2021-2022学年北京市西城外国语学校九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市西城外国语学校九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）如图，A、B、C是⊙O上的三点，若∠C＝40°，则∠AOB的度数是（ ）
A．40°B．50°C．55°D．80°
2．（2分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）将抛物线y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2+3B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣3
C．y＝﹣2（x+1）2﹣3D．y＝﹣2（x﹣1）2+3
4．（2分）如图，在△ABC中，以点C为中心，将△ABC顺时针旋转25°得到△DEC，边DE，AC相交于点F，若∠A＝35°，则∠EFC的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．120°
5．（2分）下列关于二次函数y＝3x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（﹣1，﹣3）
B．它的图象的对称轴是直线x＝3
C．当x＝0时，y有最大值为0
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
6．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值可以是（ ）
A．﹣4B．﹣2C．0D．2
7．（2分）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（ ）
A．∠ACB＝90°B．∠BDC＝∠BAC
C．AC平分∠BADD．∠BCD+∠BAD＝180°
8．（2分）如图，点M坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（ ）
A．（0，）B．（1，）C．（2，2）D．（2，4）
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）写出一个二次函数，使得它有最大值，这个二次函数的解析式可以是 ．
10．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么b 0，c 0（填“＞”，“＝”，或“＜”）．
11．（2分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，点C和点E是对应点，若AB＝1，则BD＝ ．
12．（2分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则的长为 ．
13．（2分）如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，AC是⊙O的直径．若∠P＝60°，PA＝6，则BC的长为 ．
14．（2分）点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转 °后能与原来的图案互相重合．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），⊙M是△ABC的外接圆，则圆心M的坐标为 ，⊙M的半径为 ．
16．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（0，y1），B（2，﹣1），C（4，y2）三点，其中y2＞y1＞﹣1．下面四个结论中：
①抛物线开口向下；
②当x＝2时，y取最小值﹣1；
③当m＞﹣1时，一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根；
④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＜ax2+bx+c时，x的取值范围是x＜0或x＞4．
正确的结论有 ．（填序号）
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）
17．（5分）下面是小华设计的“作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．
18．（5分）已知关于x的二次函数y＝2x2+bx+c，它的图象经过点（0，﹣3）和（2，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）将这个二次函数的图象沿x轴平移，使其顶点恰好落在y轴上，请直接写出平移后的函数表达式．
19．（5分）如图，AB是⊙O的一条弦，过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于点C，点E在⊙O上，且∠AEC＝30°，连接OB．
（1）求∠BOC的度数；
（2）若CD＝4，求AB的长．
20．（5分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）将二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐标系中画出y＝x2﹣4x+3的图象．
（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
21．（5分）如图，等腰三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α．作CD⊥AB于点D，将线段BD绕点B逆时针旋转角α后得到线段BE，连接AE．求证：BE⊥AE．
22．（5分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，3），B（0，1），C（﹣1，﹣1）．
