2021-2022学年北京市101中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市101中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）如图，△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，则AD的长是（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
3．（3分）计算x5÷x2的结果是（ ）
A．x10B．x7C．x3D．x2
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a2）3＝﹣a6B．3a2•2a3＝6a6
C．﹣a（﹣a+1）＝﹣a2+aD．a2+a3＝a5
5．（3分）在下列长度的四根木棒中，能与3cm，8cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．3cmB．5cmC．7cmD．12cm
6．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝70°，点D在BC的延长线上，∠ACD＝150°，则∠A是（ ）
A．70°B．80°C．30°D．100°
7．（3分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABD的周长为13，BE＝5，则△ABC的周长为（ ）
A．14B．18C．23D．28
8．（3分）如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，在长为3a+2，宽为2b﹣1的长方形铁片上，挖去长为2a+4，宽为b的小长方形铁片，则剩余部分面积是（ ）
A．6ab﹣3a+4bB．4ab﹣3a﹣2
C．6ab﹣3a+8b﹣2D．4ab﹣3a+8b﹣2
10．（3分）如图1，△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，把△ABC纸片沿AD对折得到△ADC，如图2，点E和点F分别为AD，AC上的动点，把△ADC纸片沿EF折叠，使得点A落在△ADC的外部，如图3所示．设∠1﹣∠2＝α，则下列等式成立的是（ ）
A．∠BAC＝αB．2∠BAC＝αC．∠BAC＝2αD．3∠BAC＝2α
二、填空题：本大题共8小题，共24分.
11．（3分）计算：x（x﹣3）＝ ．
12．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，则∠A＝ ．
13．（3分）已知一个正多边形的每个外角都等于60°，则这个正多边形是 边形．
14．（3分）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是 ．
15．（3分）如图，BE与CD交于点A，且∠B＝∠E．请添加一个条件使得△ABC≌△AED，这个条件是： （写出一个即可）．
16．（3分）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 cm．
17．（3分）若表示一种新的运算，其运算法则为＝a2+bc﹣d，则的结果为 ．
18．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝45°，CD平分∠ACB，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，且与BE交于点H，EF⊥BC于点F，且与CD交于点G．则下面的结论：①BE＝CE；②AD＝CG；③CH＝2BD；④CE＝AE+BH．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题：（本大题共8小题，共46分.第19、20、22、23题，每题5分；第21、24题，每题6分；第25、26题，每题7分）
19．（5分）先化简，再求值：（x+3）（x﹣2）+x（4﹣x），其中x＝2．
20．（5分）如图，已知AB平分∠CAD，AC＝AD．求证：∠C＝∠D．
21．（6分）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：∠O（如图1），求作：一个角，使它等于∠O．
作法：如图2：
①在∠O的两边上分别任取一点A，B；
②以点A为圆心，OA为半径画弧；以点B为圆心，OB为半径画弧；两弧交于点C；
③连接AC，BC．
所以∠C即为所求作的角．
请根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下列证明．
证明：连接AB，
∵OA＝AC，OB＝ ， ，
∴△OAB≌△CAB （ ）（填推理依据）．
∴∠C＝∠O．
22．（5分）如图，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠CAE＝144°，求∠ADB与∠ACD的度数．
23．（5分）如图所示，边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
（1）作关于△ABC关于x轴的对称图形△DEF，（其中A、B、C的对称点分别是D、E、F），并写出点D坐标；
（2）P为x轴上一点，请在图中画出使△PAB的周长最小时的点P，并直接写出此时点P的坐标．
24．（6分）【知识回顾】
我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值．
通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．
具体解题过程是：原式＝（a+3）x﹣6y+5，
∵代数式的值与x的取值无关，
∴a+3＝0，解得a＝﹣3．
【理解应用】
（1）若关于x的多项式m（2x﹣3）+2m2﹣4x的值与x的取值无关，求m值；
（2）已知A＝（2x+1）（x﹣2）﹣x（1﹣3m），B＝﹣x2+mx﹣1，且A+2B的值与x的取值无关，求m的值；
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
25．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于点D，点E在△ABC内部，连结AE，BE，CE，其中AE，BE分别平分∠BAD，∠ABD．
（1）求∠AEB的度数；
（2）试判断△BEC的形状，并说明理由．
26．（7分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点B在第一象限，△OAB为等边三角形．
（1）直接写出点B的纵坐标；
（2）如图2，OC⊥AB于点C，点C关于x轴的对称点为点D，则点D的纵坐标为 ；连接AD交OB于E，则OE的长为 ．
（3）若点P为x轴上的一个动点，连接PA，以PA为边作等边△PAQ，当OQ最短时，求Q点的纵坐标．（请先在答题纸的备用图中画出示意图，再进行求解）
2021-2022学年北京市101中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，共30分.
