2021-2022学年北京市徐悲鸿中学七年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京市徐悲鸿中学七年级（上）期中数学试卷【含解析】，共16页。试卷主要包含了填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）3的相反数是（ ）
A．﹣3B．3C．D．﹣
2．（3分）我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，用科学记数法表示是（ ）
A．0.675×105B．67.5×103C．6.75×104D．6.75×105
3．（3分）如图所示，点M表示的数是（ ）
A．2.5B．﹣1.5C．﹣2.5D．1.5
4．（3分）下列是一元一次方程的是（ ）
A．2x2﹣x+1＝0B．x+3y＝5C．D．x﹣3＝2x+1
5．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．（﹣3）2＝﹣6B．（﹣3）2＝6C．（﹣3）2＝﹣9D．（﹣3）2＝9
6．（3分）下列各式中，是同类项的是（ ）
A．xy2与5x2yB．3ab3与﹣abc
C．12pq2与﹣8pq2D．7a与2b
7．（3分）下列各式中，去括号正确的是（ ）
A．x+2（y﹣1）＝x+2y﹣1B．x﹣2（y﹣1）＝x+2y+2
C．x﹣2（y﹣1）＝x﹣2y+2D．x﹣2（y﹣1）＝x﹣2y﹣2
8．（3分）运用等式的性质进行变形，正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣cB．如果，那么a＝b
C．如果a＝b，那么D．如果a2＝6a，那么a＝6
9．（3分）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列（ ）
A．﹣b＜﹣a＜a＜bB．﹣a＜﹣b＜a＜bC．﹣b＜a＜﹣a＜bD．﹣b＜b＜﹣a＜a
10．（3分）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A．（x+3）（x+2）﹣2xB．x（x+3）+6
C．3（x+2）+x2D．x2+5x
二、填空题（本题共20分，每小题2分）
11．（2分）如果水位升高3m时，水位变化记作+3m，那么水位下降3m时，水位变化记作 m．
12．（2分）将5.249精确到0.1所得的近似数是 ．
13．（2分）写出一个次数为5，系数为负数，所含字母只有x、y的单项式是 ．
14．（2分）多项式4ba﹣5﹣3a2b是 次 项式．
15．（2分）比较大小： （用“＞或＝或＜”填空）．
16．（2分）已知x＝2是关于x的方程+k＝k（x+2）的解，则k的值等于 ．
17．（2分）若（x+2）2+|y﹣5|＝0，则x﹣y＝ ．
18．（2分）用“☆”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有a☆b＝b2﹣2a，例7☆4＝42﹣2×7＝2，那么（﹣5）☆（﹣3）＝ ．
19．（2分）已知多项式x2+2x＝2，则多项式﹣3x2﹣6x+4的值是 ．
20．（2分）如图是一组有规律的图案，第1个图形由4个▲组成，第2个图形由7个▲组成，第3个图形由10个▲组成，第4个图形由13个▲组成，…，则第6个图形由 个▲组成，第n（n为正整数）个图形由 个▲组成．
三、计算题（本题共16分，每小题4分）
21．（4分）23﹣17﹣（﹣7）+（﹣16）
22．（4分）计算：．
23．（4分）（+﹣）×12．
24．（4分）0÷（﹣3）﹣4×（﹣1）100+15．
四、解答题（本题共18分，25-26每小题4分，27-28每小题4分）
25．（4分）化简：5xy﹣2y2﹣3xy﹣4y2．
26．（4分）化简：（9y﹣3）+2（y+1）．
27．（5分）先化简，再求值：a2+（5a2﹣2a）﹣2（a2﹣3a），其中a＝﹣5．
28．（5分）利用等式性质补全下列解方程过程：．
解：根据等式性质1，两边同时 ，
可得 ，
于是＝ ．
根据 两边同时乘以﹣3，可得x＝ ．
五、解答题（本题共16分，29题5分，30题5分，31题6分）
29．（5分）有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下：
回答下列问题：
（1）这8筐白菜中，最接近25千克的那筐白菜为 千克；
（2）以每筐25千克为标准，这8筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？
（3）若白菜每千克售价2.6元，则出售这8筐白菜可卖多少元？
30．（5分）图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按照图2的方式拼成一个大正方形．
（1）图2中，中间空白正方形的边长等于 ．
（2）请用两种不同的方法表示图2中空白正方形的面积：
方法1： ；方法2： ．
（3）比较（2）中的方法1和方法2，试写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系： ．
（4）若（a+b）2＝27，（a﹣b）2＝3，请利用（3）中的结论，求ab的值．
