2021-2022学年北京市东城区景山学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市东城区景山学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共32页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）六个学生进行投篮比赛，投进的个数分别为2，3，3，5，10，13，这六个数的中位数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2分）下列各图中，表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等B．两条对角线互相平分
C．两条对角线互相垂直D．两条对角线相等
4．（2分）菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（4，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（ ）
A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（1，﹣2）D．（1，2）
5．（2分）若正方形的对角线长为2cm，则这个正方形的面积为（ ）
A．4cm2B．2cm2C．D．
6．（2分）下列各点中在函数的图象上的是（ ）
A．（3，﹣2）B．（，3）C．（﹣4，1）D．（5，）
7．（2分）一鞋店试销一种新款女鞋，试销期间卖出情况如下表：
对于这个鞋店的经理来说最关心哪种型号鞋畅销，则下列统计量对鞋店经理来说最有意义的是（ ）
A．平均数B．中位数C．方差D．众数
8．（2分）图（1）是饮水机的图片．打开出水口，饮水桶中水面由图（1）的位置下降到图（3）的位置的过程中，如果水减少的体积是y，水面下降的高度是x，那么能够表示y与x之间函数关系的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题2分，共20分）
9．（2分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.4环，方差分别是＝0.90，＝1.22，＝0.43，＝1.68，在本次射击测试中，成绩最稳定的是 （填甲、乙、丙、丁）．
10．（2分）小丽在本学期的数学成绩分别为：平时成绩为85分，期中考试成绩为80分，期末考试成绩为90分，按照平时、期中、期末所占比例为40%，20%，40%计算，小丽本学期的总评成绩应该是 分．
11．（2分）写出同时具备下列两个条件：（1）y随着x的增大而减小；（2）图象经过点（0，﹣3）的一次函数表达式：（写出一个即可） ．
12．（2分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝2.5cm，则矩形对角线BD的长为 cm．
13．（2分）一次函数y＝﹣2x﹣1的图象不经过第 象限．
14．（2分）将直线y＝2x﹣1向上平移4个单位，平移后所得直线的解析式为 ．
15．（2分）如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A，B两点，则关于x的不等式kx+b＜0的解集是 ．
16．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．如果E、F分别是AD、BC上的点，且EF经过AC中点O，G，H是对角线AC上的点．下列判断正确的有 ．（填序号）
①在AC上存在无数组G、H，使得四边形EGFH是平行四边形；
②在AC上存在无数组G、H，使得四边形EGFH是矩形；
③在AC上存在无数组G、H，使得四边形EGFH是菱形；
④当AG＝时，存在E、F、H，使得四边形EGFH是正方形．
三、解答题（本题共68分，第17-20题每题5分，21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）
17．（5分）下面是小明设计的“作一个以已知线段为对角线正方形”的尺规作图过程．
已知：线段AC
求证：四边形ABCD为正方形
作法：如图，
①作线段AC的垂直平分线MN交AC于点O；
②以点O为圆心CO长为半径画圆，交直线MN于点B，D；
③顺次连接AB，BC，CD，DA；
所以四边形ABCD为所作正方形．
根据小明设计的尺规作图过程，完成以下任务．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵OA＝OB，OC＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形．（ ）（填写推理依据）
∵OA＝OB＝OC＝OD即AC＝BD．
∴平行四边形ABCD为 （ ）（填写推理依据）．
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为正方形（ ）．（填写推理依据）
18．（5分）已知：一次函数的图象经过点A（4，6）和B（1，3）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）若点C（m，5）在一次函数图象上，求m的值．
19．（5分）在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形EBFD是矩形．
（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
20．（5分）已知一次函数y＝﹣2x+4，一次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）直接写出点A、B的坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出函数图象；
（3）当﹣1≤x＜3时，直接写出y的取值范围．
21．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