1．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）如图，△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，则AD的长是（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，
∴BC＝AD＝8cm．
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边是解题关键．
3．（3分）计算x5÷x2的结果是（ ）
A．x10B．x7C．x3D．x2
【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，可得答案．
【解答】解：原式＝x5﹣2＝x3，
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a2）3＝﹣a6B．3a2•2a3＝6a6
C．﹣a（﹣a+1）＝﹣a2+aD．a2+a3＝a5
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝﹣a6，符合题意；
B、原式＝6a5，不符合题意；
C、原式＝a2﹣a，不符合题意；
D、原式不能合并，不符合题意，
故选：A．
【点评】此题考查了单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（3分）在下列长度的四根木棒中，能与3cm，8cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．3cmB．5cmC．7cmD．12cm
【分析】首先设第三根木棒长为xcm，根据三角形的三边关系定理可得8﹣3＜x＜8+3，计算出x的取值范围，然后可确定答案．
【解答】解：设第三根木棒长为xcm，由题意得：8﹣3＜x＜8+3，
∴5＜x＜11，
∴C选项7cm符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝70°，点D在BC的延长线上，∠ACD＝150°，则∠A是（ ）
A．70°B．80°C．30°D．100°
【分析】根据三角形外角性质得出∠A＝∠ACD﹣∠B，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵∠B＝70°，∠ACD＝150°，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝150°﹣70°＝80°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，能熟记三角形的外角性质是解此题的关键，注意：三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
7．（3分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABD的周长为13，BE＝5，则△ABC的周长为（ ）
A．14B．18C．23D．28
【分析】利用线段的垂直平分线的性质证明△ABD的周长＝AB+AC，再求出BC＝2BC解答即可．
【解答】解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，
∴DB＝DC，BE＝EC，
∵BE＝5，
∴BC＝10，
∵△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝13，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝13+10＝23，
故选：C．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．（3分）如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称的性质和线段的性质即可得到结论．
【解答】解：根据题意得，在公路l上选取点P，使PA+PB最短．
则选项A 符合要求，
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称的性质的运用，最短路线问题数学模式的运用，综合考查了学生的作图能力，运用数学知识解决实际问题的能力．
9．（3分）如图，在长为3a+2，宽为2b﹣1的长方形铁片上，挖去长为2a+4，宽为b的小长方形铁片，则剩余部分面积是（ ）
A．6ab﹣3a+4bB．4ab﹣3a﹣2
C．6ab﹣3a+8b﹣2D．4ab﹣3a+8b﹣2
【分析】根据长方形的面积分别表示大长方形和小长方形的面积，再进行相减即可．
【解答】解：剩余部分面积：
（3a+2）（2b﹣1）﹣b（2a+4）
＝6ab﹣3a+4b﹣2﹣2ab﹣4b
＝4ab﹣3a﹣2；
故选：B．
【点评】本题考查了多项式与多项式相乘、单项式与多项式相乘，掌握这两个运算法则，去括号时注意符号的变化是解题关键．