（1）请画出△ABC关于点B成中心对称的△A1BC1，并写出点A1，C1的坐标；
（2）四边形AC1A1C的面积为 ．
23．（6分）如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于D，过点B作BE∥CD交⊙O于点E，连接AD，AE，∠EAD＝22.5°．若BE＝4，求⊙O的半径．
24．（6分）材料1：昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁各结构的名称如图1所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线．
材料2：如图2，某一同类型悬索桥，两桥塔AD＝BC＝10m，间距AB为32m，桥面AB水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为2m．
（1）请你建立适当的平面直角坐标系，求出主索抛物线的表达式；
（2）距离点P水平距离为4m和8m处的吊索共四条需要更换，求四条吊索的总长度．
25．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若AF＝6，⊙O的半径为5，求BE的长．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1．
（1）当m＝3时，求抛物线的顶点坐标；
（2）①求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
②若当1≤x≤2时，y的最小值是0，请直接写出m的值；
（3）直线y＝x+b与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围．
27．（7分）已知∠MON＝90°，点A在边OM上，点P是边ON上一动点，∠OAP＝α，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AB，连接OB，再将线段OB绕点O顺时针旋转60°，得到线段OC，作CH⊥ON于点H．
（1）如图1，α＝60°．
①依题意补全图形；
②连接BP，求∠BPH的度数；
（2）如图2，当点P在射线ON上运动时，用等式表示线段OA与CH之间的数量关系，并证明．
28．（7分）对于平面内点P和⊙G，给出如下定义：T是⊙G上任意一点，点P绕点T旋转180°后得到点P'，则称点P'为点P关于⊙G的旋转点．如图为点P及其关于⊙G的旋转点P'的示意图．
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点P（0，﹣2）．
（1）在点A（﹣1，0），B（0，4），C（2，2）中，是点P关于⊙O的旋转点的是 ；
（2）若在直线y＝x+b上存在点P关于⊙O的旋转点，求b的取值范围；
（3）若点D在⊙O上，⊙D的半径为1，点P关于⊙D的旋转点为点P'，请直接写出点P'的横坐标xP′的取值范围．
2021-2022学年北京市西城外国语学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．（2分）如图，A、B、C是⊙O上的三点，若∠C＝40°，则∠AOB的度数是（ ）
A．40°B．50°C．55°D．80°
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠C与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，∠C＝40°，
∴∠AOB＝2∠C＝80°．
故选：D．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
2．（2分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．（2分）将抛物线y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2+3B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣3
C．y＝﹣2（x+1）2﹣3D．y＝﹣2（x﹣1）2+3
【分析】由抛物线平移不改变二次项系数a的值，根据点的平移规律“左加右减，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，那么新抛物线的顶点为：（1，3）．
可设新抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣h）2+k，代入得y＝﹣2（x﹣1）2+3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
4．（2分）如图，在△ABC中，以点C为中心，将△ABC顺时针旋转25°得到△DEC，边DE，AC相交于点F，若∠A＝35°，则∠EFC的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．120°
【分析】由旋转的性质可得∠A＝∠D＝35°，∠ACD＝25°，由三角形外角的性质可求解．
【解答】解：∵将△ABC顺时针旋转25°得到△DEC，
∴∠A＝∠D＝35°，∠ACD＝25°，
∴∠EFC＝∠D+∠ACD＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
5．（2分）下列关于二次函数y＝3x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（﹣1，﹣3）
B．它的图象的对称轴是直线x＝3
C．当x＝0时，y有最大值为0
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【分析】根据题目中的函数解析式，可以求出当x＝﹣1时，y的值，从而可以判断A；写出该函数的对称轴，即可判断B；当x＝0时该函数取得最小值，即可判断C；当x＜0时，y随x的增大如何变化，即可判断D．
