O′D′，CD＝C′D′，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A'O'B'＝∠AOB（全等三角形对应角相等）．
故答案为：全等三角形的对应角相等．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
13．（3分）如图所示的正方形的方格中，∠1+∠3﹣∠2＝ 45 度．
【分析】标注字母，然后根据网格结构可得∠1与∠3所在的三角形全等，然后根据全等三角形对应角相等可以推出∠1+∠3＝90°，再根据∠2所在的三角形是等腰直角三角形可得∠2＝45°，然后进行计算即可得解．
【解答】解：如图，根据网格结构可知，
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△EDA（SSS），
∴∠1＝∠DAE，
∴∠1+∠3＝∠DAE+∠3＝90°，
又∵AD＝DF，AD⊥DF，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠2＝45°，
∴∠1+∠3﹣∠2＝90°﹣45°＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题主要考查了全等图形，根据网格结构的特点找出全等三角形以及等腰直角三角形是解题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC于点D，交AB于点E，如果AE＝3，△ADC的周长为9，那么△ABC的周长是 15 ．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出BD＝AD，AB＝2AE，再由，△ADC的周长为9可得出BC+AC＝9，进而可得出结论．
【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，AE＝3，
∴BD＝AD，AB＝2AE＝6，
∵△ADC的周长为9，
∴BC+AC＝9，
∴△ABC的周长＝BC+AC+AB＝9+6＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
15．（3分）已知如图，点D是△ABC的两外角平分线的交点，下列说法：
①AD＝CD；
②D到AB、BC的距离相等；
③D到△ABC的三边所在直线的距离相等；
④点D在∠B的平分线．
其中正确的说法的序号是 ②③④ ．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，作DG⊥AC于G，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝DF＝DG，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上解答．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，作DG⊥AC于G，
∵点D是△ABC的两外角平分线的交点，
∴DE＝DG，DF＝DG，
∴DE＝DF＝DG，
∴点D在∠B的平分线上，故②③④正确，
只有点G是AC的中点时，AD＝CD，故①错误，
综上所述，说法正确的是②③④．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
16．（3分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中∠B＝∠C．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，则∠DEB＝ 2 ∠A，∠ABC的大小为 72 °．
【分析】设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠DEB＝∠A+∠EDA＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠ABC＝72°．
故答案为：2，72．
【点评】本题考查翻折变换、三角形的内角和定理，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、计算题（共20分）
17．（12分）计算题．
（1）a•a5﹣（a2）3﹣（﹣2a3）2；
（2）（6x4﹣8x3）÷（﹣2x2）；
（3）（x﹣1）（x﹣3）﹣8；
（4）5a5b•（﹣3b）2﹣64a8b3÷（﹣2a）．
【分析】（1）先算乘方，然后算乘法，最后算加减；
（2）利用多项式除以单项式的运算法则进行计算；
（3）先利用多项式乘多项式的运算法则计算乘法，然后再算加减；
（4）先算乘方，然后算乘除，最后算加减．
【解答】解：（1）原式＝a6﹣a6﹣4a6
＝﹣4a6；
（2）原式＝﹣6x4÷2x2+8x3÷2x2
＝﹣3x2+4x；
（3）原式＝x2﹣3x﹣x+3﹣8
＝x2﹣4x﹣5；
（4）原式＝5a5b•9b2﹣64a8b3÷（﹣2a）．
＝45a5b3+32a7b3．
【点评】本题考查整式的混合运算，掌握幂的乘方（am）n＝amn，积的乘方（ab）n＝anbn运算法则是解题关键．
18．（8分）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2﹣a（2a﹣3b），其中a＝﹣，b＝1．
【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝a2﹣b2+a2﹣2ab+b2﹣2a2+3ab＝ab，
当a＝﹣，b＝1时，原式＝﹣．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
四、解答题（共32分）
19．（5分）已知：如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB．
求证：∠A＝∠E．
【分析】易证∠ABC＝∠D，即可求证△CAB≌△BED，即可解题．
【解答】证明：∵BC∥DE
∴∠ABC＝∠D
在△CAB和△BED中，
，
∴△CAB≌△BED（SAS），
∴∠A＝∠E．
【点评】本题考查了全等三角形判定，考查了全等三角形对应角想等的性质，本题中求证△CAB≌△BED是解题的关键．
20．（5分）如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
求证：DE＝DF．
证明：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（ SSS ），
∴∠ DAB ＝∠ DAC （ （全等三角形的对应角相等 ），
∴AD是∠BAC的角平分线．
又∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF（ 角平分线的性质 ）．
【分析】由△ABD≌△ACD（SSS），可得∠DAB＝∠DAC，再利用角平分线的性质定理即可证明．
【解答】证明：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠DAB＝∠DAC（全等三角形的对应角相等），
又∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF（角平分线的性质）．
故答案为：SSS；DAB，DAC；全等三角形的对应角相等；角平分线的性质．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
21．（5分）作图题：
（1）已知：如图，线段a、b、c．
求作：△ABC，使得BC＝a，AC＝b，AB＝c．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求作：∠AOB的平分线OC．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】（1）如图，作射线BM，在射线BM上截取BA＝c，分别以B，A为圆心，a，b为半径作弧，两弧交于点C，连接BC，AC，△ABC即为所求．
（2）利用尺规作出∠AOB的射线OC即可．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．
（2）如图，射线OC即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
