2021-2022学年北京师大附中七年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京师大附中七年级（上）期中数学试卷【含解析】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，化简求值，解方程，探究题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣C．D．﹣2
2．（3分）北京大兴国际机场于2019年9月25日正式投入使用，新机场的运行将进一步满足北京地区的航空运输需求，增强国家民航竞争力，促进南北城区的均衡发展和京津冀协同发展．根据规划，2022年大兴国际机场客流量将达到4500万人次．4500用科学记数法表示为（ ）
A．45×102B．4.5×103C．4.5×102D．4.5×104
3．（3分）若x＝2是关于x的方程2x+3m﹣1＝0的解，则m的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3x2﹣x2＝3B．﹣3a2﹣2a2＝﹣a2
C．3（a﹣1）＝3a﹣1D．﹣2（x+1）＝﹣2x﹣2
5．（3分）点A在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧，若将点A向右移动5个单位长度到点B，此时点B表示的数是（ ）
A．2B．﹣2C．8D．﹣8
6．（3分）下列等式变形正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a+3＝b﹣3
B．如果3a﹣7＝5a，那么3a+5a＝7
C．如果3x＝﹣3，那么6x＝﹣6
D．如果2x＝3，那么x＝
7．（3分）下列比较两个有理数的大小正确的是（ ）
A．﹣3＞﹣1B．C．D．
8．（3分）下列各式中，去括号正确的是（ ）
A．x+2（y﹣1）＝x+2y﹣1B．x﹣2（y﹣1）＝x+2y+2
C．x﹣2（y﹣1）＝x﹣2y+2D．x﹣2（y﹣1）＝x﹣2y﹣2
9．（3分）把方程3x+＝3﹣去分母正确的是（ ）
A．3x+2（2x﹣1）＝3﹣3（x+1）
B．3x+（2x﹣1）＝3﹣（x+1）
C．18x+（2x﹣1）＝18﹣（x+1）
D．18x+2（2x﹣1）＝18﹣3（x+1）
10．（3分）已知k为非负整数，且关于x的方程3（x﹣3）＝kx的解为正整数，则k的所有可能取值为（ ）
A．4，6，12B．4，6C．2，0D．2，0，﹣6
二、填空题（每空2分，共20分）
11．（2分）绝对值等于2的数是 ．
12．（2分）在一次立定跳远测试中，合格的标准是2.00m，小明跳出了2.12m，记为+0.12m；小敏跳出了1.96m，记为 m．
13．（2分）如果单项式y与2x4yn+3是同类项，那么nm的值是 ．
14．（2分）用四舍五入法将3.886精确到0.01，所得到的近似数为 ．
15．（2分）已知多项式（m﹣1）x4﹣xn+2x﹣5是三次三项式，则（m+1）n＝ ．
16．（2分）若（x+3）2与|y﹣2|互为相反数，则xy的值为 ．
17．（4分）用“△”定义新运算：对于任意有理数a、b，当a≤b时，都有a△b＝a2b；当a＞b时，都有a△b＝ab2，那么，2△6＝ ；＝ ．
18．（4分）我们知道，，…
因此关于x的方程＝120的解是 ；
当于x的方程＝2021的解是 （用含n的式子表示）．
三、计算题（每小题4分，共16分）
19．（4分）计算：（﹣7）+（+5）﹣（﹣19）﹣（+7）．
20．（4分）计算：19×+（﹣1.5）÷（﹣3）2．
21．（4分）计算：﹣18×（﹣+）
22．（4分）．
四、化简求值（每小题4分，共12分）
23．（4分）化简：3a2﹣2a+3﹣4a2﹣7a﹣6．
24．（4分）先化简，再求值：已知a2﹣1＝0，求（5a2+2a﹣1）﹣2（a+a2）的值．
25．（4分）已知x2﹣2y﹣5＝0，求3（x2﹣2xy）﹣（x2﹣6xy）﹣4y的值．
五、解方程（每小题4分，共12分）
26．（4分）解方程：．
27．（4分）解方程：4（x﹣1）﹣3（20﹣x）＝5（x﹣2）
28．（4分）．
六、探究题（每小题5分，共10分）
29．（5分）对于任意有理数a，b，定义运算：a⊙b＝a（a+b）﹣1，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，2⊙5＝2×（2+5）﹣1＝13；（﹣3）⊙（﹣5）＝﹣3×（﹣3﹣5）﹣1＝23．
（1）求（﹣2）⊙3的值；
