2021-2022学年北京八十中八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京八十中八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）新型冠状病毒（2019﹣nCV）通过突起接触人类细胞表面，与血管紧张转化酶作用钻入细胞内部，复制出更多的病毒RNA侵占人的肺部，新型冠状病毒粒子形状并不规则，最大的直径约0.00022毫米，0.00022用科学记数法表示（ ）
A．2.2×10﹣4B．2.2×10﹣3C．2.2×10﹣5D．22×10﹣6
2．（3分）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（ ）
A．2cmB．3cmC．6cmD．9cm
3．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8B．（2xy）3＝6x3y3
C．a6÷a3＝a2D．（﹣a3）2＝a6
4．（3分）下列分式的变形正确的是（ ）
A．＝B．＝x+y
C．＝D．＝（a≠b）
5．（3分）分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0B．3C．﹣3D．3或﹣3
6．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．2a2﹣2a+1＝2a（a﹣1）+1B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2D．x2+1＝x（x+）
7．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
8．（3分）已知∠1＝∠2，AC＝AD，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，那么在以下条件中不能选择的是（ ）
A．AB＝AEB．BC＝EDC．∠C＝∠DD．∠B＝∠E
9．（3分）如果x2+mx+16是完全平方式，那么m的值是（ ）
A．8B．4C．±4D．±8
10．（3分）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，AD，BC，CD，其中AD交l2于点E．若∠ECA＝40°，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ABC＝70°B．∠BAD＝80°C．CE＝CDD．CE＝AE
二、填空题（每空2分，共18分）
11．（2分）使分式有意义的x的取值范围是 ．
12．（4分）计算：（）3＝ ；（9x2y﹣6xy2+3xy）÷3xy＝ ．
13．（2分）分解因式：x3y﹣4xy3＝ ．
14．（2分）已知ab＝2，a+b＝5，则a3b+2a2b2+ab3的值是 ．
15．（2分）“三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH，小明是通过全等三角形的识别得到的结论，请问小明用的识别方法是 （用字母表示）．
16．（2分）如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于4cm，则BC的长为 cm．
17．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝26°，则∠CDA＝ ．
18．（2分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠ABC＝∠ACB，BC＝16厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
三、解答题（共52分，第19-21，23-26每题5分，第22题10分，第27题7分）
19．（5分）计算：+（）﹣2+|1﹣|+（﹣2021）0．
20．（5分）计算：[（x+y）3﹣（x+y）（x﹣y）]÷2y．
21．（5分）先化简再求值：（x﹣1）2﹣（x+2）（x﹣2）+（x﹣4）（x+5），其中x2﹣x﹣5＝0．
22．（10分）计算：
（1）÷；
（2）÷﹣．
23．（5分）已知△ABC中，∠ABC为钝角．请你按要求作图（不写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）过点A作BC的垂线AD；
（2）取AB中点F，连接CF；
（3）尺规作图：作△ABC中∠B的平分线BE．
24．（5分）已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF＝CE，AC＝DF，且AC∥DF．
求证：∠B＝∠E．
25．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC，BD＝DF，求证：AD平分∠CAB．
26．（5分）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2+2ab+b2＝（a+b）2．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例如：
①我们可以将代数式a2+6a+10进行变形，其过程如下：
a2+6a+10＝（a2+6a）+10＝（a2+6a+9）+10﹣9＝（a+3）2+1
∵（a+3）2≥0，
∴（a+3）2+1≥1，
因此，该式有最小值1．
材料二：我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式A＝x2+2x+1，B＝（x+4）（x﹣2），A﹣B＝（x2+2x+1）﹣（x+4）（x﹣2）＝（x2+2x+1）﹣（x2+2x﹣8）＝9，则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．
（1）已知多项式C＝x2+x﹣1，D＝（x+2）（x﹣1），判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”；