22．（6分）已知直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集．
23．（5分）如图，一次函数y＝x+3的图象分别与x轴和y轴交于C，A两点，且与正比例函数y＝kx的图象交于点B（﹣1，m）．
（1）求m的值；
（2）求正比例函数的表达式；
（3）点D是一次函数图象上的一点，且△OCD的面积是4，求点D的坐标．
24．（6分）某通讯公司推出①②两种收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种没有月租费，且两种收费方式的通话时间x（分钟）与收费y（元）的关系如图所示：
（1）分别求出①②两种方案的收费y（元）与通话时间x（分钟）之间的函数关系式．
（2）当x值为多少时两种方案收费相等．
（3）选择哪种收费方案更合算？
25．（5分）某校为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，从七、八两个年级各随机抽取40名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．七年级40名学生成绩的频数分布统计表如下．
b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：
70 71 71 72 73 74 74 75 76 77 78 79 79
c．七、八两个年级成绩的平均分、中位数、众数和方差如下．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中n的值；
（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属年级排在前20名，由表中数据可知该学生是 年级的学生．（填“七”或“八”）
（3）根据以上信息，你认为七、八两个年级中，哪个年级学生了解垃圾分类知识的情况较好，请说明理由．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，﹣4），且与直线y＝2x互相平行．
（1）求直线y＝kx+b的表达式及点A的坐标；
（2）将直线y＝kx+b在x轴下方的部分沿x轴翻折，直线的其余部分不变，得到一个新图形为G，若直线y＝ax﹣1与G恰有一个公共点，直接写出a的取值范围．
27．（7分）如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，连接FC．
（1）求证：∠FBC＝∠CDF．
（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG．
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段DF，BF，CG之间的数量关系并加以证明．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离“，记作d（M，N）．特别的，当图形M，N有公共点时，记作d（M，N）＝0．
一次函数y＝kx+2的图象为L，L与y轴交点为D，△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）．
（1）求d（点D，△ABC）＝ ；当k＝1时，求d（L，△ABC）＝ ；
（2）若d（L，△ABC）＝0，直接写出k的取值范围；
（3）函数y＝x+b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤1，求出b的取值范围．
2021-2022学年北京市东城区景山学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题只有一个选项符合题意，每小题2分，共16分）.
1．（2分）六个学生进行投篮比赛，投进的个数分别为2，3，3，5，10，13，这六个数的中位数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】将这组数据是按从小到大的顺序排列为2，3，3，5，10，13，处于3，4位的两个数是3，5，那么由中位数的定义可知．
【解答】解：六个数的中位数为（3+5）÷2＝4．
故选：B．
【点评】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平数），叫做这组数据的中位数．
2．（2分）下列各图中，表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的概念判断可得．
【解答】解：如图所示，在B、C、D三个选项中，在x允许的取值范围内，x任取一个数值，函数y都有2个值与之对应，不符合函数的概念，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的概念，函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
3．（2分）矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等B．两条对角线互相平分
C．两条对角线互相垂直D．两条对角线相等
【分析】根据矩形的平行四边形的性质判断即可．
【解答】解：A、平行四边形与矩形都具有两组对边分别相等的性质，故A不符合题意；
B、平行四边形与矩形都具有两条对角线互相平分的性质，故B不符合题意；
C、平行四边形与矩形都不具有两条对角线互相垂直的性质，故C不符合题意；
D、平行四边形的两条对角线不相等，矩形具有两条对角线相等的性质，故D符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和平行四边形的性质解答．
4．（2分）菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（4，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（ ）