（2）对于任意有理数m，n，请你重新定义一种运算“⊕”，使得5⊕3＝20，写出你定义的运算：m⊕n＝ （用含m，n的式子表示）．
30．（5分）一般情况下，对于数a和b，，但是对于某些特殊的数a和b，．我们把这些特殊的数a和b，称为“理想数对”，记作＜a，b＞．例如当a＝1，b＝﹣4时，有，那么＜1，﹣4＞就是“理想数对”．
（1）＜3，﹣12＞是不是“理想数对”？ ：（填“是”或“不是”）
（2）如果＜2，x＞是“理想数对”，那么x＝ ；
（3）若＜m，n＞是“理想数对”，求的值．
七、解答题：（本大题共3道小题，第1小题6分，第2小题7分，第3小题7分，共20分）
31．（6分）如图，在数轴上有A，B两点，且AB＝8，点A表示的数为6；动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．
（1）写出数轴上点B表示的数是 ；
（2）当t＝2时，线段PQ的长是 ；
（3）当0＜t＜3时，则线段AP＝ ；（用含t的式子表示）
（4）当PQ＝AB时，求t的值．
32．（7分）数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）来表示，例如f（x）＝x2+3x﹣5，并把x＝常数a时多项式的值用f（a）来表示，例如x＝1时多项式x2+3x﹣5的值记为f（1）＝12+3×1﹣5＝1．
（1）若规定f（x）＝2x﹣3．
①f（﹣1）的值是 ；
②若f（x）＝7，x的值是 ；
（2）若规定g（x）＝|x﹣2|，h（x）＝|x+3|；
①有没有能使g（x）＝h（x）成立的x的值，若有，求出此时x的值，若没有，请说明理由．
②直接写出g（x）+h（x）的最小值和此时x满足的条件．
33．（7分）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若x0是关于x的一元一次方程ax+b＝0（a≠0）的解，y0是关于y的方程的所有解的其中一个解，且x0，y0满足x0+y0＝100，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的解是x0＝99，方程y2+1＝2的所有解是y＝1或y＝﹣1，当y0＝1时，x0+y0＝100，所以y2+1＝2为一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的“友好方程”．
（1）已知关于y的方程：①2y﹣2＝4，②|y|＝2，
以上哪个方程是一元一次方程3x﹣2x﹣102＝0的“友好方程”？
请直接写出正确的序号是 ．
（2）若关于y的方程|2y﹣2|+3＝5是关于x的一元一次方程x﹣＝a+1的“友好方程”，请求出a的值．
（3）如关于y的方程2m|y﹣49|+＝m+n是关于x的一元一次方程mx+45n＝54m的“友好方程”，请直接写出的值．
2021-2022学年北京师大附中七年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣C．D．﹣2
【分析】根据相反数的意义，相反数是只有符号不同的两个数，改变﹣2前面的符号，即可得﹣2的相反数，再与每个选项比较得出答案．
【解答】解：由相反数的意义得，﹣2的相反数是2，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义．解题的关键是掌握相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．（3分）北京大兴国际机场于2019年9月25日正式投入使用，新机场的运行将进一步满足北京地区的航空运输需求，增强国家民航竞争力，促进南北城区的均衡发展和京津冀协同发展．根据规划，2022年大兴国际机场客流量将达到4500万人次．4500用科学记数法表示为（ ）
A．45×102B．4.5×103C．4.5×102D．4.5×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将4500用科学记数法表示为4.5×103，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）若x＝2是关于x的方程2x+3m﹣1＝0的解，则m的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．
【分析】根据方程的解的定义，把x＝2代入方程2x+3m﹣1＝0即可求出m的值．
【解答】解：∵x＝2是关于x的方程2x+3m﹣1＝0的解，
