2022-2023学年北京市东城区汇文中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市东城区汇文中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共36页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）如图，点A、B、C为⊙O上的点，∠AOB＝60°，则∠ACB＝（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
2．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度得到的抛物线为（ ）
A．y＝2（x+3）2B．y＝2（x﹣3）2C．y＝2x2﹣3D．y＝2x2+3
3．（2分）将一元二次方程x2﹣6x+5＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．（x+3）2＝1B．（x﹣6）2＝1C．（x﹣3）2＝4D．（x﹣6）2＝4
4．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的示意图如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．a＜0B．b＜0C．c＞0D．Δ≥0
5．（2分）下列所给方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2+2x＝0B．5x2﹣4x﹣2＝0C．3x2﹣4x+1＝0D．4x2﹣3x+2＝0
6．（2分）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．4B．8C．D．
7．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖
D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得
8．（2分）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB＝2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）在半径为3cm的圆中，150°的圆心角所对弧的弧长是 cm．
10．（2分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则BH的长度为 ．
11．（2分）若点A（﹣1，y1），B（3，y2）在抛物线y＝x2上，则y1，y2的大小关系为：y1 y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
12．（2分）关于x的一元二次方程x2+mx+4＝0有一个根为1，则m的值为 ．
13．（2分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为 ．
14．（2分）据了解，2022年9月，某展览中心参观人数为12.5万人，比7月份的参观人数增加了2.5万人，设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为 ．
15．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表：
直接写出该二次函数的图象与x轴的交点坐标 ．
16．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示，对于此抛物线有如下四个结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③4a+b＝0；④m+9a＝0；⑤若此抛物线经过点C（t，n）．则t﹣4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（总分68）
17．解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
18．下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，△ABC．
求作：直线BD，使得BD∥AC．
作法：如图2，
①分别作线段AC，BC的垂直平分线l1，l2，两直线交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径作圆；
③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交于点D；
④作直线BD．
所以直线BD就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在⊙O上，AD＝BC，
∴＝ ．
∴∠DBA＝∠CAB（ ）（填推理的依据）．
∴BD∥AC．
19．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）画出此函数的图象（不需要列表）；
（3）若点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于﹣2，求k的取值范围．
21．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数﹣2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数﹣5，m，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若a＜b，小明胜；若a＝b，为平局；若a＞b，小刚胜．
（1）若m＝﹣2，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；
（2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值．
22．如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2），若该圆弧所在圆的圆心为D点，请你利用网格图回答下列问题：
（1）圆心D的坐标为 ；
（2）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长（结果保留根号）．
23．如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若BC＝16，⊙O的半径为10．求△ABC的面积．
24．“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲，在义卖的过程中发现，这种文化衫每天的销售件数y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y＝﹣3x+108（20＜x＜36）．如果义卖这种文化衫每天的利润为p（元），
（1）求出p与x的关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
25．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，DE⊥BC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2﹣8a的顶点为A，0＜h＜．
（1）若a＝1，
①点A到x轴的距离为 ；
②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；
（2）已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线y＝﹣2x+1的两个交点分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（xD，yD）在此抛物线上，当x1＜xD＜x2时，yD总满足y2＜yD＜y1，求a的值和h的取值范围．
27．在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AB的中点，E为边AC上一动点（不与点A，C重合），连接DE，点A关于直线BC的对称点为F，过点F作FH⊥DE于点H，交射线BC于点G．
（1）如图1，当AE＜EC时，写出∠ADE与∠BFG的大小关系；
（2）如图1，当AE＜EC时，用等式表示线段BG与AE的数量关系，并证明；
（3）如图2．当AE＞EC时，依题意补全图2，用等式表示线段DE，CG，AC之间的数量关系（不需证明）．