（2）已知多项式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b为常数），M是N的“雅常式”，且当x为实数时，N的最小值为﹣2，求M关于N的“雅常值”．
27．（7分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B是第一象限的点，且AB⊥y轴，且AB＝OA，点C是线段OA上任意一点，连接BC，作BD⊥BC，交x轴于点D．
（1）依题意补全图1；
（2）用等式表示线段OA，AC与OD之间的数量关系，并证明；
（3）连接CD，作∠CBD的平分线，交CD边于点H，连接AH，求∠BAH的度数．
2021-2022学年北京八十中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分。共30分）
1．（3分）新型冠状病毒（2019﹣nCV）通过突起接触人类细胞表面，与血管紧张转化酶作用钻入细胞内部，复制出更多的病毒RNA侵占人的肺部，新型冠状病毒粒子形状并不规则，最大的直径约0.00022毫米，0.00022用科学记数法表示（ ）
A．2.2×10﹣4B．2.2×10﹣3C．2.2×10﹣5D．22×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 22＝2.2×10﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．（3分）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（ ）
A．2cmB．3cmC．6cmD．9cm
【分析】首先设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得6﹣3＜x＜6+3，再解不等式即可．
【解答】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：
6﹣3＜x＜6+3，
解得：3＜x＜9，
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
3．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8B．（2xy）3＝6x3y3
C．a6÷a3＝a2D．（﹣a3）2＝a6
【分析】利用同底数幂的乘法法则对A进行判断；利用积的乘方对B进行判断；利用同底数幂的除法法则对C进行判断；利用幂的乘方对D进行判断．
【解答】解：A．原式＝a2+4＝a6，所以A选项不符合题意；
B．原式＝8x3y3，所以B选项不符合题意；
C．原式＝a6﹣3＝a3，所以C选项不符合题意；
D．原式＝a6，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法：熟练掌握同底数幂的除法法则（底数不变，指数相减）是解决问题的关键．也考查了同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方．
4．（3分）下列分式的变形正确的是（ ）
A．＝B．＝x+y
C．＝D．＝（a≠b）
【分析】根据分式的基本性质判断即可．
【解答】解：A选项中不能分子分母都减1，故该选项不合题意；
B选项中分子和分母没有公因式，故该选项不合题意；
C选项中分子和分母都乘5，分式的值不变，故该选项符合题意；
D选项中分子乘a，分母乘b，a≠b，故该选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
5．（3分）分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0B．3C．﹣3D．3或﹣3
【分析】根据分式值为零的条件可得x﹣3≠0，|x|﹣3＝0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣3≠0，|x|﹣3＝0，
解得：x＝﹣3，
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
6．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．2a2﹣2a+1＝2a（a﹣1）+1B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2D．x2+1＝x（x+）
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．等式的右边是分式与整式的积，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
7．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到（n﹣2）×180°＝720°，然后解方程即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则
（n﹣2）×180°＝720°，
解得n＝6，
故这个多边形为六边形．
故选：A．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理，关键是根据n边形的内角和为（n﹣2）×180°解答．
8．（3分）已知∠1＝∠2，AC＝AD，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，那么在以下条件中不能选择的是（ ）
A．AB＝AEB．BC＝EDC．∠C＝∠DD．∠B＝∠E
【分析】根据∠1＝∠2求出∠BAC＝∠EAD，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB，
即∠BAC＝∠EAD，
