2021-2022学年北京市大兴区九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市大兴区九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共23页。试卷主要包含了填空题（共16分，每题2分，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）北京时间2021年10月16日0时23分，长征二号F运载火箭托举神舟十三号载人飞船升空，中国空间站关键技术验证阶段收官之战正式打响．长征二号F运载火箭是长征家族的明星火箭，绰号“神箭”．它的身高58米，体重497吨，运载能力超过8.1吨，起飞推力5923000牛，它是中国航天员的专属交通工具．将5923000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.5923×107B．5.923×107
C．5.923×106D．59.23×105
2．（2分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）
3．（2分）方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
4．（2分）如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为（ ）
A．∠BOFB．∠AODC．∠COED．∠COF
5．（2分）已知抛物线y＝x2﹣x﹣3经过点A（2，y1）、B（3，y2），则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．无法确定
6．（2分）用配方法解方程x2+8x﹣9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2＝﹣9B．（x+4）2＝﹣25
C．（x+4）2＝9D．（x+4）2＝25
7．（2分）将抛物线y＝x2向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，就得到抛物线（ ）
A．y＝（x+1）2+3B．y＝（x﹣1）2﹣3
C．y＝（x+1）2﹣3D．y＝（x﹣1）2+3
8．（2分）某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）随每次降价的百分率x的变化而变化，则y关于x的函数解析式是（ ）
A．y＝2（x+1）2B．y＝2（1﹣x）2C．y＝（x+1）2D．y＝（x﹣1）2
二、填空题（共16分，每题2分
9．（2分）分解因式：ab2﹣4ab+4a＝ ．
10．（2分）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a﹣2＝0有一根为0，则a＝ ．
11．（2分）已知点A（a，2）与点A′（﹣4，﹣2）关于原点对称，则a＝ ．
12．（2分）一元二次方程x2﹣3x＝0的解是 ．
13．（2分）请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，4）的抛物线的解析式 ．
14．（2分）如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得C′C∥AB，则∠BAB′等于 ．
15．（2分）抛物线y＝3（x﹣1）2+k与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），则另一个交点坐标是 ．
16．（2分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B的对应点B′的坐标为 ．
三、解答题（共68分，第17-20题每题5分，第21，22题每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题3分，第26，27题每题7分，第28题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17．（5分）解方程：x2+2x﹣8＝0．
18．（5分）已知点（k，1）是二次函数y＝3x2﹣2x图象上一点，求代数式（k﹣1）2+2（k+1）（k﹣1）+8的值．
19．（5分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），求A、B两点的坐标；
（2）在网格中、画出该函数的图象．
20．（5分）已知二次函数y＝x2+bx+c，函数y与自变量x的部分对应值如表：
（1）求该二次函数的解析式．
（2）当x为何值时y有最小值，最小值是多少？
21．（6分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．
22．（6分）在体育课掷实心球活动中，小华通过研究发现：实心球所经过的路线是一条抛物线的一部分，如果球出手处点A距离地面的高度为2m，当球运行的水平距离为6m时，达到最大高度5m的B处（如图），问实心球的落地点C与出手处点A的水平距离是多少？（结果保留根号）
23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+2x+2与y轴交于点A．
（1）点A的坐标是 ．
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，直接写出抛物线y＝x2+2x+2与直线y＝4围成的阴影图形中（不包括边界）所含的所有整点的坐标．
24．（6分）△ACB中，∠C＝90°，以点A为中心，分别将线段AB，AC逆时针旋转60°得到线段AD，AE，连接DE，延长DE交CB于点F，用等式表示线段CF与AC的数量关系，并加以证明．