28．对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点P给出如下定义；Q为图形G上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的k倍，则称点P为图形G的“k分点”．
已知点N（3，0），A（1，0），B（0，3），C（1，﹣1）．
（1）①在点A，B，C中，线段ON的“分点”是 ；
②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的值；
（2）以点O为圆心，r为半径画图，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围．
2022-2023学年北京市东城区汇文中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）第1−8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）如图，点A、B、C为⊙O上的点，∠AOB＝60°，则∠ACB＝（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
【分析】根据圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：∵＝，
∴∠ACB＝∠AOB，
∵∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝30°，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度得到的抛物线为（ ）
A．y＝2（x+3）2B．y＝2（x﹣3）2C．y＝2x2﹣3D．y＝2x2+3
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【解答】解：抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度得到的抛物线为y＝2x2+3，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．
3．（2分）将一元二次方程x2﹣6x+5＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．（x+3）2＝1B．（x﹣6）2＝1C．（x﹣3）2＝4D．（x﹣6）2＝4
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程作边写成完全平方形式即可．
【解答】解：移项得x2﹣6x＝﹣5，
配方得x2﹣6x+9＝﹣5+9，即（x﹣3）2＝4．
故选：C．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的示意图如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．a＜0B．b＜0C．c＞0D．Δ≥0
【分析】根据图象可知对称轴大于0，开口向下，与y轴交于负半轴，与x轴无交点，据此即可求解．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，即b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∵抛物线与x轴无交点，
∴Δ＜0，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
5．（2分）下列所给方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2+2x＝0B．5x2﹣4x﹣2＝0C．3x2﹣4x+1＝0D．4x2﹣3x+2＝0
【分析】求出各选项方程根的判别式的值，判断出正负即可确定一元二次方程是否有实数根．
【解答】解：A．x2+2x＝0，
∵b2﹣4ac＝4＞0，
∴方程有实数根，故本选项不符合题意；
B.5x2﹣4x﹣2＝0，
∵b2﹣4ac＝16+40＝56＞0，
∴方程有实数根，故本选项不符合题意；
C.3x2﹣4x+1＝0，
∵b2﹣4ac＝16﹣12＝4＞0，
∴方程有实数根，故本选项不符合题意；
D.4x2﹣3x+2＝0，
∵b2﹣4ac＝9﹣32＝﹣23＜0，
∴方程没有实数根，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟记“当Δ＜0时，一元二次方程没有实数根”是解本题的关键．
6．（2分）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．4B．8C．D．
【分析】连接BD．由题意，△BCD是等腰直角三角形，故可得出结论．
【解答】解：如图，连接BD．
由题意，△BCD是等腰直角三角形，
∵BD＝8，∠CBD＝45°，∠BCD＝90°，
∴BC＝BD＝4．
故选：D．
【点评】本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．
7．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖
D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得
【分析】根据必然事件，随机事件，不可能事件的特点，以及列表法与树状图法逐一判断即可．
【解答】解：A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，故A不符合题意；
B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，故B符合题意；
C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就可能会中奖，故C不符合题意；
D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率不可以用列举法求得，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了概率的意义，随机事件，概率公式，列表法与树状图法，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
8．（2分）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB＝2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】作OC⊥AP，根据垂径定理得AC＝AP＝x，再根据勾股定理可计算出OC＝，然后根据三角形面积公式得到y＝x•（0≤x≤2），再根据解析式对四个图形进行判断．
【解答】解：作OC⊥AP，如图，则AC＝AP＝x，
在Rt△AOC中，OA＝1，OC＝＝＝，
所以y＝OC•AP＝x•（0≤x≤2），
所以y与x的函数关系的图象为A选项．
故选：A．
排除法：
很显然，并非二次函数，排除B选项；
采用特殊位置法；
当P点与A点重合时，此时AP＝x＝0，S△PAO＝0；
当P点与B点重合时，此时AP＝x＝2，S△PAO＝0；
当AP＝x＝1时，此时△APO为等边三角形，S△PAO＝；
排除B、C、D选项，
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）在半径为3cm的圆中，150°的圆心角所对弧的弧长是 π cm．
【分析】根据弧长公式进行计算即可求解．
【解答】解：半径为3cm的圆中，150°的圆心角所对弧的弧长是．
故答案为：．
【点评】本题考查了求弧长，掌握弧长公式是解题的关键．
10．（2分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则BH的长度为 2 ．
【分析】根据垂径定理得到CH＝4，再根据勾股定理计算出OH＝3，进而得出答案．
【解答】解：连接OC，
∵CD⊥AB，CD＝8，
∴CH＝DH＝CD＝4，∠OHC＝90°，
∵直径AB＝10，
∴OB＝OC＝5，
在Rt△OCH中，OH＝＝＝3，
∴BH＝OB﹣OH＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了垂径定理与勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OH的长是解题的关键．