【解答】解：∵二次函数y＝3x2，
∴当x＝﹣1时，y＝3，故选项A不符合题意；
它的图象的对称轴是直线x＝0，故选项B不符合题意；
当x＝0时，y有最小值为0，故选项C不符合题意；
当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值可以是（ ）
A．﹣4B．﹣2C．0D．2
【分析】利用抛物线的对称性确定（0，2）的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y＝2上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝﹣1.5，
∴点（0，2）关于直线x＝﹣1.5的对称点为（﹣3，2），
当﹣3＜x＜0时，y＞2，
即当函数值y＞2时，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．
7．（2分）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（ ）
A．∠ACB＝90°B．∠BDC＝∠BAC
C．AC平分∠BADD．∠BCD+∠BAD＝180°
【分析】先利用圆的定义可判断点A、B、C、D在⊙O上，如图，然后根据圆周角定理对各选项进行判断．
【解答】解：∵点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，
∴点A、B、C、D在⊙O上，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，所以A选项的结论正确；
∵∠BDC和∠BAC都对，
∴∠BDC＝∠BAC，所以B选项的结论正确；
只有当CD＝CB时，∠BAC＝∠DAC，所以C选项的结论不正确；
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，所以D选项的结论正确．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
8．（2分）如图，点M坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（ ）
A．（0，）B．（1，）C．（2，2）D．（2，4）
【分析】根据垂径定理得到OA＝OB，然后根据三角形中位线定理得到OD∥BC，OD＝BC，即当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，根据圆周角定理得到CA⊥x轴，进而求得△OAD是等腰直角三角形，即可得到AD＝OA＝2，得到D的坐标为（2，2）．
【解答】解：∵OM⊥AB，
∴OA＝OB，
∵AD＝CD，
∴OD∥BC，OD＝BC，
∴当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，如图，
∵BC为直径，
∴∠CAB＝90°，
∴CA⊥x轴，
∵OB＝OA＝OM，
∴∠ABC＝45°，
∵OD∥BC，
∴∠AOD＝45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴AD＝OA＝2，
∴D的坐标为（2，2），
故选：C．
【点评】本题考查了点和圆的位置关系，垂径定理、圆周角定理以及三角形中位线定理，明确当BC为直径时，线段OD取得最大值是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）写出一个二次函数，使得它有最大值，这个二次函数的解析式可以是 y＝﹣x2（答案不唯一）． ．
【分析】根据二次函数有最大值，即可得出a＜0，据此写出一个二次函数即可．
【解答】解：∵二次函数有最大值，
∴a＜0，
∴这个二次函数的解析式可以是y＝﹣x2，
故答案为：y＝﹣x2（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质是解此题的关键．此题是一道开放型的题目
10．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么b ＜ 0，c ＜ 0（填“＞”，“＝”，或“＜”）．
【分析】抛物线开口方向，对称轴，与y轴交点的位置确定a、b、c的符号，从而做出判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴﹣＜0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交在负半轴，
∴c＜0，
故答案为：＜，＜．
【点评】考查二次函数的图象和性质，通过抛物线的开口方向、对称轴、与y轴交点确定a、b、c的值，是二次函数性质的集中体现．
11．（2分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，点C和点E是对应点，若AB＝1，则BD＝ ．
【分析】由旋转的性质可得AB＝AD＝1，∠DAB＝90°，由勾股定理可求BD的长．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，
∴AB＝AD＝1，∠DAB＝90°，
∴BD＝＝
故答案为：
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．
12．（2分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则的长为 2π ．
【分析】如图，连接OA，OB．利用弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，连接OA，OB．
由题意OA＝B＝6，∠AOB＝60°，
∴的长＝＝2π．
故答案为：2π．