10．（3分）如图1，△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，把△ABC纸片沿AD对折得到△ADC，如图2，点E和点F分别为AD，AC上的动点，把△ADC纸片沿EF折叠，使得点A落在△ADC的外部，如图3所示．设∠1﹣∠2＝α，则下列等式成立的是（ ）
A．∠BAC＝αB．2∠BAC＝αC．∠BAC＝2αD．3∠BAC＝2α
【分析】由等腰三角形的性质得出∠ADC＝90°，如图3，在四边形MCDE中，∠1+∠C+∠D+∠CME＝360°，可得出∠1﹣∠2＝2∠A，则可得出答案．
【解答】解：如图1，
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADC＝90°，
如图3，AC与A'E交于点M，
∵把△ADC纸片沿EF折叠，
∴∠A＝∠A'，
在四边形MCDE中，∠1+∠C+∠D+∠CME＝360°，
∴∠1＝360°﹣∠C﹣∠D﹣∠CME＝270°﹣∠CME﹣∠C，
∵∠CME＝∠A′MF，
∴∠1＝270°﹣∠A'MF﹣∠C，
∴∠1＝270°﹣（180°﹣∠2﹣∠A'）﹣（90°﹣∠A），
∴∠1﹣∠2＝2∠A，
由图1可知2∠DAC＝∠BAC，
∴∠BAC＝α．
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，四边形内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
二、填空题：本大题共8小题，共24分.
11．（3分）计算：x（x﹣3）＝ x2﹣3x ．
【分析】直接利用单项式乘以多项式计算得出答案．
【解答】解：原式＝x2﹣3x．
故答案为：x2﹣3x．
【点评】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，则∠A＝ 60° ．
【分析】根据直角三角形的性质列出方程组，解方程组得到答案．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，
则∠A+∠B＝90°，
由题意得，
解得：∠A＝60°，∠B＝30°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
13．（3分）已知一个正多边形的每个外角都等于60°，则这个正多边形是 六 边形．
【分析】多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成60°n，列方程可求解．
【解答】解：设所求正n边形边数为n，
则60°•n＝360°，
解得n＝6．
故正多边形的边数是6．
故答案为：六．
【点评】本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
14．（3分）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是 10或11 ．
【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【解答】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
∵此时能组成三角形，
∴周长＝3+3+4＝10；
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，
此时能组成三角形，
所以周长＝3+4+4＝11．
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．
故答案为：10或11．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．
15．（3分）如图，BE与CD交于点A，且∠B＝∠E．请添加一个条件使得△ABC≌△AED，这个条件是： AC＝AD（答案不唯一） （写出一个即可）．
【分析】根据三角形全等的判定方法填空．
【解答】解：已知∠B＝∠E，∠BAC＝∠EAD（对顶角相等），则添加一组对应边相等即可．
故答案是：答案不唯一，但必须是一组对应边，如：AC＝AD，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（AAS），
故答案为：AC＝AD（答案不唯一）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
16．（3分）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 18 cm．
【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行解答即可．
【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝18cm，