∴2×2+3m﹣1＝0，
解得：m＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题的关键是理解方程的解的定义，方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3x2﹣x2＝3B．﹣3a2﹣2a2＝﹣a2
C．3（a﹣1）＝3a﹣1D．﹣2（x+1）＝﹣2x﹣2
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝2x2，不符合题意；
B、原式＝﹣5a2，不符合题意；
C、原式＝3a﹣3，不符合题意；
D、原式＝﹣2x﹣2，符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（3分）点A在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧，若将点A向右移动5个单位长度到点B，此时点B表示的数是（ ）
A．2B．﹣2C．8D．﹣8
【分析】首先根据点A在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧，可得点A表示的数是﹣3；然后根据数轴上“右加左减”的规律，用点A表示的数加上5，求出点B表示的数是多少即可．
【解答】解：∵点A在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧，
∴点A表示的数是﹣3
∵将点A向右移动5个单位长度到点B，
∴此时点B表示的数是：
﹣3+5＝2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在数轴上，向右为正，向左为负．
6．（3分）下列等式变形正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a+3＝b﹣3
B．如果3a﹣7＝5a，那么3a+5a＝7
C．如果3x＝﹣3，那么6x＝﹣6
D．如果2x＝3，那么x＝
【分析】根据等式的性质和各个选项中的式子，可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：如果a＝b，那么a+3＝b+3，故选项A错误；
如果3a﹣7＝5a，那么3a﹣5a＝7，故选项B错误；
如果3x＝﹣3，那么6x＝﹣6，故选项C正确；
如果2x＝3，那么x＝，故选项D错误；
故选：C．
【点评】本题考查等式的性质，解答本题的关键是明确等式的性质，会用等式的性质解答问题．
7．（3分）下列比较两个有理数的大小正确的是（ ）
A．﹣3＞﹣1B．C．D．
【分析】根据负数的绝对值越大，这个数反而越小，可以对A、C、D进行判断；根据同分子分数大小比较的方法进行比较即可作出判断．
【解答】解：A、﹣3＜﹣1，所以A选项错误；
B、＜，所以B选项错误；
C、﹣＞﹣，所以C选项错误；
D、﹣＞﹣，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的大小比较：正数大于零，负数小于零；负数的绝对值越大，这个数反而越小．
8．（3分）下列各式中，去括号正确的是（ ）
A．x+2（y﹣1）＝x+2y﹣1B．x﹣2（y﹣1）＝x+2y+2
C．x﹣2（y﹣1）＝x﹣2y+2D．x﹣2（y﹣1）＝x﹣2y﹣2
【分析】根据去括号的方法，先去大括号，再去中括号，最后去小括号．
【解答】解：A、x+2（y﹣1）＝x+2y﹣2故A不符合题意；
B、x﹣2（y﹣1）＝x﹣2y+2，故B不符合题意；
C、x﹣2（y﹣1）＝x﹣2y+2，故C符合题意；
D、x﹣2（y﹣1）＝x﹣2y+2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．顺序为先大后小．
9．（3分）把方程3x+＝3﹣去分母正确的是（ ）
A．3x+2（2x﹣1）＝3﹣3（x+1）
B．3x+（2x﹣1）＝3﹣（x+1）
C．18x+（2x﹣1）＝18﹣（x+1）
D．18x+2（2x﹣1）＝18﹣3（x+1）
【分析】方程两边乘以6去分母得到结果，即可作出判断．
【解答】解：把方程3x+＝3﹣去分母得：18x+2（2x﹣1）＝18﹣3（x+1），
故选：D．
【点评】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时各项都要乘以各分母的最小公倍数．
10．（3分）已知k为非负整数，且关于x的方程3（x﹣3）＝kx的解为正整数，则k的所有可能取值为（ ）