【点评】本题考查正多边形与圆，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13．（2分）如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，AC是⊙O的直径．若∠P＝60°，PA＝6，则BC的长为 2 ．
【分析】连接AB，根据切线长定理得到PA＝PB，根据等边三角形的性质得到AB＝PA＝6，∠PAB＝60°，根据切线的性质得到∠PAC＝90°，根据正切的定义计算即可．
【解答】解：连接AB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵∠P＝60°，
∴△PAB为等边三角形，
∴AB＝PA＝6，∠PAB＝60°，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAC＝90°，
∴∠CAB＝30°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝AB•tan∠CAB＝6×＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
14．（2分）点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转 72 °后能与原来的图案互相重合．
【分析】直接利用旋转图形的性质进而得出旋转角．
【解答】解：连接OA，OE，则这个图形至少旋转∠AOE才能与原图象重合，
∠AOE＝＝72°．
故答案为：72．
【点评】此题主要考查了旋转图形，正确掌握旋转图形的性质是解题关键．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），⊙M是△ABC的外接圆，则圆心M的坐标为 （3，3） ，⊙M的半径为 ．
【分析】M点为BC和AB的垂直平分线的交点，利用点A、B、C坐标易得BC的垂直平分线为直线x＝3，AB的垂直平分线为直线y＝x，从而得到M点的坐标，然后计算MB得到⊙M的半径．
【解答】解：∵点A，B，C的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），
∴BC的垂直平分线为直线x＝3，
∵OA＝OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB的垂直平分线为第一、三象限的角平分线，即直线y＝x，
∵直线x＝3与直线y＝x的交点为M点，
∴M点的坐标为（3，3），
∵MB＝＝，
∴⊙M的半径为．
故答案为（3，3），．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了坐标与图形的性质．
16．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（0，y1），B（2，﹣1），C（4，y2）三点，其中y2＞y1＞﹣1．下面四个结论中：
①抛物线开口向下；
②当x＝2时，y取最小值﹣1；
③当m＞﹣1时，一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根；
④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＜ax2+bx+c时，x的取值范围是x＜0或x＞4．
正确的结论有 ③④ ．（填序号）
【分析】根据题意，画出函数图象，进而求解．
【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（0，y1），B（2，﹣1），C（4，y2）三点，其中y2＞y1＞﹣1．
∴抛物线开口向上，故错误；
②由题意可知x＝﹣＜2时，
∴函数的最小值小于﹣1，故错误；
③由B知，函数的最小值为小于﹣1，
故m＞﹣1时，直线y＝m和y＝ax2+bx+c有两个交点，
故一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等实根，故正确；
④观察函数图象，直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，
当kx+c＜ax2+bx+c时，x的取值范围是x＜0或x＞4，故正确；
故答案为：③④．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式（组）和待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是确定函数图象的交点，根据交点处图象之间的位置关系，确定不等式的解．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）
17．（5分）下面是小华设计的“作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．
【分析】利用圆周角定理，垂径定理可得结论．
【解答】解：如图，射线OD即为所求．
∵OQ是直径，
∴∠OPQ＝90°（直径所对的圆周角是直角）．
∵CD⊥PQ，
∴＝（垂径定理），
∴∠AOD＝∠BOD．
故答案为：90°，直径所对的圆周角是直角，垂径定理．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．（5分）已知关于x的二次函数y＝2x2+bx+c，它的图象经过点（0，﹣3）和（2，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）将这个二次函数的图象沿x轴平移，使其顶点恰好落在y轴上，请直接写出平移后的函数表达式．
【分析】（1）把（0，﹣3）和（2，﹣3）代入y＝2x2+bx+c，解方程即可得到答案；
（2）根据顶点恰好落在y轴上，于是得到该函数图象的顶点坐标为（0，﹣）．即可得到结论．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝2x2+bx+c，它的图象经过点（0，﹣3）和（2，﹣3）．