故答案为：18
【点评】此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行分析．
17．（3分）若表示一种新的运算，其运算法则为＝a2+bc﹣d，则的结果为 m2+m2n3 ．
【分析】根据新定义运算法则进行列式，然后先算乘方，再算乘法，最后算加减．
【解答】解：原式＝（﹣2m）2+n2•m2n﹣3m2
＝4m2+m2n3﹣3m2
＝m2+m2n3，
故答案为：m2+m2n3．
【点评】本题考查整式的混合运算，掌握幂的乘方（am）n＝amn，积的乘方（ab）n＝anbn运算法则是解题关键．
18．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝45°，CD平分∠ACB，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，且与BE交于点H，EF⊥BC于点F，且与CD交于点G．则下面的结论：①BE＝CE；②AD＝CG；③CH＝2BD；④CE＝AE+BH．其中正确结论的序号是 ①③④ ．
【分析】利用等腰直角三角形的性质可得①是正确的，利用△ABE≌△HCE可判定③④的正确；利用△ABE≌△HCE可得CH＝AB，根据等腰三角形的三线合一可知AB＝2AD，显然CH≠2CG，由此可得②不正确．
【解答】解：∵∠ACB＝45°，BE⊥AC，
∴△BEC为等腰直角三角形，
∴BE＝CE，
∴①正确；
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠DCA+∠A＝90°，∠ABE+∠A＝90°．
∴∠DCA＝∠ABE．
在△ABE和△HCE中，
，
∴△ABE≌△HCE（ASA）．
∴AB＝CH，AE＝EH．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°．
在△ACD和△BCD中，
，
∴△ACD≌△BCD（ASA）．
∴AD＝BD，
∴AB＝2BD，
∴CH＝2BD．
∴③正确；
∵BE＝BH+EH，
∴BE＝BH+AE．
∴EC＝AE+BH．
∴④正确；
∵EF⊥BC，BE＝EC，
∴EF是∠BEC的平分线，
∵EH＜EC，
∴G不是CH的中点，
即CH≠2CG，
∵CH＝2BD，
∴BD≠CG．
∴②不正确．
综上，正确的结论为：①③④．
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形是性质，角平分线的定义，证明△ABE≌△HCE是解题的关键．
三、解答题：（本大题共8小题，共46分.第19、20、22、23题，每题5分；第21、24题，每题6分；第25、26题，每题7分）
19．（5分）先化简，再求值：（x+3）（x﹣2）+x（4﹣x），其中x＝2．
【分析】直接利用多项式乘多项式以及单项式乘多项式分别化简，进而合并同类项，再把已知数据代入求出答案．
【解答】解：原式＝x2+3x﹣2x﹣6+4x﹣x2
＝5x﹣6，
当x＝2时，
原式＝5×2﹣6
＝4．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用整式乘法运算是解题关键．
20．（5分）如图，已知AB平分∠CAD，AC＝AD．求证：∠C＝∠D．
【分析】根据角平分线的定义得到∠CAB＝∠DAB，推出△ACB≌△ADB，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB＝∠DAB，
在△ACB与△ADB中，
，
∴△ACB≌△ADB，
∴∠C＝∠D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
21．（6分）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：∠O（如图1），求作：一个角，使它等于∠O．
作法：如图2：
①在∠O的两边上分别任取一点A，B；
②以点A为圆心，OA为半径画弧；以点B为圆心，OB为半径画弧；两弧交于点C；
③连接AC，BC．
所以∠C即为所求作的角．
请根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下列证明．
证明：连接AB，
∵OA＝AC，OB＝ BC ， AB＝AB ，
∴△OAB≌△CAB （ SSS ）（填推理依据）．
∴∠C＝∠O．
【分析】（1）利用直尺和圆规，补全图形即可；
（2）根据全等三角形的判定与性质即可完成证明．
【解答】解：（1）如图2，即为补全的图形；
（2）证明：连接AB，
∵OA＝AC，OB＝BC，AB＝AB，
∴△OAB≌△CAB （SSS）．
∴∠C＝∠O．
故答案为：BC，AB＝AB，边边边．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
22．（5分）如图，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠CAE＝144°，求∠ADB与∠ACD的度数．