A．4，6，12B．4，6C．2，0D．2，0，﹣6
【分析】方程整理后，根据方程的解为正整数确定出k的值即可．
【解答】解：方程去括号得：3x﹣9＝kx，
移项合并得：（3﹣k）x＝9，
解得：x＝，
由x为正整数，得到k＝2，0，
故选：C．
【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
二、填空题（每空2分，共20分）
11．（2分）绝对值等于2的数是 ±2 ．
【分析】根据绝对值的意义求解．
【解答】解：∵|2|＝2，|﹣2|＝2，
∴绝对值等于2的数为±2．
故答案为±2．
【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a．
12．（2分）在一次立定跳远测试中，合格的标准是2.00m，小明跳出了2.12m，记为+0.12m；小敏跳出了1.96m，记为 ﹣0.04 m．
【分析】明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中超过标准的一个为正，则另一个不到标准的就用负表示，即可解决．
【解答】解：“正”和“负”相对，所以小明跳出了2.12m，比标准多0.12m，记为+12m，小敏跳出了1.96m，比标准少0.04m，应记作﹣0.04m．
故答案为：﹣0.04．
【点评】考查了正数和负数．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．概念：用正数表示其中一种意义的量，另一种量用负数表示；特别地，在用正负数表示向指定方向变化的量时，通常把向指定方向变化的量规定为正数，而把向指定方向的相反方向变化的量规定为负数．
13．（2分）如果单项式y与2x4yn+3是同类项，那么nm的值是 4 ．
【分析】根据同类项的概念列式求出m，n，根据乘方法则计算即可．
【解答】解：由题意得，2m＝4，n+3＝1，
解得，m＝2，n＝﹣2，
则nm＝（﹣2）2＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是同类项的概念，有理数的乘方，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
14．（2分）用四舍五入法将3.886精确到0.01，所得到的近似数为 3.89 ．
【分析】把千分位上的数字6进行四舍五入即可．
【解答】解：3.886≈3.89（精确到0.01）．
故答案为3.89．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
15．（2分）已知多项式（m﹣1）x4﹣xn+2x﹣5是三次三项式，则（m+1）n＝ 8 ．
【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数；多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式进行分析即可．
【解答】解：由题意得：m＝1，n＝3，
则（m+1）n＝8．
故答案为：8
【点评】此题主要考查了多项式，关键是掌握多项式的相关定义．
16．（2分）若（x+3）2与|y﹣2|互为相反数，则xy的值为 9 ．
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列方程求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵（x+3）2与|y﹣2|互为相反数，
∴（x+3）2+|y﹣2|＝0，
又∵（x+3）2≥0，|y﹣2|≥0，
∴x+3＝0，y﹣2＝0，
解得x＝﹣3，y＝2，
∴xy＝（﹣3）2＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
17．（4分）用“△”定义新运算：对于任意有理数a、b，当a≤b时，都有a△b＝a2b；当a＞b时，都有a△b＝ab2，那么，2△6＝ 24 ；＝ ﹣6 ．
【分析】根据当a≤b时，都有a△b＝a2b；当a＞b时，都有a△b＝ab2，可以计算出所求式子的值．
【解答】解：∵2＜6，
∴2△6
＝22×6
＝4×6
＝24，
∵﹣＞﹣3，
∴
＝（﹣）×（﹣3）2
＝（﹣）×9
＝﹣6，
故答案为：24，﹣6．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是会运用新定义解答问题．
18．（4分）我们知道，，…