31．（6分）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示1和4的两点之间的距离是 ；表示﹣3和2的两点之间的距离是 ；表示﹣5和﹣4的两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
（2）如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝ ．
（3）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；
（4）当a＝ 时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是 ．
2021-2022学年北京市徐悲鸿中学七年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意．
1．（3分）3的相反数是（ ）
A．﹣3B．3C．D．﹣
【分析】依据相反数的定义回答即可．
【解答】解：3的相反数是﹣3．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（3分）我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，用科学记数法表示是（ ）
A．0.675×105B．67.5×103C．6.75×104D．6.75×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：67500用科学记数法表示为：6.75×104．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）如图所示，点M表示的数是（ ）
A．2.5B．﹣1.5C．﹣2.5D．1.5
【分析】M位于﹣2和﹣3的正中间，所以为﹣2.5．
【解答】解：由数轴得，点M表示的数是﹣2.5．
故选：C．
【点评】数轴上的点所在的位置对应的数，就是这个点表示的数．
4．（3分）下列是一元一次方程的是（ ）
A．2x2﹣x+1＝0B．x+3y＝5C．D．x﹣3＝2x+1
【分析】根据一元一次方程的定义求解即可．
【解答】解：A．2x2﹣x+1＝0未知数的最高次数是2，此选项不符合题意；
B．x+3y＝5含有两个未知数，此选项不符合题意；
C．未知数x的指数不是1次，此选项不符合题意；
D．x﹣3＝2x+1是一元一次方程，此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1的整式方程叫一元一次方程．
5．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．（﹣3）2＝﹣6B．（﹣3）2＝6C．（﹣3）2＝﹣9D．（﹣3）2＝9
【分析】根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解．
【解答】解：（﹣3）2＝9．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的乘方，是基础题，熟记概念是解题的关键．
6．（3分）下列各式中，是同类项的是（ ）
A．xy2与5x2yB．3ab3与﹣abc
C．12pq2与﹣8pq2D．7a与2b
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）来解答即可．
【解答】解：A、xy2中的x的指数是1、y的指数是2，5x2y中的x的指数是2，y的指数是1，所以它们不是同类项，故本选项错误；
B、3ab3与﹣abc中所含的字母不同，所以它们不是同类项，故本选项错误；
C、12pq2与﹣8pq2中，所含的字母相同：p、q，它们的指数也相同，所以它们是同类项，故本选项正确；
D、7a与2b中，所含的字母不同，所以它们不是同类项，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了同类项定义，同类项的定义是所含有的字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项，所以只要判断所含有的字母是否相同，相同字母的指数是否相同即可．
7．（3分）下列各式中，去括号正确的是（ ）
A．x+2（y﹣1）＝x+2y﹣1B．x﹣2（y﹣1）＝x+2y+2
C．x﹣2（y﹣1）＝x﹣2y+2D．x﹣2（y﹣1）＝x﹣2y﹣2
【分析】根据去括号的方法，先去大括号，再去中括号，最后去小括号．
【解答】解：A、x+2（y﹣1）＝x+2y﹣2故A不符合题意；
B、x﹣2（y﹣1）＝x﹣2y+2，故B不符合题意；
C、x﹣2（y﹣1）＝x﹣2y+2，故C符合题意；
D、x﹣2（y﹣1）＝x﹣2y+2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．顺序为先大后小．
8．（3分）运用等式的性质进行变形，正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣cB．如果，那么a＝b
C．如果a＝b，那么D．如果a2＝6a，那么a＝6
【分析】根据等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．当c≠0时，由a＝b不能推出a﹣c＝b﹣c，故本选项不符合题意；
B．由＝能推出a＝b（等式两边都乘c），故本选项符合题意；
C．当c＝0时，由a＝b不能推出＝，故本选项不符合题意；