25．（3分）大兴某小区为响应创建文明城市号召，引导小区居民节约用水，居委会工作人员小赵在该小区的1000个家庭中，随机统计了m个家庭的月用水情况，并绘制了如下的频数分布表（其中a为每个家庭的月用水量，单位：吨）
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）m的值为 ．
（2）计算该小区1000个家庭中月用水量a≤10的家庭大约有多少个．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣6ax﹣4（a≠0）．
（1）求抛物线的对称轴．
（2）若方程ax2﹣6ax﹣4＝0（a≠0）有两个不相等的实数根x1，x2，且2≤x1＜x2≤4，结合函数的图象，求a的取值范围．
27．（7分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，在平面内有一个点E（点E与点A，C不重合），以点C为中心，把线段CE顺时针旋转90°，得到线段CD，连接BE，AD．
（1）如图1，若点E在边AC上；
①依题意补全图形；
②设BE＝kAD，则k＝ ．
（2）如图2，若点E不在边AC上，猜想线段BE，AD之间的数量关系及位置关系，并证明．
28．（8分）定义：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A，B．点P为平面内任意一点，若PA＝PB，且∠APB≤120°时，称点P为线段AB的“居中点”．特别地，当PA＝PB，且∠APB＝120°时，又称点P为线段AB的“正居中点”．抛物线y＝x2﹣2x与x轴的正半轴交于点M．
（1）若点C是线段OM的“正居中点”，且在第一象限，则点C的坐标为（ ， ）；
（2）若点D是线段OM的“居中点”，则点D的纵坐标d的取值范围是 ．
（3）将射线OM绕点O顺时针旋转30°得到射线m，已知点E在射线m上，若在第四象限内存在点F，点F既是线段OM的“居中点”，又是线段OE的“正居中点”，求此时点E的坐标．
2021-2022学年北京市大兴区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）北京时间2021年10月16日0时23分，长征二号F运载火箭托举神舟十三号载人飞船升空，中国空间站关键技术验证阶段收官之战正式打响．长征二号F运载火箭是长征家族的明星火箭，绰号“神箭”．它的身高58米，体重497吨，运载能力超过8.1吨，起飞推力5923000牛，它是中国航天员的专属交通工具．将5923000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.5923×107B．5.923×107
C．5.923×106D．59.23×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：5923000＝5.923×106．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
2．（2分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）
【分析】由函数解析式可求得其顶点坐标．
【解答】解：
∵y＝﹣（x+1）2﹣2，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣2），
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
3．（2分）方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出△的值即可作出判断．
【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣1＝0中，Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝9+4＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
4．（2分）如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为（ ）
A．∠BOFB．∠AODC．∠COED．∠COF
【分析】两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案．
【解答】解：A、OB旋转后的对应边为OF，故∠BOF可以作为旋转角，故本选项错误；
B、OA旋转后的对应边为OD，故∠AOD可以作为旋转角，故本选项错误；
C、OC旋转后的对应边为OE，故∠COE可以作为旋转角，故本选项错误；
D、OC旋转后的对应边为OE不是OF，故∠COF不可以作为旋转角，故本选项正确；
故选：D．
【点评】此题考查了旋转的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握两对应边所组成的角都可以作为旋转角，难度一般．
5．（2分）已知抛物线y＝x2﹣x﹣3经过点A（2，y1）、B（3，y2），则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．无法确定
【分析】先求得函数y＝x2﹣x﹣3的对称轴为x＝，再判断A（2，y1）、B（3，y2）在对称轴右侧，从而判断出y1与y2的大小关系．
【解答】解：∵函数y＝x2﹣x﹣3的对称轴为x＝，
∴A（2，y1）、B（3，y2）在对称轴右侧，
∴抛物线开口向上，对称轴右侧y随x的增大而增大．
∵2＜3，