因此关于x的方程＝120的解是 x＝160 ；
当于x的方程＝2021的解是 x＝ （用含n的式子表示）．
【分析】先化简，再合并同类项，最后将x的系数化为，进而解决此题．
【解答】解：∵＝120，
∴（1﹣）x+．
∴＝120．
∴．
∴x＝160．
∵＝2021，
∴．
∴．
∴．
∴x＝．
故答案为：x＝160，x＝．
【点评】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解决本题的关键．
三、计算题（每小题4分，共16分）
19．（4分）计算：（﹣7）+（+5）﹣（﹣19）﹣（+7）．
【分析】先把算式化为省略加号和的形式，再把正数、负数分别相加．
【解答】解：原式＝﹣7+5+19﹣7
＝5+19﹣（7+7）
＝24﹣14
＝10．
【点评】本题考查了有理数的加减，掌握加法、减法法则是解决本题的关键．
20．（4分）计算：19×+（﹣1.5）÷（﹣3）2．
【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣×＝﹣＝2．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（4分）计算：﹣18×（﹣+）
【分析】根据乘法分配律和有理数的加减法可以解答本题．
【解答】解：﹣18×（﹣+）
＝﹣9+15+（﹣12）
＝﹣6．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
22．（4分）．
【分析】先去括号、绝对值后再从左向右进行计算．
【解答】解：原式＝2+2.5+1﹣1＝6﹣1＝4．
【点评】本题考查了有理数的加减混合运算．解题的关键是能灵活掌握去括号法则，并能求任何数的绝对值．
四、化简求值（每小题4分，共12分）
23．（4分）化简：3a2﹣2a+3﹣4a2﹣7a﹣6．
【分析】先找出同类项，再合并同类项．
【解答】解：原式＝3a2﹣4a2﹣7a﹣2a+3﹣6
＝﹣a2﹣9a﹣3．
【点评】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解决本题的关键．
24．（4分）先化简，再求值：已知a2﹣1＝0，求（5a2+2a﹣1）﹣2（a+a2）的值．
【分析】原式去括号整理后，将已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：（5a2+2a﹣1）﹣2（a+a2）＝5a2+2a﹣1﹣2a﹣2a2＝3a2﹣1，
又∵a2﹣1＝0，
∴a2＝1，
∴原式＝3a2﹣1＝3×1﹣1＝2．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．（4分）已知x2﹣2y﹣5＝0，求3（x2﹣2xy）﹣（x2﹣6xy）﹣4y的值．
【分析】首先去括号，合并同类项，化简后，再根据条件可得x2﹣2y＝5，再代入求值即可．
【解答】解：3（x2﹣2xy）﹣（x2﹣6xy）﹣4y，
＝3x2﹣6xy﹣x2+6xy﹣4y，
＝2x2﹣4y；
∵x2﹣2y﹣5＝0，
∴x2﹣2y＝5，
原式＝2（x2﹣2y）＝2×5＝10．
【点评】此题主要考查了整式的化简求值，关键是正确把整式进行化简．
五、解方程（每小题4分，共12分）
26．（4分）解方程：．
【分析】通过去分母、移项、合并同类项、x的系数化为解决此题．
【解答】解：∵，
∴﹣2x﹣3＝15．
∴﹣2x＝18．
∴x＝﹣9．
【点评】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解决本题的关键．
27．（4分）解方程：4（x﹣1）﹣3（20﹣x）＝5（x﹣2）
【分析】这是一个带括号的方程，所以要先去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解．
【解答】解：去括号得：4x﹣4﹣60+3x＝5x﹣10，
移项、合并同类项得：2x＝54，
系数化为1得：x＝27．
【点评】本题考查了解一元一次方程的步骤：去括号、移项、合并同类项和系数化为1，在去括号时一定要注意：不要漏乘方程的每一项．
28．（4分）．
【分析】方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数10，切勿漏乘不含有分母的项，另外分数线有两层意义，一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上．
【解答】解：去分母得：5（x﹣3）﹣2（4x+1）＝10