∴﹣3＝2×22+2b﹣3，
解得b＝﹣4．
∴二次函数的表达式为y＝2x2﹣4x﹣3．
∵y＝2x2﹣4x﹣3＝2（x﹣1）2﹣5，
∴二次函数顶点坐标为（1，﹣5）；
（2）∵y＝2（x﹣1）2﹣5，
∴二次函数顶点坐标为（1，﹣5）；
∵顶点恰好落在y轴上，
∴该函数图象的顶点坐标为（0，﹣5）．
∴平移后的函数表达式为y＝2x2﹣5．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确的求出二次函数的解析式是解题的关键．
19．（5分）如图，AB是⊙O的一条弦，过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于点C，点E在⊙O上，且∠AEC＝30°，连接OB．
（1）求∠BOC的度数；
（2）若CD＝4，求AB的长．
【分析】（1）根据垂径定理得到＝，根据圆周角定理即可得到答案；
（2）根据三角形的内角和定理得到∠OBD＝30°，根据直角三角形的性质得到OB＝OC＝2OD，根据勾股定理即可得到答案．
【解答】解：（1）∵OC⊥AB，
∴＝，
∵∠AEC＝30°，
∴∠BOC＝2∠AEC＝60°；
（2）∵OC⊥AB，
∴∠BDO＝90°，
∵∠BOC＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∴OB＝OC＝2OD，
∴OD＝CD＝4，
∴OB＝8，
∴BD＝＝＝4，
∴AB＝ABD＝8．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
20．（5分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）将二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐标系中画出y＝x2﹣4x+3的图象．
（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
【分析】（1）用配方法把二次函数化为顶点式，从而可得出答案；
（2）根据题意画出图象即可；
（3）由图象可得出答案．
【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1；
（2）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点为（1，0）和（3，0），
令x＝0，则y＝3，
∴抛物线与y轴的交点为（0，3），
对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，﹣1），
图象如图所示：
（3）有图象可得：当1＜x＜4时，y的取值范围为﹣1≤y＜3．
【点评】本题考查二次函数的性质，抛物线与x国的交点，配方法，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．（5分）如图，等腰三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α．作CD⊥AB于点D，将线段BD绕点B逆时针旋转角α后得到线段BE，连接AE．求证：BE⊥AE．
【分析】由旋转的性质可得BE＝BD，∠ABE＝α＝∠ABC，由“SAS”可证△ABE≌△CBD，可得结论．
【解答】证明：∵将线段BD绕点B逆时针旋转角α后得到线段BE，
∴BE＝BD，∠ABE＝α，
∴∠ABC＝∠ABE，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴∠CDB＝∠AEB＝90°，
∴AE⊥BE．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．（5分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，3），B（0，1），C（﹣1，﹣1）．
（1）请画出△ABC关于点B成中心对称的△A1BC1，并写出点A1，C1的坐标；
（2）四边形AC1A1C的面积为 16 ．
【分析】（1）延长AB到A1使BA1＝AB，延长CB到C1，使BC1＝BC；
（2）利用平行四边形的面积公式．
【解答】解：（1）如图，△A1BC1为所作，点A1，C1的坐标分别为（3，﹣1），（1，3）；
（2）∵AB＝A1B，CB＝C1B，
∴四边形AC1A1C为平行四边形，
∴四边形AC1A1C的面积＝4×4＝16．
故答案为16．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
23．（6分）如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于D，过点B作BE∥CD交⊙O于点E，连接AD，AE，∠EAD＝22.5°．若BE＝4，求⊙O的半径．
【分析】连接OD，交BE于点F，利用切线的性质和垂径定理求得＝，进而可求出∠EAB的度数，利用条件易证△ABE为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接OD，交BE于点F，如图，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC＝90°，
∵BE∥CD，
∴∠OFB＝90°，
∴OD⊥BE，
∴＝，
∴∠EAD＝∠DAB，
∵∠EAD＝22.5°，
∴∠EAB＝∠EAD+∠DAB＝45°；
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠EAB＝45°，
∴∠ABE＝∠EAB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵BE＝4，
∴AB＝BE＝4，
∴⊙O的半径为2．