A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（1，﹣2）D．（1，2）
【分析】根据菱形的性质求出OD＝OC＝2，OB＝OA＝1，即可得出点B的坐标．
【解答】解：连接AB交OC于D，如图所示：
点C的坐标是（4，0），点A的纵坐标是1，
∴OC＝4，OA＝1，
∵四边形OACB是菱形，
∴OC⊥AB，OD＝OC＝2，OB＝OA＝1，
∴点B的坐标是（2，﹣1）；
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键．
5．（2分）若正方形的对角线长为2cm，则这个正方形的面积为（ ）
A．4cm2B．2cm2C．D．
【分析】由正方形是菱形的特殊情况，根据菱形的面积等于对角线积的一半求解即可求得答案．
【解答】解：∵正方形的对角线长为2cm，
∴这个正方形的面积为：×2×2＝2（cm2）．
故选：B．
【点评】此题考查了正方形的性质．注意理解正方形是菱形的特殊情况，结合菱形的性质求解是关键．
6．（2分）下列各点中在函数的图象上的是（ ）
A．（3，﹣2）B．（，3）C．（﹣4，1）D．（5，）
【分析】将选项中的坐标代入已知函数的解析式中，能使左右两边相等的即为正确选项．
【解答】解：∵当x＝3时，y＝×3+3≠﹣2，
∴点（3，﹣2）不在函数的图象上；
∵当x＝时，y＝×+3≠3，
∴点（，3）不在函数的图象上；
∵当x＝﹣4时，y＝×（﹣4）+3＝1，
∴点（﹣4，1）在函数的图象上；
∵当x＝5时，y＝×5+3≠，
∴点（5，）不在函数的图象上．
综上，在函数的图象上的点是（﹣4，1）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，利用满足在函数图象上点的坐标的特征解答是解题的关键．
7．（2分）一鞋店试销一种新款女鞋，试销期间卖出情况如下表：
对于这个鞋店的经理来说最关心哪种型号鞋畅销，则下列统计量对鞋店经理来说最有意义的是（ ）
A．平均数B．中位数C．方差D．众数
【分析】鞋店的经理最关心的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最大的鞋号．
【解答】解：由于众数是数据中出现最多的数，鞋店的经理最关心的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最多的鞋号．故鞋店的经理最关心的是众数．
故选：D．
【点评】本题考查学生对统计量的意义的理解与运用．要求学生对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
8．（2分）图（1）是饮水机的图片．打开出水口，饮水桶中水面由图（1）的位置下降到图（3）的位置的过程中，如果水减少的体积是y，水面下降的高度是x，那么能够表示y与x之间函数关系的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意和图形，可以得到y与x的函数关系式，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
水桶的底面积S不变，
则y＝xS，
即y时关于x的正比例函数，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式．
二、填空题（每题2分，共20分）
9．（2分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.4环，方差分别是＝0.90，＝1.22，＝0.43，＝1.68，在本次射击测试中，成绩最稳定的是 丙 （填甲、乙、丙、丁）．
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，找出方差最小的即可．
【解答】解：∵＝0.90，＝1.22，＝0.43，＝1.68，
∴＞＞＞，
∴成绩最稳定的是丙；
故答案为：丙．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
10．（2分）小丽在本学期的数学成绩分别为：平时成绩为85分，期中考试成绩为80分，期末考试成绩为90分，按照平时、期中、期末所占比例为40%，20%，40%计算，小丽本学期的总评成绩应该是 86 分．
【分析】根据加权平均数的计算公式即可求解．
【解答】解：小丽本学期的总评成绩是：
85×40%+80×20%+90×40%
＝34+16+36
＝86（分）．
故答案为：86．
【点评】本题考查的是加权平均数的求法．解题的关键是掌握加权平均数的定义．
11．（2分）写出同时具备下列两个条件：（1）y随着x的增大而减小；（2）图象经过点（0，﹣3）的一次函数表达式：（写出一个即可） y＝﹣x﹣3 ．
【分析】y随着x的增大而减小，则x的系数小于0，图象经过点（0，﹣3），代入y＝kx+b中确定函数的表达式，答案不唯一．
【解答】解：设函数表达式为y＝kx+b，
∵y随着x的增大而减小，
∴k＜0
∴可设k＝﹣1，将（0，﹣3）代入函数式y＝x+b中，
可得﹣3＝b，
即b＝﹣3，
∴函数式为y＝﹣x﹣3．
故答案为：y＝﹣x﹣3
【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解决问题的关键是根据一次函数的性质，确定x系数的取值范围，利用所经过的点得到一次函数表达式．
12．（2分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝2.5cm，则矩形对角线BD的长为 5 cm．
【分析】根据矩形性质得出AC＝BD，OA＝OB，求出∠AOB＝60°，得出△AOB是等边三角形，求出∠ADB＝30°，得出AC＝BD＝2AB＝5cm即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，BO＝DO＝BD，∠BAD＝90°，