∴y1＜y2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的特征，利用已知解析式得出对称轴进而利用二次函数增减性得出是解题关键．
6．（2分）用配方法解方程x2+8x﹣9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2＝﹣9B．（x+4）2＝﹣25
C．（x+4）2＝9D．（x+4）2＝25
【分析】将常数项移到右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，然后写成完全平方式即可．
【解答】解：∵x2+8x﹣9＝0，
∴x2+8x＝9，
∴x2+8x+16＝9+16，即（x+4）2＝25，
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．（2分）将抛物线y＝x2向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，就得到抛物线（ ）
A．y＝（x+1）2+3B．y＝（x﹣1）2﹣3
C．y＝（x+1）2﹣3D．y＝（x﹣1）2+3
【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴新抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣3），
∴所得到的新的抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化求解更简便．
8．（2分）某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）随每次降价的百分率x的变化而变化，则y关于x的函数解析式是（ ）
A．y＝2（x+1）2B．y＝2（1﹣x）2C．y＝（x+1）2D．y＝（x﹣1）2
【分析】利用增长率公式得到y＝2（1﹣x）2．
【解答】解：根据题意得y＝2（1﹣x）2，
故选：B．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式：根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
二、填空题（共16分，每题2分
9．（2分）分解因式：ab2﹣4ab+4a＝ a（b﹣2）2 ．
【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
【解答】解：ab2﹣4ab+4a
＝a（b2﹣4b+4）﹣﹣（提取公因式）
＝a（b﹣2）2．﹣﹣（完全平方公式）
故答案为：a（b﹣2）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
10．（2分）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a﹣2＝0有一根为0，则a＝ 2 ．
【分析】把方程的根代入方程得到关于a的方程，求解a的值；再根据一元二次方程的定义，二次项的系数不等于0列式计算，最后得解．
【解答】解：∵方程的一个根为0，
∴（a﹣1）×02+0+a﹣2＝0，
解得a＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题关键在于注意二次项系数不等于0，也是本题容易出错的地方．
11．（2分）已知点A（a，2）与点A′（﹣4，﹣2）关于原点对称，则a＝ 4 ．
【分析】根据关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数得出答案．
【解答】解：∵点A（a，2）与点B（﹣4，﹣2）关于原点对称，
∴a的值是4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12．（2分）一元二次方程x2﹣3x＝0的解是 x1＝0，x2＝3 ．
【分析】首先利用提取公因式法分解因式，由此即可求出方程的解．
【解答】解：x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
∴x1＝0，x2＝3．
故答案为：x1＝0，x2＝3．
【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键会进行因式分解．
13．（2分）请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，4）的抛物线的解析式 y＝﹣x2+4（答案不唯一） ．
【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下a＜0，然后写出即可．
【解答】解：抛物线解析式为y＝﹣x2+4（答案不唯一）．
故答案为：y＝﹣x2+4（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，主要利用了抛物线的开口方向与二次项系数a的关系．
14．（2分）如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得C′C∥AB，则∠BAB′等于 40° ．
【分析】旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′＝∠CAC′，AC＝AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA＝∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′．
【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝70°，
∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝40°．