【点评】本题考查了切线的性质，平行线的性质圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．（6分）材料1：昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁各结构的名称如图1所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线．
材料2：如图2，某一同类型悬索桥，两桥塔AD＝BC＝10m，间距AB为32m，桥面AB水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为2m．
（1）请你建立适当的平面直角坐标系，求出主索抛物线的表达式；
（2）距离点P水平距离为4m和8m处的吊索共四条需要更换，求四条吊索的总长度．
【分析】（1）建立适当的平面直角坐标系，可以直接写出点C的坐标，然后设出主索抛物线的表达式，再根据点C和点P都在抛物线上，即可求得主索抛物线的表达式；
（2）根据求出的抛物线解析式，将x＝4和8代入解析式中，即可求得四根吊索的长度，从而可以求得四根吊索总长度为多少米．
【解答】解：以DC中点为原点，DC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
如图所示：
由图可知，点C的坐标为（16，0），
设抛物线的表达式为y＝ax2+c（a≠0），
由题意可知，C点坐标为（16，0），P点坐标为（0，﹣8），
则，
解得：，
∴主索抛物线的表达式为y＝x2﹣8；
（2）x＝4时，y＝×42﹣8＝，此时吊索的长度为10﹣＝（m），
由抛物线的对称性可得，x＝﹣4时，此时吊索的长度也为m，
同理，x＝8时，y＝×82﹣8＝﹣6，此时吊索的长度为10﹣6＝4（m），
x＝﹣8时，此时吊索的长度也为4m，
∵++4+4＝13（米），
∴四根吊索的总长度为13米．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
25．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若AF＝6，⊙O的半径为5，求BE的长．
【分析】（1）先判断出EF是⊙O的直径，进而判断出OE∥BC，即可得出结论；
（2）先根据勾股定理求出AE，再判断出BE＝AE，即可得出结论．
【解答】（1）证明：如图，连接EF，
∵∠BAC＝90°，
∴EF是⊙O的直径，
∴OA＝OE，
∴∠BAD＝∠AEO，
∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∴∠AEO＝∠B，
∴OE∥BC，
∵EG⊥BC，
∴OE⊥EG，
∵点E在⊙O上，
∴EG是⊙O的切线；
（2）∵⊙O的半径为5，
∴EF＝2OE＝10，
在Rt△AEF中，AF＝6，
根据勾股定理得，AE＝＝8，
由（1）知OE∥BC，
∵OA＝OD，
∴BE＝AE＝8．
【点评】此题主要考查了圆的有关性质，切线的判定，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，勾股定理，判断出EF∥BC是解本题的关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1．
（1）当m＝3时，求抛物线的顶点坐标；
（2）①求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
②若当1≤x≤2时，y的最小值是0，请直接写出m的值；
（3）直线y＝x+b与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围．
【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得；
（2）①由抛物线的解析式可得出答案；
②分三种情况，m≤1，1≤m≤2或m≥2．由二次函数的性质分别列方程求解即可．
（3）当△OAP为钝角三角形时，则0＜m﹣2＜m或m﹣2＞﹣3，分别求解即可．
【解答】解：（1）当m＝3时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，
∴顶点坐标为（3，﹣1）；
（2）①∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝m；
②∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（m，﹣1），
∴m的取值范围应分三种情况，m≤1，1≤m≤2或m≥2．
若m≤1，x＝1时函数取得最小值，
∴（1﹣m）2﹣1＝0，
解得m＝0或m＝2（舍去），
若1≤m≤2，x＝m函数取得最小值为﹣1，不合题意．
若m≥2，x＝2函数取得最小值，
∴（2﹣m）2﹣1＝0，
解得m＝3或m＝1（舍去），
综上所述，m的值为0或3．
（3）把点A（﹣3，0）代入y＝x+b的表达式并解得：b＝3，
则B（0，3），直线AB的表达式为：y＝x+3，
如图，
在直线y＝3上，当∠AOP＝90°时，点P与B重合，
当y＝3时，y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝3，
则x＝m±2，
∵点P在对称轴的左侧，
∴x＝m+2＞m不符合题意，舍去，
则点P（m﹣2，3），
当△OAP为钝角三角形时，
则0＜m﹣2＜m或m﹣2＜﹣3，
解得：m＞2或m＜﹣1，
∴m的取值范围是：m＞2或m＜﹣1．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数，解不等式，一元二次方程根的判别式，钝角三角形判断的方法等知识点，第三问有难度，确定∠AOP为直角时点P的位置最关键．
27．（7分）已知∠MON＝90°，点A在边OM上，点P是边ON上一动点，∠OAP＝α，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AB，连接OB，再将线段OB绕点O顺时针旋转60°，得到线段OC，作CH⊥ON于点H．
（1）如图1，α＝60°．