∴OA＝OB，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO＝60°，∠ADB＝30°，
∴AC＝BD＝2AB＝5（cm）．
故答案为：5．
【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握矩形的性质，证明△AOB是等边三角形是解决问题的关键．
13．（2分）一次函数y＝﹣2x﹣1的图象不经过第 一 象限．
【分析】根据一次函数的性质和题目中的函数解析式，即可得到该函数图象不经过哪个象限．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x﹣1，
∴该函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故答案为：一．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
14．（2分）将直线y＝2x﹣1向上平移4个单位，平移后所得直线的解析式为 y＝2x+3 ．
【分析】直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，直线y＝2x﹣1向上平移4个单位，所得直线解析式是：y＝2x﹣1+4，即y＝2x+3，
故答案为：y＝2x+3．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
15．（2分）如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A，B两点，则关于x的不等式kx+b＜0的解集是 x＜﹣2 ．
【分析】看在x轴下方的函数图象所对应的自变量的取值即可．
【解答】解：由图象可以看出，x轴下方的函数图象所对应自变量的取值为x＜﹣2，
则不等式kx+b＜0的解集是x＜﹣2．
故答案为：x＜﹣2．
【点评】考查一次函数与一元一次不等式解集的关系；理解函数值小于0的解集是x轴下方的函数图象所对应的自变量的取值是解决本题的关键．
16．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．如果E、F分别是AD、BC上的点，且EF经过AC中点O，G，H是对角线AC上的点．下列判断正确的有 ①②③④ ．（填序号）
①在AC上存在无数组G、H，使得四边形EGFH是平行四边形；
②在AC上存在无数组G、H，使得四边形EGFH是矩形；
③在AC上存在无数组G、H，使得四边形EGFH是菱形；
④当AG＝时，存在E、F、H，使得四边形EGFH是正方形．
【分析】由平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定依次判断可求解．
【解答】解：①在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是平行四边形，故该说法正确；
②在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是矩形，故该说法正确；
③在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是菱形，故该说法正确；
④当AG＝时，存在E、F、H，使得四边形EGFH是正方形，
故答案为①②③④．
【点评】本题考查了正方形的性质判定，矩形的判定，菱形的判定和平行四边形的判定，掌握这些判定方法是本题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-20题每题5分，21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）
17．（5分）下面是小明设计的“作一个以已知线段为对角线正方形”的尺规作图过程．
已知：线段AC
求证：四边形ABCD为正方形
作法：如图，
①作线段AC的垂直平分线MN交AC于点O；
②以点O为圆心CO长为半径画圆，交直线MN于点B，D；
③顺次连接AB，BC，CD，DA；
所以四边形ABCD为所作正方形．
根据小明设计的尺规作图过程，完成以下任务．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵OA＝OB，OC＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形．（ 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ）（填写推理依据）
∵OA＝OB＝OC＝OD即AC＝BD．
∴平行四边形ABCD为 矩形 （ 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ）（填写推理依据）．
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为正方形（ 对角线互相垂直的矩形是正方形 ）．（填写推理依据）
【分析】（1）按题目要求作图即可得；
（2）根据平行四边形、矩形、正方形的判定求解可得．
【解答】解：（1）如图所示，正方形ABCD即为所求．
（2）∵OA＝OB，OC＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵OA＝OB＝OC＝OD即AC＝BD．
∴平行四边形ABCD为矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形）．
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为正方形（对角线互相垂直的矩形是正方形）．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，矩形，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，对角线互相垂直的矩形是正方形．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握平行四边形、矩形、正方形的判定．