D．当a＝0时，由a2＝6a不能推出a＝6，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：①等式的性质1、等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立；②等式的性质2、等式的两边都乘同一个数，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立．
9．（3分）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列（ ）
A．﹣b＜﹣a＜a＜bB．﹣a＜﹣b＜a＜bC．﹣b＜a＜﹣a＜bD．﹣b＜b＜﹣a＜a
【分析】利用有理数大小的比较方法可得﹣a＜b，﹣b＜a，b＞0＞a进而求解集．
【解答】解集：观察数轴可知：b＞0＞a，且b的绝对值大于a的绝对值．
在b和﹣a两个正数中，﹣a＜b；在a和﹣b两个负数中，绝对值大的反而小，则﹣b＜a．
因此，﹣b＜a＜﹣a＜b．
故选：C．
【点评】有理数大小的比较方法：正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小．
10．（3分）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A．（x+3）（x+2）﹣2xB．x（x+3）+6
C．3（x+2）+x2D．x2+5x
【分析】根据题意可把阴影部分分成两个长方形或一个长方形和一个正方形来计算面积，也可以用大长方形的面积减去空白处小长方形的面积来计算．
【解答】解：A、大长方形的面积为：（x+3）（x+2），空白处小长方形的面积为：2x，所以阴影部分的面积为（x+3）（x+2）﹣2x，故正确；
B、阴影部分可分为应该长为x+3，宽为x和一个长为x+2，宽为3的长方形，他们的面积分别为x（x+3）和3×2＝6，所以阴影部分的面积为x（x+3）+6，故正确；
C、阴影部分可分为一个长为x+2，宽为3的长方形和边长为x的正方形，则他们的面积为：3（x+2）+x2，故正确；
D、x2+5x，故错误；
故选：D．
【点评】本题考查了长方形和正方形的面积计算，难度适中．
二、填空题（本题共20分，每小题2分）
11．（2分）如果水位升高3m时，水位变化记作+3m，那么水位下降3m时，水位变化记作 ﹣3 m．
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【解答】解：∵水位升高3m时，水位变化记作+3m，
∴水位下降3m时，水位变化记作﹣3m．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
12．（2分）将5.249精确到0.1所得的近似数是 5.2 ．
【分析】把百分位上的数字4进行四舍五入即可．
【解答】解：将5.249精确到0.1所得的近似数是5.2．
故答案为5.2．
【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．
13．（2分）写出一个次数为5，系数为负数，所含字母只有x、y的单项式是 ﹣x2y3 ．
【分析】根据单项式的系数、次数的定义解决此题．
【解答】解：根据单项式的定义，满足条件的单项式是﹣x2y3．
故答案为：﹣x2y3．
【点评】本题主要考查单项式的系数、次数，熟练掌握单项式的系数、次数的定义是解决本题的关键．
14．（2分）多项式4ba﹣5﹣3a2b是 三 次 三 项式．
【分析】根据多项式次数和项数的定义求解即可．
【解答】解：多项式4ba﹣5﹣3a2b是三次三项式；
故答案为：三，三．
【点评】本题主要考查了多项式的有关概念，注意解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．
15．（2分）比较大小： ＜ （用“＞或＝或＜”填空）．
【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得出答案．
【解答】解：∵＞，
∴＜；
故答案为：＜．
【点评】此题考查了有理数的大小比较，掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键．
16．（2分）已知x＝2是关于x的方程+k＝k（x+2）的解，则k的值等于 ．
【分析】把x＝2代入方程计算即可求出k的值．
【解答】解：把x＝2代入方程得：+k＝4k，
解得：k＝，
故答案为：
【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
17．（2分）若（x+2）2+|y﹣5|＝0，则x﹣y＝ ﹣7 ．
【分析】根据偶次方的非负性、绝对值的非负性解决此题．
【解答】解：∵|y﹣5|≥0，（x+2）2≥0，
∴当（x+2）2+|y﹣5|＝0时，x+2＝0，y﹣5＝0．
∴x＝﹣2，y＝5．
∴x﹣y＝﹣2﹣5＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】本题主要考查偶次方的非负性、绝对值的非负性，熟练掌握偶次方的非负性、绝对值的非负性是解决本题的关键．
18．（2分）用“☆”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有a☆b＝b2﹣2a，例7☆4＝42﹣2×7＝2，那么（﹣5）☆（﹣3）＝ 19 ．