①依题意补全图形；
②连接BP，求∠BPH的度数；
（2）如图2，当点P在射线ON上运动时，用等式表示线段OA与CH之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）①根据要求画出图形即可．
②证明△APB是等边三角形，推出∠APB＝60°，再证明∠APO＝30°，可得结论．
（2）结论：OA＝2CH．连接BP，BC，PC．利用全等三角形的性质证明OA＝PC，再证明∠CPH＝30°可得结论．
【解答】解：（1）①下图即为所求：
②∵线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AB，
∴AB＝AP，且∠PAB＝60°．
∴△ABP是等边三角形，
∴∠BPA＝60°，
∵∠OAP＝60°，
∴∠APO＝30°，
∴∠BPO＝∠BPA+∠APO＝90°，
∴∠BPH＝90°．
（2）结论：OA＝2CH．
理由：如图2中，连接BP，BC，PC．
由（2）可知，△ABP是等边三角形，
∴BA＝BP，∠ABP＝∠BPA＝60°．
∵线段OB绕点O顺时针旋转60°得到OC，
∴OB＝OC，∠BOC＝60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴BO＝BC，∠OBC＝60°，
∴∠ABO＝60°﹣∠OBP＝∠PBC，
∴△ABO≌△PBC（SAS），
∴AO＝PC，∠BPC＝∠BAO，
∵∠OAP＝α，
∴∠BAO＝∠BAP+∠OAP＝60°+α，
∴∠BPC＝60°+α，
∵∠BPN＝180°﹣∠APO﹣∠BPA＝120°﹣（90°﹣α）＝30°+α，
∴∠HPC＝∠BPC﹣∠BPN＝30°，
∵CH⊥ON，
∴∠CHO＝90°，
∴在Rt△CHP中，PC＝2CH，
∴OA＝2CH．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
28．（7分）对于平面内点P和⊙G，给出如下定义：T是⊙G上任意一点，点P绕点T旋转180°后得到点P'，则称点P'为点P关于⊙G的旋转点．如图为点P及其关于⊙G的旋转点P'的示意图．
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点P（0，﹣2）．
（1）在点A（﹣1，0），B（0，4），C（2，2）中，是点P关于⊙O的旋转点的是 B、C ；
（2）若在直线y＝x+b上存在点P关于⊙O的旋转点，求b的取值范围；
（3）若点D在⊙O上，⊙D的半径为1，点P关于⊙D的旋转点为点P'，请直接写出点P'的横坐标xP′的取值范围．
【分析】（1）连接AP、BP、CP，分别取AP、BP、CP的中点为D、E、F，求出D、E、F的坐标和到圆心的距离，从而根据旋转点定义即可得到答案；
（2）设直线y＝x+b上点M是P关于⊙O的旋转点，连接PM，作PM中点N，设M（x，x+b），根据ON＝1列方程，由在直线y＝x+b上存在点P关于⊙O的旋转点，则方程有实数解，由△≥0可得答案；
（3）当D运动到（﹣1，0）时，xP'有最小值，连接PP'，作PP'中点H，设P'（m，n），根据旋转点定义，HD＝1可列方程，而关于n的方程n2﹣4n+m2+4m+4＝0有实数解，即可得此时m的范围，当D运动到（1，0）时，xP'有最大值，同理可得m范围，从而可得答案．
【解答】解：（1）连接AP、BP、CP，分别取AP、BP、CP的中点为D、E、F，如图：
∵P（0，﹣2），A（﹣1，0），B（0，4），C（2，2），
∴D（，﹣1）、E（0，1）、F（1，0），
∴OD＝，OE＝1，OF＝1，
∴D不在⊙O上，而E、F在⊙O上，
∵D、E、F分别是AP、BP、CP的中点，
∴点P绕点D旋转180°后得到点A，点P绕点E旋转180°后得到点B，点P绕点F旋转180°后得到点C，
根据旋转点的定义，P关于⊙O的旋转点为B、C；
故答案为：B、C．
（2）设直线y＝x+b上点M是P关于⊙O的旋转点，连接PM，作PM中点N，如图：
设M（x，x+b），则N（，），
根据旋转点定义，N在⊙O上，即ON＝1，
∴＝1，
∴+＝1，方程变形为：2x2+2（b﹣2）x+b2﹣4b＝0，
∵在直线y＝x+b上存在点P关于⊙O的旋转点，
∴2x2+2（b﹣2）x+b2﹣4b＝0总有实数解，
∴△≥0，即4（b﹣2）2﹣8（b2﹣4b）≥0，
解得2﹣2≤b≤2+2；
（3）当D运动到（﹣1，0）时，xP'有最小值，连接PP'，作PP'中点H，如图：
设P'（m，n），则H（，），
根据旋转点定义，HD＝1，
∴＝1，
∴+m+1+﹣n+1＝1，变形为n2﹣4n+m2+4m+4＝0，
∵P'是P关于⊙D的旋转点，
∴关于n的方程n2﹣4n+m2+4m+4＝0有实数解，
∴△≥0，即（﹣4）2﹣4（m2+4m+4）≥0，
解得﹣4≤m≤0，即﹣4≤xP'≤0，
当D运动到（1，0）时，xP'有最大值，如图：
同理可得0≤xP'≤4，
综上所述，点P关于⊙D的旋转点为点P'，则点P'的横坐标xP'的取值范围是﹣4≤xP'≤4．
【点评】本题考查了圆与一次函数图象的知识，解题的关键是用判别式列不等式．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/22 19:15:59；用户：菁优校本题库；邮箱：2471@xyh.cm；学号：56380052步骤
作法
推断
第一步
在OB上任取一点C，以点C为圆心，OC为半径作半圆，分别交射线OA，OB于点P，点Q，连接PQ．
∠OPQ＝ °，理由是
．
第二步
过点C作PQ的垂线，交于点D．
＝，理由是
．
第三步
作射线OD．
射线OD平分∠AOB．
射线OD为所求作．
步骤
作法
推断
第一步
在OB上任取一点C，以点C为圆心，OC为半径作半圆，分别交射线OA，OB于点P，点Q，连接PQ．
∠OPQ＝ 90 °，理由是
直径所对的圆周角是直角 ．
第二步
过点C作PQ的垂线，交于点D．
＝，理由是
垂径定理 ．
第三步
作射线OD．
射线OD平分∠AOB．
射线OD为所求作．