【分析】根据角平分线的定义，由AD平分∠CAE，得∠EAD＝＝72°．根据三角形外角的性质，得∠EAD＝∠B+∠ADB，故∠ADB＝∠EAD﹣∠B＝42°．根据平角的定义，得∠CAE＝144°，那么∠BAC＝180°﹣∠CAE＝36°．根据三角形外角的性质，得∠ACD＝∠B+∠BAC＝30°+36°＝66°．
【解答】解：∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD＝＝＝72°．
∵∠EAD＝∠B+∠ADB，
∴∠ADB＝∠EAD﹣∠B＝72°﹣30°＝42°．
∵∠CAE＝144°，
∴∠BAC＝180°﹣∠CAE＝36°．
∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝30°+36°＝66°．
【点评】本题主要考查角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义、三角形外角的性质是解决本题的关键．
23．（5分）如图所示，边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
（1）作关于△ABC关于x轴的对称图形△DEF，（其中A、B、C的对称点分别是D、E、F），并写出点D坐标；
（2）P为x轴上一点，请在图中画出使△PAB的周长最小时的点P，并直接写出此时点P的坐标．
【分析】（1）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再顺次连接即可得；
（2）由AB是定值知△PAB的周长最小即PA+PB最小，据此连接BD，与x轴的交点即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，△DEF即为所求，其中点D坐标为（﹣2，﹣4）．
（2）如图所示，点P即为所求，其坐标为（2，0）．
【点评】此题主要作图﹣轴对称变换，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置及轴对称变换的性质．
24．（6分）【知识回顾】
我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值．
通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．
具体解题过程是：原式＝（a+3）x﹣6y+5，
∵代数式的值与x的取值无关，
∴a+3＝0，解得a＝﹣3．
【理解应用】
（1）若关于x的多项式m（2x﹣3）+2m2﹣4x的值与x的取值无关，求m值；
（2）已知A＝（2x+1）（x﹣2）﹣x（1﹣3m），B＝﹣x2+mx﹣1，且A+2B的值与x的取值无关，求m的值；
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【分析】（1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，故将多项式整理为（2m﹣4）x+2m2﹣3m，令x系数为0，即可求出m；
（2）根据整式的混合运算顺序和法则化简A+2B可得（5m﹣4）x﹣4，根据其值与x无关得出5m﹣4＝0，即可得出答案；
（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），即可得到S1﹣S2关于x的代数式，根据取值与x可得a＝2b．
【解答】解：（1）m（2x﹣3）+2m2﹣4x
＝2mx﹣3m+2m2﹣4x
＝（2m﹣4）x+2m2﹣3m，
∵其值与x的取值无关，
∴2m﹣4＝0，
解得，m＝2；
（2）∵A＝（2x+1）（x﹣2）﹣x（1﹣3m）＝2x2﹣3x﹣2﹣x+3mx＝2x2+（3m﹣4）x﹣2，B＝﹣x2+mx﹣1，
∴A+2B＝2x2+（3m﹣4）x﹣2+2（﹣x2+mx﹣1）
＝2x2+（3m﹣4）x﹣2﹣2x2+2mx﹣2
＝（5m﹣4）x﹣4，
∵A+2B的值与x无关，
∴5m﹣4＝0，即m＝；
（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），
∴S1﹣S2＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab，
∵当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变．
∴S1﹣S2取值与x无关，
∴a﹣2b＝0，
∴a＝2b．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出关于y的方程是解题的关键．
25．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于点D，点E在△ABC内部，连结AE，BE，CE，其中AE，BE分别平分∠BAD，∠ABD．