去括号得：5x﹣15﹣8x﹣2＝10
合并得：﹣3x＝27
系数化为1得：x＝﹣9．
【点评】注意在去分母时，应该将分子用括号括上．切勿漏乘不含有分母的项
六、探究题（每小题5分，共10分）
29．（5分）对于任意有理数a，b，定义运算：a⊙b＝a（a+b）﹣1，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，2⊙5＝2×（2+5）﹣1＝13；（﹣3）⊙（﹣5）＝﹣3×（﹣3﹣5）﹣1＝23．
（1）求（﹣2）⊙3的值；
（2）对于任意有理数m，n，请你重新定义一种运算“⊕”，使得5⊕3＝20，写出你定义的运算：m⊕n＝ 3m+2+n （用含m，n的式子表示）．
【分析】（1）根据a⊙b＝a（a+b）﹣1，可以求得题目中所求式子的值；
（2）根据题意只要写出一个符合要求的式子即可，这是一道开放性题目，答案不唯一．
【解答】解：（1）∵a⊙b＝a（a+b）﹣1，
∴（﹣2）⊙3
＝（﹣2）×[（﹣2）+3]﹣1
＝（﹣2）×﹣1
＝（﹣3）﹣1
＝﹣4；
（2）∵5⊕3＝20，
∴m⊕n＝3m+2+n，
故答案为：3m+2+n．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
30．（5分）一般情况下，对于数a和b，，但是对于某些特殊的数a和b，．我们把这些特殊的数a和b，称为“理想数对”，记作＜a，b＞．例如当a＝1，b＝﹣4时，有，那么＜1，﹣4＞就是“理想数对”．
（1）＜3，﹣12＞是不是“理想数对”？ 是 ：（填“是”或“不是”）
（2）如果＜2，x＞是“理想数对”，那么x＝ ﹣8 ；
（3）若＜m，n＞是“理想数对”，求的值．
【分析】（1）根据“理想数对”的运算法则进行计算判断；
（2）根据“理想数对”的运算法则列方程求解；
（3）先将原式进行去括号，合并同类项化简，然后利用“理想数对”的概念列式化简求得m与n的等量关系，从而利用整体思想代入求值．
【解答】解：（1）当a＝3，b＝﹣12时，
＝，
，
∴，
∴＜3，﹣12＞是理想数对，
故答案为：是；
（2）∵＜2，x＞是“理想数对”，
∴，
解得：x＝﹣8，
故答案为：﹣8；
（3）原式＝3（9n﹣4m﹣8n+m）﹣4m﹣16
＝27n﹣12m﹣24n+28m﹣4m﹣16
＝12m+3n﹣16，
∵＜m，n＞是“理想数对”，
∴，
整理，得：4m+n＝0，
∴原式＝3（4m+n）﹣16
＝3×0﹣16
＝﹣16．
【点评】本题考查整式的加减——化简求值，理解新定义运算法则，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“﹣”号，去掉“﹣”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键．
七、解答题：（本大题共3道小题，第1小题6分，第2小题7分，第3小题7分，共20分）
31．（6分）如图，在数轴上有A，B两点，且AB＝8，点A表示的数为6；动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．
（1）写出数轴上点B表示的数是 14 ；
（2）当t＝2时，线段PQ的长是 4 ；
（3）当0＜t＜3时，则线段AP＝ 6﹣2t ；（用含t的式子表示）
（4）当PQ＝AB时，求t的值．
【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出数轴上点B表示的数；
（2）先求出当t＝2时，P点对应的有理数为2×2＝4，Q点对应的有理数为6+1×2＝8，再根据两点间的距离公式即可求出PQ的长；
（3）先求出当0＜t＜3时，P点对应的有理数为2t＜6，再根据两点间的距离公式即可求出AP的长；
（4）由于t秒时，P点对应的有理数为2t，Q点对应的有理数为6+t，根据两点间的距离公式得出PQ＝|2t﹣（6+t）|＝|t﹣6|，根据PQ＝AB列出方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）6+8＝14．
故 数轴上点B表示的数是14；
（2）当t＝2时，P点对应的有理数为2×2＝4，Q点对应的有理数为6+1×2＝8，
8﹣4＝4．
故线段PQ的长是4；
（3）当0＜t＜3时，P点对应的有理数为2t＜6，
故AP＝6﹣2t；
（4）根据题意可得：
|t﹣6|＝×8，
解得：t＝4或t＝8．
故t的值是4或8．