18．（5分）已知：一次函数的图象经过点A（4，6）和B（1，3）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）若点C（m，5）在一次函数图象上，求m的值．
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）把点C（m，5）代入y＝x+2得到关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，
把点A（4，6）和B（1，3）分别代入得，
解得，
所以一次函数解析式为y＝x+2；
（2）∵点C（m，5）在一次函数图象上，
∴5＝m+2，
解得m＝3．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），再把两组对应值代入得到k、b的方程组，然后解方程组可得到一次函数解析式．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
19．（5分）在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形EBFD是矩形．
（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出DC∥AB，即DF∥BE，根据平行四边形的判定得出四边形DEBF为平行四边形，根据矩形的判定得出即可；
（2）根据矩形的性质求出∠DEB＝90°，根据勾股定理求出AD，求出AD＝DF，推出∠DAF＝∠DFA，求出∠DAF＝∠BAF，即可得出答案．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，即DF∥BE，
又∵DF＝BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形DEBF为矩形；
（2）∵四边形DEBF为矩形，
∴∠DEB＝90°，
∵AE＝3，DE＝4，DF＝5
∴AD＝＝5，
∴AD＝DF＝5，
∴∠DAF＝∠DFA，
∵AB∥CD，
∴∠FAB＝∠DFA，
∴∠FAB＝∠DFA，
∴AF平分∠DAB．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质，角平分线定义的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
20．（5分）已知一次函数y＝﹣2x+4，一次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）直接写出点A、B的坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出函数图象；
（3）当﹣1≤x＜3时，直接写出y的取值范围．
【分析】（1）分别令x，y等于0，求出对应的y，x的值即可得出结论；
（2）过A，B两点画直线AB，即为函数的图象；
（3）求出当x＝﹣1或3时的函数值，结合图象即可得出结论．
【解答】解：（1）令y＝0，则﹣2x+4＝0，
解得：x＝2．
∴A（2，0）．
令x＝0，则y＝4．
∴B（0，4）．
（2）经过A（2，0）和B（0，﹣4）画直线AB，如图，
则直线AB为一次函数y＝﹣2x+4的图象．
（3）当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）+4＝6，
当x＝3时，y＝﹣2×3+4＝﹣2，
∵﹣2＜0，
∴函数y＝﹣2x+4中y随x的增大而减小．
∴y的取值范围为：﹣2＜y≤6．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，直线与坐标轴的交点，分别令x，y等于0，求出对应的y，x的值是解题的关键．
21．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DCA，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；
（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴▱ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，
∴OA＝＝2，
∴OE＝OA＝2．
【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD＝AD＝AB是解本题的关键．
22．（6分）已知直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集．
【分析】（1）利用待定系数法把点A（5，0），B（1，4）代入y＝kx+b可得关于k、b得方程组，再解方程组即可；
（2）联立两个函数解析式，再解方程组即可；
（3）根据C点坐标可直接得到答案．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+5；
（2）∵若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，
∴．
解得，
∴点C（3，2）；
（3）根据图象可得x＞3．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息．
23．（5分）如图，一次函数y＝x+3的图象分别与x轴和y轴交于C，A两点，且与正比例函数y＝kx的图象交于点B（﹣1，m）．
（1）求m的值；
（2）求正比例函数的表达式；
（3）点D是一次函数图象上的一点，且△OCD的面积是4，求点D的坐标．
【分析】（1）把点B（﹣1，m）代入解析式即可求得；
（2）利用待定系数法即可求得；
（3）根据三角形面积求得D点到x轴的距离，即可求得D的纵坐标，代入y＝x+3即可求得横坐标．
【解答】解：（1）因为点B（﹣1，m）在一次函数y＝x+3的图象上，