A．AB＝AE，∠BAC＝∠EAD，AC＝AD，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△AED，故本选项不符合题意；
B．BC＝ED，AC＝AD，∠BAC＝∠EAD，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△AED，故本选项符合题意；
C．∠C＝∠D，AC＝AD，∠BAC＝∠EAD，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△AED，故本选项不符合题意；
D．∠B＝∠E，∠BAC＝∠EAD，AC＝AD，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△AED，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
9．（3分）如果x2+mx+16是完全平方式，那么m的值是（ ）
A．8B．4C．±4D．±8
【分析】先写出x2±8x+16＝（x±4）2，进一步求出m的值．
【解答】解：∵x2±8x+16＝（x±4）2，
x2+mx+16是完全平方式，
∴m＝±8；
故选：D．
【点评】本题主要考查了完全平方，掌握满足完全平方式的情况只有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两种，两种情况的熟练应用是解题关键．
10．（3分）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，AD，BC，CD，其中AD交l2于点E．若∠ECA＝40°，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ABC＝70°B．∠BAD＝80°C．CE＝CDD．CE＝AE
【分析】根据平行线的性质得出∠CAB＝40°，进而利用圆的概念判断即可．
【解答】解：∵直线l1∥l2，
∴∠ECA＝∠CAB＝40°，
∵以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，
∴BA＝AC＝AD，
∴∠ABC＝，故A正确；
∵以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），
∴CB＝CD，
∴∠CAB＝∠DAC＝40°，
∴∠BAD＝40°+40°＝80°，故B正确；
∵∠ECA＝40°，∠DAC＝40°，
∴CE＝AE，故D正确；
故选：C．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出∠CAB＝40°解答．
二、填空题（每空2分，共18分）
11．（2分）使分式有意义的x的取值范围是 x≠1 ．
【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣1≠0，解得x≠1．
故答案为：x≠1．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不为0．
12．（4分）计算：（）3＝ ﹣ ；（9x2y﹣6xy2+3xy）÷3xy＝ 3x﹣2y+1 ．
【分析】根据分式的乘除法和整式的除法计算即可．
【解答】解：（）3
＝
＝
＝﹣；
（9x2y﹣6xy2+3xy）÷3xy
＝9x2y÷3xy﹣6xy2÷3xy+3xy÷3xy
＝3x﹣2y+1；
故答案为：﹣；3x﹣2y+1．
【点评】本题考查了分式的乘除法和整式的除法，掌握（）n＝（a≠0）是解题的关键．
13．（2分）分解因式：x3y﹣4xy3＝ xy（x+2y）（x﹣2y） ．
【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝xy（x2﹣4y2）
＝xy（x+2y）（x﹣2y），
故答案为：xy（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】本题考查了提公因式法和公式法，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键．
14．（2分）已知ab＝2，a+b＝5，则a3b+2a2b2+ab3的值是 50 ．
【分析】所求式子提取公因式ab后，利用完全平方公式变形，将ab与a+b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝ab（a2+2ab+b2）
＝ab（a+b）2，
当ab＝2，a+b＝5时，原式＝2×52＝50．
故答案为50．
【点评】此题考查了因式分解的应用，将所求式子正确的分解因式是解本题的关键．
15．（2分）“三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH，小明是通过全等三角形的识别得到的结论，请问小明用的识别方法是 SSS （用字母表示）．
【分析】根据题目中的条件DE＝DF，EH＝FH，再加上公共边DH＝DH，可利用SSS证明△DEH≌△DFH，再根据全等三角形的性质可得∠DEH＝∠DFH．
【解答】证明：∵在△DEH和△DFH中，
∴△DEH≌△DFH（SSS），
∴∠DEH＝∠DFH．
故答案为：SSS．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握判定三角形全等的方法，SSS、ASA、AAS、SAS．
16．（2分）如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于4cm，则BC的长为 12 cm．
【分析】过D作DE⊥AB于E，则DE＝4cm，根据角平分线的性质求出DE＝CD＝4cm，根据BD＝2CD求出BD，再求出BC即可．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∵点D到AB的距离等于4cm，
∴DE＝4cm，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝4cm，