22．（5分）已知，如图∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠DAB；
（2）猜想AM与DM的位置关系如何，并证明你的结论．
【分析】（1）过M作ME⊥AD于E，根据角平分线性质求出ME＝MC＝MB，再根据角平分线性质求出即可；
（2）根据平行线性质求出∠BAD+∠ADC＝180°，求出∠MAD+∠MDA＝90°，即可求出答案．
【解答】（1）证明：过M作ME⊥AD于E，
∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD，
∴MC＝ME，
∵M为BC的中点，
∴BM＝MC＝ME，
∵∠B＝90°，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB；
（2）AM⊥DM，
证明：∵AB∥DC，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，
∴∠MAD＝∠BAD，∠MDA＝∠ADC，
∴∠MAD+∠MDA＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∴AM⊥DM．
【点评】本题考查了梯形的性质，平行线的性质，角平分线性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，难度适中．
23．（6分）阅读下面的材料，解决问题．
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，
∴m+n＝0，n﹣3＝0，
∴m＝﹣3，n＝3．
问题：（1）若2x2+4x﹣2xy+y2+4＝0，求xy的值；
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求c的取值范围．
【分析】（1）已知等式左边变形后，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出x与y的值，即可求出所求；
（2）已知等式配方变形后，利用非负数的性质求出a与b的值，再利用三角形三边关系求出c的范围即可．
【解答】解：（1）∵2x2+4x﹣2xy+y2+4＝0，
∴x2 +4x+4+x2﹣2xy+y2＝0，
∴（x+2）2+（x﹣y）2＝0，
∴x＝﹣2，y＝﹣2，
∴xy＝（﹣2）﹣2＝；
（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，
∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，
∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，
∴a＝5，b＝4，
∴1＜c＜9．
【点评】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及三角形三边关系，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
24．（6分）已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°．
（1）按要求作出图形：
①延长BC到点D，使CD＝BC；
②延长CA到点E，使AE＝2CA；
③连接AD，BE．
（2）猜想（1）中线段AD与BE的大小关系，并证明你的结论．
解：（1）完成作图
（2）AD与BE的大小关系是 AD＝BE ．
【分析】（1）根据已知条件画出图形即可；
（2）在AE上截取AF＝AC，连接BF，根据全等三角形的判定定理求出△BAF≌△BAC，求出△BFE≌△DCA，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图：；
（2）AD＝BE，
理由是：在AE上截取AF＝AC，连接BF，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAF＝180°﹣90°＝90°，
∴∠BAC＝∠BAF，
在△ABF与△ABC中
∴△ABF≌△ABC（SAS），
∴BF＝BC，AF＝AC，∠BCA＝∠BFA，
∵∠BFE+∠BFA＝180°，∠BCA+∠DCA＝180°，
∴∠BFE＝∠DCA，
∵BC＝DC，BC＝BF，
∴BF＝DC，
∵AC＝AF，AE＝2AC＝AF+EF，
∴EF＝AC＝AF，
在△BFE和△DCA中
∴△BFE≌△DCA，
∴AD＝BE，
故答案为：AD＝BE．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，有一定的难度．
25．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．
解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘2得：
2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014
将下式减去上式得2S﹣S＝22014﹣1
即S＝22014﹣1
即1+2+22+23+24+…+22013＝22014﹣1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．
【分析】（1）设S＝1+2+22+23+24+…+210，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值；
（2）同理即可得到所求式子的值．
【解答】解：（1）设S＝1+2+22+23+24+…+210，
将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+…+210+211，
将下式减去上式得：2S﹣S＝211﹣1，即S＝211﹣1，
则1+2+22+23+24+…+210＝211﹣1；
（2）设S＝1+3+32+33+34+…+3n①，
两边同时乘3得：3S＝3+32+33+34+…+3n+3n+1②，
②﹣①得：3S﹣S＝3n+1﹣1，即S＝（3n+1﹣1），
则1+3+32+33+34+…+3n＝（3n+1﹣1）．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法，弄清题中的技巧是解本题的关键．
26．三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它的三个角都是60°．△ABC是等边三角形，点D在BC所在直线上运动，连接AD，在AD所在直线的右侧作∠DAE＝60°，交△ABC的外角∠ACF的角平分线所在直线于点E．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，请你猜想AD与AE的大小关系，并给出证明；
（2）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，依据题意补全图形，请问上述结论还成立吗？请说明理由．
【分析】（1）证明△ABD≌△ACE（ASA），可得结论；
（2）结论成立，证明方法类似．
【解答】解：（1）结论：AD＝AE．
理由：如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠ACF＝120°，
∵CE平分∠ACF，
∴∠ACE＝∠B＝60°，
∵∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（ASA）．
∴AD＝DE．
（2）正确．
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠BCF＝120°，
∵CE平分∠BCF，
∴∠ACE＝∠ABD＝120°，
∵∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（ASA）．
∴AD＝DE．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等的三角形是关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/9/28 17:49:01；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111