故答案为：40°
【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
15．（2分）抛物线y＝3（x﹣1）2+k与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），则另一个交点坐标是 （3，0） ．
【分析】求出抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性即可求出抛物线与x轴的另一个交点的坐标．
【解答】解：抛物线y＝3（x﹣1）2+k的对称轴为直线x＝1，
∵抛物线y＝3（x﹣1）2+k与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），
抛物线关于直线x＝1对称，
∴抛物线y＝3（x﹣1）2+k与x轴的另一个交点的横坐标为：1+2＝3，
∴另一个交点坐标是（3，0）．
故答案为：（3，0）．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性解答是比较常用且简单的方法．
16．（2分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B的对应点B′的坐标为 （5，2） ．
【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征求出B点坐标为（0，3），A点坐标为（2，0），则OA＝2，OB＝3，再根据旋转的性质得∠OAO′＝90°，∠AO′B′＝∠AOB＝90°，AO′＝AO＝2，O′B′＝OB＝3，然后根据点的坐标的确定方法即可得到点B′坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则B点坐标为（0，3）；
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝2，则A点坐标为（2，0），
则OA＝2，OB＝3，
∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，
∴∠OAO′＝90°，∠AO′B′＝∠AOB＝90°，AO′＝AO＝2，O′B′＝OB＝3，
即AO′⊥x轴，O′B′∥x轴，
∴点B′坐标为（5，2）．
故答案为（5，2）．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
三、解答题（共68分，第17-20题每题5分，第21，22题每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题3分，第26，27题每题7分，第28题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17．（5分）解方程：x2+2x﹣8＝0．
【分析】利用因式分解法解出方程．
【解答】解：x2+2x﹣8＝0
（x﹣2）（x+4）＝0
x﹣2＝0或x+4＝0
x1＝2，x2＝﹣4
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
18．（5分）已知点（k，1）是二次函数y＝3x2﹣2x图象上一点，求代数式（k﹣1）2+2（k+1）（k﹣1）+8的值．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将点（k，1）代入y＝3x2﹣2x，得到3k2﹣2k＝1，代入变形后的代数式即可求得结果．
【解答】解：∵点（k，1）是二次函数y＝3x2﹣2x图象上一点，
∴3k2﹣2k＝1，
∴（k﹣1）2+2（k+1）（k﹣1）+8
＝k2﹣2k+1+2k2﹣2+8
＝3k2﹣2k+7
＝8．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上所有的点的坐标均满足该二次函数的关系式．
19．（5分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），求A、B两点的坐标；
（2）在网格中、画出该函数的图象．
【分析】（1）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，解这个方程即可得到A，B的横坐标；
（2）利用描点法画出函数的图象．
【解答】解：令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
解这个方程得：x1＝1，x2＝3．
∵A点在B点左侧，
∴A（1，0），B（3，0）．
（2）利用描点法画出函数的图象如图：
【点评】本题主要考查了二次函数的图象，抛物线与x轴的交点，令y＝0，解一元二次方程即可得到A，B的横坐标是解题的关键．
20．（5分）已知二次函数y＝x2+bx+c，函数y与自变量x的部分对应值如表：
（1）求该二次函数的解析式．
（2）当x为何值时y有最小值，最小值是多少？
【分析】（1）根据表格中的数据可以求得二次函数的解析式；
（2）根据表格中的数据即可得到结论．
【解答】解：（1）由表格可知，二次函数图象的顶点为（1，﹣4），
∴﹣＝﹣＝1，
∴b＝﹣2，
∵图象经过点（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）当x＝1时，y有最小值，最小值为﹣4．
【点评】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
21．（6分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．