所以，m＝﹣1+3＝2，
（2）因为正比例函数y＝kx图象经过点B（﹣1，2），
所以，﹣k＝2，所以，k＝﹣2，
所以，y＝﹣2x；
（3）对于y＝x+3，令y＝0得，x＝﹣3，
所以，点C的坐标为（﹣3，0），所以，OC＝3，
设点D的坐标为（x，y），
所以，|y|＝4，
所以，|y|＝|
当y＝时，＝x+3，解得x＝﹣，
所以，点D的坐标为（﹣，），
当y＝﹣时，﹣＝x+3，解得x＝﹣，
所以，点D的坐标为（﹣，﹣），
故D的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，函数图象交点坐标等知识，难度适中．
24．（6分）某通讯公司推出①②两种收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种没有月租费，且两种收费方式的通话时间x（分钟）与收费y（元）的关系如图所示：
（1）分别求出①②两种方案的收费y（元）与通话时间x（分钟）之间的函数关系式．
（2）当x值为多少时两种方案收费相等．
（3）选择哪种收费方案更合算？
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以分别求得①②两种方案的收费y（元）与通话时间x（分钟）之间的函数关系式；
（2）令（1）中的两个函数值相等，即可求出当x值为多少时两种方案收费相等；
（3）根据（2）中的结果和函数图象，可以写出当x何值时，选择哪种收费方案更合算．
【解答】解：（1）设①种方案的收费y（元）与通话时间x（分钟）之间的函数关系式是y＝kx+b，
∵点（0，30），（500，80）在此函数图象上，
∴，
解得，
即①种方案的收费y（元）与通话时间x（分钟）之间的函数关系式是y＝0.1x+30；
设②种方案的收费y（元）与通话时间x（分钟）之间的函数关系式是y＝ax，
∵点（500，100）在此函数图象上，
∴100＝500a，得a＝0.2，
即②种方案的收费y（元）与通话时间x（分钟）之间的函数关系式是y＝0.2x；
（2）令0.1x+30＝0.2x，
解得x＝300，
答：当x值为300时两种方案收费相等；
（3）由（2）中的结果和图象可得，
当0＜x＜300时，选择②种方案；
当x＝300时，两种方案一样；
当x＞300时，选择①种方案．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
25．（5分）某校为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，从七、八两个年级各随机抽取40名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．七年级40名学生成绩的频数分布统计表如下．
b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：
70 71 71 72 73 74 74 75 76 77 78 79 79
c．七、八两个年级成绩的平均分、中位数、众数和方差如下．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中n的值；
（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属年级排在前20名，由表中数据可知该学生是 七 年级的学生．（填“七”或“八”）
（3）根据以上信息，你认为七、八两个年级中，哪个年级学生了解垃圾分类知识的情况较好，请说明理由．
【分析】（1）根据中位数的定义直接求解即可；
（2）根据某生的成绩和两个年级的中位数即可得出答案；
（3）从中位数和方差两个方面进行分析，即可得出八年级学生了解垃圾分类知识的情况较好．
【解答】解：（1）∵共有40名学生，处于中间位置的是第20、21个数的平均数，
∴中位数n＝＝73.5；
（2）∵七年级的中位数是73.5分，八年级是75分，
又∵某学生的成绩是74分，在他所属年级排在前20名，
∴由表中数据可知该学生是七年级；
故答案为：七；
（3）从平均数上看，七、八年级的平均分相等，但从中位数上看，八年级的中位数大于七年级的中位数，八年级得分高的人数相对较多，
从方差上看，八年级成绩的方差较小，成绩相对稳定，综上所述，八年级的总体水平较好．
【点评】本题考查了平均数、众数、中位数和方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；众数的一组数据中出现次数最多的数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，﹣4），且与直线y＝2x互相平行．
（1）求直线y＝kx+b的表达式及点A的坐标；
（2）将直线y＝kx+b在x轴下方的部分沿x轴翻折，直线的其余部分不变，得到一个新图形为G，若直线y＝ax﹣1与G恰有一个公共点，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）与直线y＝2x互相平行，则k＝2，令y＝0即可得A的坐标值．
（2）直线平行，k相等，翻折后k值为其负数．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b与y轴交于点B（0，﹣4），且与直线y＝2x互相平行，
∴k＝2，b＝﹣4，
∴直线y＝kx+b的表达式为y＝2x﹣4；
当y＝0时，2x﹣4＝0，
∴x＝2，
∴A（2，0）；
（2）如图G，翻折后的左侧直线为：y＝﹣2x+4，直线y＝ax﹣1与y轴交点为（0．﹣1），且与G恰有一个公共点，
∴分别与G的两侧平行即为a的取值范围，左侧与直线y＝﹣2x+4平行，因此，a＜﹣2；右侧与直线y＝2x﹣4平行，因此，a≥2；当a＝时，直线y＝ax﹣1与G恰有一个公共点，也符合题意；
故a的取值范围为a＜﹣2或a≥2或a＝．
【点评】本题主要考查函数对称问题，理解对称前后一次函数系数k之间的关系是解答本题的关键．