（1）求∠AEB的度数；
（2）试判断△BEC的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余得∠ABD+∠BAD＝90°，根据角平分线的定义得∠ABE+∠BAE＝（∠ABD+∠BAD）＝45°，由三角形的内角和定理即可求解；
（2）延长AE交BC于F，根据等腰三角形的性质可得AF⊥BC，BF＝CF，根据线段垂直平分线的性质得BE＝CE，可得∠EBC＝∠ECB，由AB＝AC得∠ABC＝∠ACB，则∠ABE＝∠ACE，可得∠ACE+∠CAE＝∠ABE+∠BAE＝45°，由三角形的内角和定理得∠AEC＝135°，根据周角的定义可得∠BEC＝90°，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵AE，BE分别平分∠BAD，∠ABD．
∴∠ABE+∠BAE＝（∠ABD+∠BAD）＝45°，
∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣（∠ABE+∠BAE）＝135°；
（2）△BEC是等腰直角三角形，理由如下：
延长AE交BC于F，
∵AB＝AC，AE平分∠BAD，
∴AF⊥BC，BF＝CF，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABE＝∠ACE，
∴∠ACE+∠CAE＝∠ABE+∠BAE＝45°，
∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠CAE＝180°﹣（∠ACE+∠CAE）＝135°，
∴∠BEC＝360°﹣∠AEB﹣∠AEC＝90°，
∴△BEC是等腰直角三角形．
【点评】本题考查了角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
26．（7分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点B在第一象限，△OAB为等边三角形．
（1）直接写出点B的纵坐标；
（2）如图2，OC⊥AB于点C，点C关于x轴的对称点为点D，则点D的纵坐标为 ﹣6 ；连接AD交OB于E，则OE的长为 2 ．
（3）若点P为x轴上的一个动点，连接PA，以PA为边作等边△PAQ，当OQ最短时，求Q点的纵坐标．（请先在答题纸的备用图中画出示意图，再进行求解）
【分析】（1）由等边三角形的性质可得AH＝OH＝4，即可求解；
（2）由等边三角形的性质和直角三角形的性质可得AC＝CH，由等腰三角形的性质可得AG＝GH＝2，可求OG＝6，可得点C纵坐标，即可求点D纵坐标，由“AAS”可证△AEO≌△DEN，可得OE＝EN＝ON＝2；
（3）由“SAS”可证△AOP≌△ABQ，可得∠AOB＝∠ABQ＝90°，即点Q在过点B且垂直AB的直线BM上运动，则当OQ'⊥BM时，OQ'有最小值，由直角三角形的性质可求OQ'＝4，Q'K＝2，即可求解．
【解答】解：（1）如图1，过点B作BH⊥AO于H，
∵点A的坐标为（0，8），
∴OA＝8，
∵△OAB为等边三角形，BH⊥AO，
∴AO＝BO＝AB＝8，AH＝OH＝4，
∴点B的纵坐标为4；
（2）过点B作BH⊥AO于H，过点C作CG⊥AO于G，连接CH，连接CD交BO于N，
∵OC⊥AB，△OAB是等边三角形，
∴AC＝BC，
∵BH⊥AO，
∴CH＝AC＝BC＝4，
又∵CG⊥AH，
∴AG＝GH＝2，
∴OG＝6，
∴点C的纵坐标为6，
∵点C关于x轴的对称点为点D，
∴点D的纵坐标﹣6，CD⊥x轴，
∴CD＝12，CD∥AO，
∴∠D＝∠OAE，∠BCN＝∠BAO＝60°，∠BNC＝∠AOB＝60°，
∴△CNB是等边三角形，
∴CN＝BC＝4＝BN＝ON，
∴ND＝8＝AO，
又∵∠AEO＝∠DEN，
∴△AEO≌△DEN（AAS），
∴OE＝EN＝ON＝2，
故答案为：﹣6，2；
（3）如图3，当点Q在AP的右侧时，连接BQ，延长QB交x轴于M，
∵△PAQ是等边三角形，
∴PA＝AQ，∠PAQ＝∠BAO＝60°，
∴∠PAO＝∠QAB，
又∵AO＝AB，
∴△AOP≌△ABQ（SAS），
∴∠AOB＝∠ABQ＝90°，
∴点Q在过点B且垂直AB的直线BM上运动，
∴当OQ'⊥BM时，OQ'有最小值，
过点Q'作Q'K⊥OM于K，
∵∠OBQ'＝180°﹣90°﹣60°＝30°，OQ'⊥BM，
∴OQ'＝OB＝4，∠BOQ'＝60°，
∴∠MOQ'＝30°，
∵Q'K⊥OM，
∴Q'K＝OQ'＝2，
∴Q'的纵坐标为﹣2，
则当OQ最短时，Q点的纵坐标为﹣2．
当点Q''在AP的左侧时，同理可求Q''点的纵坐标为﹣2．
综上所述：当OQ最短时，Q点的纵坐标为﹣2．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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