【分析】（1）由Δ＞0得到关于m的不等式，解之得到m的范围，根据一元二次方程的定义求得答案；
（2）由（1）知m＝0，可得方程﹣x2+2x+2＝0，利用配方法求解可得．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+2＝0有两个不相等的实数根，
∴m﹣1≠0，Δ＝22﹣4（m﹣1）×2＞0，
解得：m＜且m≠1，
则m的取值范围是m＜且m≠1；
（2）由（1）知m＝0，
则方程为﹣x2+2x+2＝0，
即（x﹣1）2＝3，
解得x1＝1+，x2＝1﹣．
∴方程的根为x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．
22．（6分）在体育课掷实心球活动中，小华通过研究发现：实心球所经过的路线是一条抛物线的一部分，如果球出手处点A距离地面的高度为2m，当球运行的水平距离为6m时，达到最大高度5m的B处（如图），问实心球的落地点C与出手处点A的水平距离是多少？（结果保留根号）
【分析】先建立如图所示平面直角坐标系，结合顶点B坐标设出其解析式，再将A坐标代入求出其解析式，继而令y＝0求出x的值，从而得出答案．
【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示：
则A（0，2）、B（6，5），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+5，
∵A（0，2）在抛物线上，
∴36a+5＝2，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣6）2+5，
令y＝0，
∴x1＝6﹣2（舍），x2＝6+2，
∴OC＝6+2，
答：实心球的落地点C与出手处点A的水平距离是（6+2）m．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立合适的平面直角坐标系，并据此利用待定系数法求出其解析式．
23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+2x+2与y轴交于点A．
（1）点A的坐标是 （0，2） ．
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，直接写出抛物线y＝x2+2x+2与直线y＝4围成的阴影图形中（不包括边界）所含的所有整点的坐标．
【分析】（1）令x＝0，求得对应的函数值即可；
（2）画出函数的图象，根据图象即可求得．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝x2+2x+2得，y＝2，
∴A（0，2）；
故答案为：（0，2）；
（2）∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，
∴开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，﹣1），
画出函数图象如图，
由图象可知，抛物线y＝x2+2x+2与直线y＝4围成的阴影图形中（不包括边界）所含的所有整点为（0，3），（﹣1，2），（﹣1，3），（﹣2，3）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
24．（6分）△ACB中，∠C＝90°，以点A为中心，分别将线段AB，AC逆时针旋转60°得到线段AD，AE，连接DE，延长DE交CB于点F，用等式表示线段CF与AC的数量关系，并加以证明．
【分析】首先证明△ADE≌△ABC（SAS），得∠AED＝∠C＝90°，再证明Rt△AEF≌Rt△ACF（HL），得∠CAF＝，从而解决问题．
【解答】解：线段CF与AC的数量关系是：CF＝AC，理由如下：
如图，连接AF，
∵∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠EAD＝∠CAB，
∵AD＝AB，AE＝AC，
在△ADE和△ABC中，
，
∴△ADE≌△ABC（SAS），
∴∠AED＝∠C＝90°，
∴∠AEF＝90°，
在Rt△AEF和Rt△ACF中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△ACF（HL），
∴∠CAF＝，
在Rt△ACF中，CF＝，且AC2+CF2＝AF2，
∴CF＝AC．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，证明∠CAF＝30°是解题的关键．
25．（3分）大兴某小区为响应创建文明城市号召，引导小区居民节约用水，居委会工作人员小赵在该小区的1000个家庭中，随机统计了m个家庭的月用水情况，并绘制了如下的频数分布表（其中a为每个家庭的月用水量，单位：吨）
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）m的值为 50 ．
（2）计算该小区1000个家庭中月用水量a≤10的家庭大约有多少个．
【分析】（1）把所有的频数相加即可得出答案；
（2）用总户数乘以用水量a≤10的家庭所占的百分比即可．
【解答】解：（1）m＝8+20+14+6+2＝50；
故答案为：50；
（2）×1000＝560（个），
答：该小区1000个家庭中月用水量a≤10的家庭大约有560个．
【点评】此题考查了频数（率）分布表，从表中得到必要的数据是解题的关键，同时也考查了用样本估计总体．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣6ax﹣4（a≠0）．
（1）求抛物线的对称轴．
（2）若方程ax2﹣6ax﹣4＝0（a≠0）有两个不相等的实数根x1，x2，且2≤x1＜x2≤4，结合函数的图象，求a的取值范围．