27．（7分）如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，连接FC．
（1）求证：∠FBC＝∠CDF．
（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG．
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段DF，BF，CG之间的数量关系并加以证明．
【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；
（2）①根据题意画出图形即可；
②结论：BF＝DF+CG．利用截长补短法，构造相似三角形解决问题即可；
【解答】（1）证明：如图1中，设CD交BF于点O．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCO＝90°，
∵BF⊥DE，
∴∠OFD＝∠OCB＝90°，
∴∠FBC+∠COB＝90°，∠CDF+∠DOF＝90°，
∵∠DOF＝∠BOC，
∴∠FBC＝∠CDF．
（2）解：①如图2中，
②结论：BF＝DF+CG．
理由：在线段FB上截取FM，使得FM＝FD．
∵∠BDC＝∠MDF＝45°，
∴∠BDM＝∠CDF，
∵＝＝，
∴△BDM∽△CDF，
∴＝＝，∠DBM＝∠DCF，
∴BM＝CF，
∴∠CFE＝∠FCD+∠CDF＝∠DBM+∠BDM＝∠DMF＝45°，
∴∠EFG＝∠EFC＝45°，
∴∠CFG＝90°，
∵CF＝FG，
∴CG＝CF，
∴BM＝CG，
∴BF＝BM+FM＝CG+DF．
【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离“，记作d（M，N）．特别的，当图形M，N有公共点时，记作d（M，N）＝0．
一次函数y＝kx+2的图象为L，L与y轴交点为D，△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）．
（1）求d（点D，△ABC）＝ 1 ；当k＝1时，求d（L，△ABC）＝ ；
（2）若d（L，△ABC）＝0，直接写出k的取值范围；
（3）函数y＝x+b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤1，求出b的取值范围．
【分析】（1）根据新定义，转化为实际是求点D到点A的距离，当k＝1时，求d（L，△ABC）实际是求两条平行线之间的距离，通过作垂线，转化为直角三角形用勾股定理求得；
（2）若d（L，△ABC）＝0就是求直线L与三角形ABC由公共点，可以先考虑仅有一个公共点时k的值，然后根据一次函数的性质，求得k的取值范围；
（3）函数y＝x+b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤1就是求W到三角形ABC的距离小于或等于1，可以先求距离为1时的b的值，然后根据一次函数的性质，求得b的取值范围．
【解答】解：（1）一次函数y＝kx+2的图象与y轴交点D（0，2），
d（点D，△ABC）表示点D到△ABC的最小距离，就是点D到点A的距离，即：AD＝2﹣1＝1，
∴d（点D，△ABC）＝1
当k＝1时，直线y＝x+2，此时直线L与AB所在的直线平行，且△ABC和△DOE均是等腰直角三角形，
d（L，△ABC）表示直线L到△ABC的最小距离，就是图中的AF，
在等腰直角三角形ADF中，AD＝1，AF＝1×＝
d（L，△ABC）＝
故答案为：1，；
（2）若d（L，△ABC）＝0．说明直线L：y＝kx+2与△ABC
有公共点，因此有两种情况，即：k＞0或k＜0，仅有一个公共点时如图所示，即直线L过B点，或过C点，
此时可求出k＝2或k＝﹣2，根据直线L与△ABC有公共点，
∴k≥2或k≤﹣2，
答：若d（L，△ABC）＝0时．k的取值范围为：k≥2或k≤﹣2．
（3）函数y＝x+b的图象W与x轴、y轴交点所围成的三角形是等腰直角三角形，并且函数y＝x+b的图象与AB平行，
当d（W，△ABC）＝1时，如图所示：
在△AGM中，AG＝GM＝1，则AM＝，OM＝1+，M（0，1+）；即：b＝1+；
同理：OQ＝OP＝1+，Q（0，﹣1﹣），即：b＝﹣1﹣，
若d（W，△ABC）≤1，即b的值在M、N之间
∴﹣1﹣≤b≤1+
答：若d（W，△ABC）≤1，b的取值范围为﹣1﹣≤b≤1+．
【点评】理解新定义的意义，将新定义的问题转化为数学问题是解决问题的关键，用特殊情况下计算结果，依据函数的性质进而推算出结果，是常用的方法，同时注意分类讨论的数学思想方法．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/9/28 17:59:21；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111型号
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
数量（双）
3
5
10
15
8
3
2
成绩x
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
学生人数
3
12
13
11
1
年级
平均数
中位数
众数
方差
七
73.8
n
88
127
八
73.8
75
84
99.4
型号
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
数量（双）
3
5
10
15
8
3
2
成绩x
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
学生人数
3
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年级
平均数
中位数
众数
方差
七
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n
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