∵BD＝2CD，
∴BD＝8cm，
∴BC＝BD+CD＝12cm，
故答案为：12．
【点评】本题考查了点到直线的距离和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
17．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝26°，则∠CDA＝ 109° ．
【分析】由将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，得∠BCD＝∠ECD，由∠ACB＝90°，得∠ACD＝45°，再根据三角形内角和定理即可求解
【解答】解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，
∴∠BCD＝∠ECD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ECD＝45°，
∵∠A＝26°，
∴∠CDA＝180°﹣∠A﹣∠ACD，
＝180°﹣26°﹣45°
＝109°，
故答案为：109°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，折叠的性质，明确折叠前后对应角相等是解题的关键．
18．（2分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠ABC＝∠ACB，BC＝16厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 4或6 厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
【分析】求出BD的长，要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP，得出方程12＝16﹣4x或4x＝16﹣4x，求出方程的解即可．
【解答】解：设经过x秒后，使△BPD与△CQP全等，
∵AB＝AC＝24厘米，点D为AB的中点，
∴BD＝12厘米，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP，
即12＝16﹣4x或4x＝16﹣4x，
解得：x＝1或x＝2，
x＝1时，BP＝CQ＝4，4÷1＝4；
x＝2时，BD＝CQ＝12，12÷2＝6；
即点Q的运动速度是4或6，
故答案为：4或6
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，关键是能根据题意得出方程，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
三、解答题（共52分，第19-21，23-26每题5分，第22题10分，第27题7分）
19．（5分）计算：+（）﹣2+|1﹣|+（﹣2021）0．
【分析】根据二次根式的性质，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，实数的运算，化简即可得出答案．
【解答】解：原式＝3+4+﹣1+1
＝7+．
【点评】本题考查了二次根式的性质，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．
20．（5分）计算：[（x+y）3﹣（x+y）（x﹣y）]÷2y．
【分析】原式中括号利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝（x2+2xy+y2﹣x2+y2）÷2y
＝（2xy+2y2）÷2y
＝x+y．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（5分）先化简再求值：（x﹣1）2﹣（x+2）（x﹣2）+（x﹣4）（x+5），其中x2﹣x﹣5＝0．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝x2﹣2x+1﹣（x2﹣4）+（x2+x﹣20）
＝x2﹣2x+1﹣x2+4+x2+x﹣20
＝x2﹣x﹣15
∵x2﹣x﹣5＝0，
∴x2﹣x＝5
∴原式＝5﹣15＝﹣10
【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
22．（10分）计算：
（1）÷；
（2）÷﹣．
【分析】（1）先将分子、分母因式分解，同时将除法转化为乘法，再约分即可；
（2）先将分子、分母因式分解，同时将除法转化为乘法，再计算乘法，继而通分、计算加法即可．
【解答】解：（1）原式＝•
＝m+1；
（2）原式＝•+
＝+
＝
＝．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
23．（5分）已知△ABC中，∠ABC为钝角．请你按要求作图（不写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）过点A作BC的垂线AD；
（2）取AB中点F，连接CF；
（3）尺规作图：作△ABC中∠B的平分线BE．
【分析】（1）利用基本作图（过一点作直线的垂线）作AD⊥BC于D；
（2）先作AB的垂直平分线得到AB的中点F，然后连接CF即可；
（3）利用基本作图（作已知角的平分线）作BE平分∠ABC交AC于E即可．
【解答】解：（1）如图，AD为所作；
（2）如图，CF为所作；
（3）如图，BE为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
24．（5分）已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF＝CE，AC＝DF，且AC∥DF．
求证：∠B＝∠E．
【分析】先证出BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，再证明△ACB≌△DFE，得出对应角相等即可．