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【解答】解：根据题中的新定义得：
（﹣5）☆（﹣3）
＝（﹣3）2﹣2×（﹣5）
＝9﹣（﹣10）
＝9+10
＝19．
故答案为：19．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
19．（2分）已知多项式x2+2x＝2，则多项式﹣3x2﹣6x+4的值是 ﹣2 ．
【分析】先把﹣3x2﹣6x+4化为﹣3（x2+2x）+4的形式，再根据x2+2x＝2，求出原式的值．
【解答】解：∵x2+2x＝2，
∴﹣3x2﹣6x+4
＝﹣3（x2+2x）+4
＝﹣3×2+4
＝﹣2；
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了代数式的求值，掌握提取公因式法分解因式，把（x2+2x）看作一个整体进行计算是解题关键．
20．（2分）如图是一组有规律的图案，第1个图形由4个▲组成，第2个图形由7个▲组成，第3个图形由10个▲组成，第4个图形由13个▲组成，…，则第6个图形由 19 个▲组成，第n（n为正整数）个图形由 3n+1 个▲组成．
【分析】仔细观察图形可知：第一个图形有3×2﹣3+1＝4个三角形；第二个图形有3×3﹣3+1＝7个三角形；第一个图形有3×4﹣3+1＝10个三角形；…第n个图形有3（n+1）﹣3+1＝3n+1个三角形；进一步代入求得答案即可．
【解答】解：观察发现：
第一个图形有3×2﹣3+1＝4个三角形；
第二个图形有3×3﹣3+1＝7个三角形；
第一个图形有3×4﹣3+1＝10个三角形；
…
第n个图形有3（n+1）﹣3+1＝3n+1个三角形；
则第6个图案中▲的个数为3×6+1＝19．
故答案为：19，3n+1．
【点评】此题考查图形的变化规律，从简单情形入手，找到一般规律，利用规律，解决问题．
三、计算题（本题共16分，每小题4分）
21．（4分）23﹣17﹣（﹣7）+（﹣16）
【分析】原式利用减法法则变形，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝23﹣17+7﹣16＝30﹣33＝﹣3．
【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（4分）计算：．
【分析】先把除法化为乘法，再用有理数乘法法则计算即可．
【解答】解：原式＝﹣4××（﹣）
＝．
【点评】本题考查有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数乘法、除法的法则．
23．（4分）（+﹣）×12．
【分析】根据乘法分配律可以解答本题．
【解答】解：（+﹣）×12
＝
＝3+2﹣6
＝﹣1．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
24．（4分）0÷（﹣3）﹣4×（﹣1）100+15．
【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．
【解答】解：原式＝0﹣4×1+15＝﹣4+15＝11．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
四、解答题（本题共18分，25-26每小题4分，27-28每小题4分）
25．（4分）化简：5xy﹣2y2﹣3xy﹣4y2．
【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．据此化简即可．
【解答】解：5xy﹣2y2﹣3xy﹣4y2．
＝（5xy﹣3xy）+（﹣2y2﹣4y2）
＝（5﹣3）xy+（﹣2﹣4）y2
＝2xy﹣6y2．
【点评】本题考查了整式的加减，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．
26．（4分）化简：（9y﹣3）+2（y+1）．
【分析】先去括号，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝9y﹣3+2y+2
＝11y﹣1．
【点评】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握整式加减的实质就是去括号、合并同类项．
27．（5分）先化简，再求值：a2+（5a2﹣2a）﹣2（a2﹣3a），其中a＝﹣5．
【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝a2+5a2﹣2a﹣2a2+6a＝4a2+4a，
当a＝﹣5时，原式＝100﹣20＝80．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
28．（5分）利用等式性质补全下列解方程过程：．
解：根据等式性质1，两边同时 减3 ，
可得 ﹣3 ，
于是＝ 1 ．
根据 等式性质2 两边同时乘以﹣3，可得x＝ ﹣3 ．
【分析】利用等式性质1和等式性质2判断即可．
【解答】解：根据等式性质1，两边同时减3，
可得3﹣x﹣3＝4﹣3，
于是﹣＝1．
根据等式性质2两边同时乘以﹣3，可得x＝﹣3．
故答案为：减3，﹣3，1，等式性质2，﹣3．
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．