【分析】（1）将抛物线化为顶点式求解．
（2）将（2，0）与（3，0）分别代入解析式求a的值，根据图象求解．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣6ax﹣4＝a（x﹣3）2﹣9a﹣4，
∴抛物线对称轴为直线x＝3．
（2）把（2，0）代入y＝ax2﹣6ax﹣4得0＝﹣8a﹣4，
解得a＝﹣，
把（3，0）代入y＝ax2﹣6ax﹣4得0＝﹣9a﹣4，
解得a＝﹣，
结合图象可得﹣≤a＜﹣．
【点评】本题考查含参二次函数，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．
27．（7分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，在平面内有一个点E（点E与点A，C不重合），以点C为中心，把线段CE顺时针旋转90°，得到线段CD，连接BE，AD．
（1）如图1，若点E在边AC上；
①依题意补全图形；
②设BE＝kAD，则k＝ 1 ．
（2）如图2，若点E不在边AC上，猜想线段BE，AD之间的数量关系及位置关系，并证明．
【分析】（1）①根据题意即可补全图形；
②利用SAS证明△BCE≌△ACD，可得BE＝AD，进而可得k的值；
（2）根据题意利用SAS证明△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠CAD＝∠CBE．进而可得BE＝AD，BE⊥AD．
【解答】解：（1）①如图1，△ACD即为补全图形；
②在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD．
则k＝1．
故答案为：1．
（2）BE＝AD；BE⊥AD．理由如下：
设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，如图2．
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE．
∵∠BFC＝∠AFG，∠BFC+∠CBE＝90°，
∴∠AFG+∠CAD＝90°．
∴∠AGF＝90°．
∴BE⊥AD．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
28．（8分）定义：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A，B．点P为平面内任意一点，若PA＝PB，且∠APB≤120°时，称点P为线段AB的“居中点”．特别地，当PA＝PB，且∠APB＝120°时，又称点P为线段AB的“正居中点”．抛物线y＝x2﹣2x与x轴的正半轴交于点M．
（1）若点C是线段OM的“正居中点”，且在第一象限，则点C的坐标为（ ， 1 ）；
（2）若点D是线段OM的“居中点”，则点D的纵坐标d的取值范围是 d≥1或d≤﹣1 ．
（3）将射线OM绕点O顺时针旋转30°得到射线m，已知点E在射线m上，若在第四象限内存在点F，点F既是线段OM的“居中点”，又是线段OE的“正居中点”，求此时点E的坐标．
【分析】（1）由“正居中点”的定义可知，△OMC是等腰三角形，且顶角是120°；由抛物线y＝x2﹣2x与x轴的正半轴交于点M，所以M（2，0），ON＝MN＝，CN＝1，即C（，1）．
（2）由（1）知，当线段OM的“正居中点”在第一象限内时，点C的坐标为（，1），若线段OM的“正居中点”在第四象限内时，点的坐标为（，﹣1），则若点D是线段OM的“居中点”，则点D的纵坐标d的取值范围是d≥1或d≤﹣1，
（3）由题意可知，∠FOE＝30°，∠NOF＝60°，所以F（，﹣3），过点F作FD⊥y轴于点D，延长DF交OE于点E，交点E即为所求．所以DF＝ON＝，OD＝DF＝3，DE＝OD＝3，所以E（3，﹣3）．
【解答】解：（1）如图，
∵点C是线段OM的“正居中点”，
∴CO＝CM，且∠OCM＝120°，CN⊥OM，
∴点C在OM的垂直平分线上，
∴∠OCM＝∠MCN＝30°，∠OCN＝∠MCN＝60°，
∴CN＝ON，
∵抛物线y＝x2﹣2x与x轴的正半轴交于点M，
∴M（2，0），
∴ON＝MN＝，
∴CN＝1，即C（，1）．
故答案为：，1．
（2）由（1）知，当线段OM的“正居中点”在第一象限内时，点C的坐标为（，1），
∴若点D是线段OM的“居中点”，且点D在第一象限内时，d≥1；
由对称可知，若线段OM的“正居中点”在第四象限内时，点的坐标为（，﹣1），
∴若点D是线段OM的“居中点”，且点D在第四象限内时，d≤﹣1；
∴若点D是线段OM的“居中点”，则点D的纵坐标d的取值范围是d≥1或d≤﹣1，
故答案为：d≥1或d≤﹣1．
（3）∵点F是线段OM的“居中点”，且点F在第四象限内，
∴点F的坐标可设为（，m），且m＜0，
∵点F是线段OE的“正居中点”，
∴∠FOE＝30°，
由旋转可知，∠NOF＝60°，
∴F（，﹣3），
过点F作FD⊥y轴于点D，延长DF交OE于点E，交点E即为所求．
∴∠ODF＝90°，
∵∠NOF＝60°，∠NOE＝30°，
∴∠DOF＝30°，∠DOE＝60°，
∴∠OFD＝60°，∠OFE＝120°，∠OED＝30°，
∵DF＝ON＝，
∴OD＝DF＝3，DE＝OD＝3，
∴E（3，﹣3）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/22 19:15:27；用户：菁优校本题库；邮箱：2471@xyh.cm；学号：56380052x
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月用水量a/吨
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