故答案为：14；4；6﹣2t．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，（4）中解方程时要注意分两种情况进行讨论．
32．（7分）数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）来表示，例如f（x）＝x2+3x﹣5，并把x＝常数a时多项式的值用f（a）来表示，例如x＝1时多项式x2+3x﹣5的值记为f（1）＝12+3×1﹣5＝1．
（1）若规定f（x）＝2x﹣3．
①f（﹣1）的值是 ﹣5 ；
②若f（x）＝7，x的值是 5 ；
（2）若规定g（x）＝|x﹣2|，h（x）＝|x+3|；
①有没有能使g（x）＝h（x）成立的x的值，若有，求出此时x的值，若没有，请说明理由．
②直接写出g（x）+h（x）的最小值和此时x满足的条件．
【分析】（1）①将x的值代入求值．
②通过解一元一次方程解决此题．
（2）①根据绝对值的性质解决此题．
②通过绝对值的意义解决此题．
【解答】解：（1）①当x＝﹣1，f（﹣1）＝2×（﹣1）﹣3＝﹣5．
故答案为：﹣5．
②当f（x）＝7，则2x﹣3＝7．
∴x＝5．
故答案为：5．
（2）①若g（x）＝h（x），则|x﹣2|＝|x+3|．
∴x﹣2＝x+3或x﹣2+x+3＝0．
∴当x﹣2＝x+3，此时x不存在；
当x﹣2+x+3＝0，此时x＝．
综上：当x＝﹣时，g（x）＝h（x）．
②∵g（x）＝|x﹣2|，h（x）＝|x+3|，
∴g（x）+h（x）＝|x﹣2|+|x+3|．
∵|x﹣2|表示x在数轴上对应的点到2在数轴上对应的点的距离，
|x+3|表示x在数轴上对应的点到﹣3在数轴上对应的点的距离，
∴当﹣3≤x≤2时，g（x）+h（x）＝|x﹣2|+|x+3|取最小值5．
【点评】本题主要考查解一元一次方程、绝对值，熟练掌握一元一次方程的解法、绝对值是解决本题的关键．
33．（7分）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若x0是关于x的一元一次方程ax+b＝0（a≠0）的解，y0是关于y的方程的所有解的其中一个解，且x0，y0满足x0+y0＝100，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的解是x0＝99，方程y2+1＝2的所有解是y＝1或y＝﹣1，当y0＝1时，x0+y0＝100，所以y2+1＝2为一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的“友好方程”．
（1）已知关于y的方程：①2y﹣2＝4，②|y|＝2，
以上哪个方程是一元一次方程3x﹣2x﹣102＝0的“友好方程”？
请直接写出正确的序号是 ② ．
（2）若关于y的方程|2y﹣2|+3＝5是关于x的一元一次方程x﹣＝a+1的“友好方程”，请求出a的值．
（3）如关于y的方程2m|y﹣49|+＝m+n是关于x的一元一次方程mx+45n＝54m的“友好方程”，请直接写出的值．
【分析】（1）先求出一元一次方程3x﹣2x﹣102＝0的解，再解出2y﹣2＝4和|y|＝2，根据“友好方程”的定义判断即可；
（2）解出|2y﹣2|+3＝5得解，再解出x﹣＝a+1的解是a+3，分类讨论，令x0+y0＝100，即可求出a的值；
（3）先解出一元一次方程mx+45n＝54m的解，再根据x0+y0＝100表示出y，将y代入到方程2m|y﹣49|+＝m+n中化简即可．
【解答】解：（1）3x﹣2x﹣102＝0的解为x0＝102，
方程2y﹣2＝4的解是y＝3，x0+y0≠100；故不是“友好方程”；
方程|y|＝2的解是y＝2或y＝﹣2，当y0＝﹣2时，x0+y0＝100，故是“友好方程”，
故答案是：②
（2）方程|2y﹣2|+3＝5的解是y＝2或y＝0，一元一次方程x﹣＝a+1的解是x＝a+3，
若y0＝0，x0+y0＝100，则a+3+0＝100，解得a＝97；
若y0＝2，x0+y0＝100，则a+3+2＝100，解得a＝95；
答：a的值为97或95．
（3）mx+45n＝54m，解得＝，
∵x0+y0＝100，
∴y0＝100﹣x＝；
∵2m|y﹣49|+＝m+n
∴2m|46+﹣49|＝m+n；
∴2m||+m+n＝m+n；
即2m||＝0．
∵分母m不能为0；
∴＝0，即m＝15n；
∴＝＝16；
答：的值为16．
【点评】本题考查解一元一次方程，理解题目定义中的“友好方程”是解题的关键，再通过解一元一次方程的方法求解．
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