五、解答题（本题共16分，29题5分，30题5分，31题6分）
29．（5分）有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下：
回答下列问题：
（1）这8筐白菜中，最接近25千克的那筐白菜为 24.5 千克；
（2）以每筐25千克为标准，这8筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？
（3）若白菜每千克售价2.6元，则出售这8筐白菜可卖多少元？
【分析】（1）根据绝对值的意义，可得答案；
（2）根据有理数的加法，可得答案；
（3）根据单价乘以数量，可得答案．
【解答】解：（1）|﹣0.5|最小，最接近标准，最接近25千克的那筐白菜为 24.5千克；
故答案为：24.5；
（2）1.5+（﹣3）+2+（﹣0.5）+1+（﹣2）+（﹣2）+（﹣2.5）＝﹣5.5（千克）
答：不足5.5千克；
（3）[1.5+（﹣3）+2+（﹣0.5）+1+（﹣2）+（﹣2）+（﹣2.5）+25×8]×2.6＝505.7元，
答：出售这8筐白菜可卖505.7元
【点评】本题考查了正数和负数，利用有理数的加法是解题关键．
30．（5分）图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按照图2的方式拼成一个大正方形．
（1）图2中，中间空白正方形的边长等于 a﹣b ．
（2）请用两种不同的方法表示图2中空白正方形的面积：
方法1： （a﹣b）2 ；方法2： （a+b）2﹣4ab ．
（3）比较（2）中的方法1和方法2，试写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系： （a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ．
（4）若（a+b）2＝27，（a﹣b）2＝3，请利用（3）中的结论，求ab的值．
【分析】（1）观察图形很容易得出图②中的阴影部分的正方形的边长等于a﹣b；
（2）①求出小正方形的边长，②运用大正方形的面积减去四个矩形的面积；
（3）观察图形可知大正方形的面积（a+b）2，减去阴影部分的正方形的面积（a﹣b）2等于四块小长方形的面积4mn，即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（4）由（3）可求出ab＝[（a+b）2﹣（a﹣b）2]÷4＝（27﹣3）÷4＝24÷4＝6．
【解答】解：（1）根据图形可观察出：边长为a﹣b；
故答案为：a﹣b；
（2）①小正方的边长为a﹣b，面积可表示为：（a﹣b）2，大正方形的面积为：（a+b）2，四个矩形的面积和为4ab，所以小正方形面积可表示为：（a+b）2﹣4ab；
故答案为：（a﹣b）2，（a+b）2﹣4ab；
（3）由分析得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（4）由（3）可知ab＝[（a+b）2﹣（a﹣b）2]÷4＝（27﹣3）÷4＝24÷4＝6．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，解题关键是将完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式联系在一起观察并找出其中的数量关系．
31．（6分）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示1和4的两点之间的距离是 3 ；表示﹣3和2的两点之间的距离是 5 ；表示﹣5和﹣4的两点之间的距离是 1 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 |m﹣n| ．
（2）如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝ ﹣5或1 ．
（3）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；
（4）当a＝ 1 时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是 9 ．
【分析】（1）根据数轴，求出两个数的差的绝对值即可；
（2）根据两点间的距离的表示列式计算即可得解；
（3）先去掉绝对值号，然后进行计算即可得解；
（4）判断出a＝1时，三个绝对值的和最小，然后进行计算即可得解．
【解答】解：（1）|1﹣4|＝3，
|﹣3﹣2|＝5，
|﹣5﹣（﹣4）|＝1，
|m﹣n|，
故答案为：3；5；1；|m﹣n|；
（2）|a﹣（﹣2）|＝3，
所以，a+2＝3或a+2＝﹣3，
解得a＝1或a＝﹣5，
故答案为：﹣5和1；
（3）∵表示数a的点位于﹣4与2之间，
∴a+4＞0，a﹣2＜0，
∴|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+[﹣（a﹣2）]＝a+4﹣a+2＝6；
（4）a＝1有最小值，最小值＝|1+5|+|1﹣1|+|1﹣4|＝6+0+3＝9．
故答案为：1；9．
【点评】本题考查了绝对值，数轴，读懂题目信息，理解数轴上两个数之间的距离的表示方法是解题的关键．
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