【解答】证明：∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ACB和△DFE中，
，
∴△ACB≌△DFE（SAS），
∴∠B＝∠E．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
25．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC，BD＝DF，求证：AD平分∠CAB．
【分析】利用已知条件根据HL判定Rt△BED≌Rt△FCD得到DE＝CD，利用角平分线性质定理的逆定理即可得出结论．
【解答】证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴∠BED＝∠C＝90°．
在Rt△BED和Rt△FCD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△FCD（HL）．
∴DE＝CD，
∵DE⊥AB，DC⊥AC，
∴∠DAE＝∠DAC，
即AD平分∠CAB．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据HL判定三角形全等是解题的关键．
26．（5分）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2+2ab+b2＝（a+b）2．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例如：
①我们可以将代数式a2+6a+10进行变形，其过程如下：
a2+6a+10＝（a2+6a）+10＝（a2+6a+9）+10﹣9＝（a+3）2+1
∵（a+3）2≥0，
∴（a+3）2+1≥1，
因此，该式有最小值1．
材料二：我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式A＝x2+2x+1，B＝（x+4）（x﹣2），A﹣B＝（x2+2x+1）﹣（x+4）（x﹣2）＝（x2+2x+1）﹣（x2+2x﹣8）＝9，则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．
（1）已知多项式C＝x2+x﹣1，D＝（x+2）（x﹣1），判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”；
（2）已知多项式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b为常数），M是N的“雅常式”，且当x为实数时，N的最小值为﹣2，求M关于N的“雅常值”．
【分析】（1）先计算C﹣D＝1，再根据“雅常式”的定义即可判断C是D的“雅常式”，并求出C关于D的“雅常值”；
（2）先求出M﹣N＝（﹣2a+2）x+a2﹣b，由M是N的“雅常式”得出﹣2a+2＝0，得出a＝1．由x为实数时，N的最小值为﹣2，得出﹣1+b＝﹣2，求出b＝﹣1，进而求出M﹣N＝2．
【解答】解：（1）∵C﹣D＝（x2+x﹣1）﹣（x+2）（x﹣1）
＝（x2+x﹣1）﹣（x2+x﹣2）
＝1，
∴C是D的“雅常式”，“雅常值”为1；
（2）∵M是N的“雅常式”，
∴M﹣N＝（x﹣a）2﹣（x2﹣2x+b）
＝（x2﹣2ax+a2）﹣（x2﹣2x+b）
＝（﹣2a+2）x+a2﹣b，
∴﹣2a+2＝0，
∴a＝1．
∵N＝x2﹣2x+b＝（x﹣1）2﹣1+b，
且当x为实数时，N的最小值为﹣2，
∴﹣1+b＝﹣2，
∴b＝﹣1，
∴M﹣N＝a2﹣b＝1﹣（﹣1）＝2．
【点评】本题考查了配方法的应用，新定义，学生的理解能力以及知识的迁移能力，因式分解等知识，理解A是B的“雅常式”的定义是解题的关键．
27．（7分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B是第一象限的点，且AB⊥y轴，且AB＝OA，点C是线段OA上任意一点，连接BC，作BD⊥BC，交x轴于点D．
（1）依题意补全图1；
（2）用等式表示线段OA，AC与OD之间的数量关系，并证明；
（3）连接CD，作∠CBD的平分线，交CD边于点H，连接AH，求∠BAH的度数．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）过B作BE⊥x轴于E，则四边形AOEB是矩形，根据矩形的想知道的BE＝AO，∠ABE＝90°，等量代换得到AB＝BE推出△ABC≌△EBD，根据全等三角形的性质得到AC＝DE，等量代换即可得到结论；
（3）根据全等三角形的性质得到BC＝BD，推出△BCD是等腰直角三角形，于是得到∠BCD＝45°，根据等腰三角形的性质得到∠BHC＝90°，过H作HN⊥OA，HM⊥AB，证明△CNH≌△BHM，可得出HN＝HM，则AH平分∠CAB，可得到结论．
【解答】解：（1）如图1所示，
（2）OA+AC＝OD，
如图1，过B作BE⊥x轴于E，
则四边形AOEB是矩形，
∴BE＝AO，∠ABE＝90°，
∵AB＝AO，
∴AB＝BE，
∵BD⊥BC，
∴∠CBD＝90°，
∴∠ABC＝∠DBE，
在△ABC与△BDE中，
，
∴△ABC≌△EBD（ASA），
∴AC＝DE，
∵OE＝AB＝OA，
∴AO+AC＝OD；
（3）如图2，由（1）知：△ABC≌△EBD，
∴BC＝BD，
∵BD⊥BC，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴∠BCD＝45°，
∵BH平分∠CBD，
∴∠BHC＝90°，
∵∠BAO＝90°，
过H作HN⊥OA，HM⊥AB，
∴四边形ANMH是矩形，
∴∠NHM＝90°，
∴∠NHC＝∠MHB，
∴△CNH≌△BHM（AAS），
∴HN＝HM，
∴AH平分∠CAB，
∴∠BAH＝45°．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，正确的画出图形是解题的关键．
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