11．（2分）若点A（﹣1，y1），B（3，y2）在抛物线y＝x2上，则y1，y2的大小关系为：y1 ＜ y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【分析】由抛物线开口向上可得距离对称轴越远的点y值越大，从而求解．
【解答】解：由y＝x2可得抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∵|﹣1|＜|3|，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
12．（2分）关于x的一元二次方程x2+mx+4＝0有一个根为1，则m的值为 ﹣5 ．
【分析】把x＝1代入方程x2+mx+4＝0得1+m+4＝0，然后解关于m的方程．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx+4＝0得1+m+4＝0，
解得m＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13．（2分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为 40° ．
【分析】连接OA、OB，先根据圆周角定理求出∠AOB，根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，然后根据四边形内角和可计算出∠P的度数．
【解答】解：连接OA、OB，如图，
∵∠ACB＝70°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
14．（2分）据了解，2022年9月，某展览中心参观人数为12.5万人，比7月份的参观人数增加了2.5万人，设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为 （12.5﹣2.5）（1+x）2＝12.5 ．
【分析】利用某展览中心2022年9月参观人数＝某展览中心2022年7月参观人数×（1+参观人数的月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得（12.5﹣2.5）（1+x）2＝12.5，
故答案为：（12.5﹣2.5）（1+x）2＝12.5．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表：
直接写出该二次函数的图象与x轴的交点坐标 （﹣1，0），（3，0） ．
【分析】利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，再利用抛物线的对称性写出点（3，0）关于直线x＝1的对称点即可．
【解答】解：∵抛物线经过点（0，﹣3），（2，﹣3），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
即该二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．
故答案为：（﹣1，0），（3，0）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象与x轴的交点为二次函数图象的上的对称点．也考查了二次函数的性质．
16．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示，对于此抛物线有如下四个结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③4a+b＝0；④m+9a＝0；⑤若此抛物线经过点C（t，n）．则t﹣4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是 ③④ ．
【分析】由抛物线开口和抛物线与y轴交点，对称轴，判断①，由抛物线的对称性及经过点B（5，0）可判断②，由对称轴为x＝2，得出b＝﹣4a，即可判断③，由抛物线对称轴为直线x＝2可得b＝﹣4a，由a﹣b+c＝0可得c＝﹣5a，从而判断④，点C对称点横坐标为4﹣t可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，①错误．
∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），
∴对称轴为x＝2
∵抛物线过点B（5，0），
∴由对称性可得抛物线经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，②错误，
∵，
∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，故③正确
∴5a+c＝0，
∴c＝﹣5a
∵A（2，m）为抛物线顶点，
∴4a+2b+c＝m，
∴4a﹣8a﹣5a＝m，即m+9a＝0，④正确，
∵点C（t，n）在抛物线上，
∴点C关于对称轴对称点（4﹣t，n）在抛物线上，
∴4﹣t为ax2+bx+c＝n的一个根，⑤错误．
故答案为：③④．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
三、解答题（总分68）
17．解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
【分析】因式分解法求解可得．
【解答】解：（x+1）（x﹣5）＝0，
则x+1＝0或x﹣5＝0，
∴x＝﹣1或x＝5．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键
18．下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，△ABC．
求作：直线BD，使得BD∥AC．
作法：如图2，
①分别作线段AC，BC的垂直平分线l1，l2，两直线交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径作圆；
③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交于点D；
④作直线BD．
所以直线BD就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在⊙O上，AD＝BC，
∴＝ ．
∴∠DBA＝∠CAB（ 在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等 ）（填推理的依据）．
∴BD∥AC．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据圆周角定理和平行线的判定证明即可．
【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；
（2）证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在⊙O上，AD＝BC，
∴＝．
∴∠DBA＝∠CAB（在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等）．
∴BD∥AC．
故答案为：．在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）画出此函数的图象（不需要列表）；
（3）若点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式求解即可；
（2）先列表，然后描点、连线即可；
（3）由函数图象过点（0，﹣3）和（2，﹣3），根据函数图象求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）列表得：
函数图象如下图所示：
（3）由函数图象可知，当y1＜y2时，m＜0或m＞2．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，图象法求自变量的取值范围，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于﹣2，求k的取值范围．
【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证；
（2）根据公式法求得方程的解，得出x1＝2，x2＝k+3，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．
【解答】（1）证明：关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0，
∴a＝1，b＝﹣（k+5），c＝6+2k，
∵b2﹣4ac＝[﹣（k+5）]2﹣4×1×（6+2k）
＝k2+10k+25﹣24﹣8k
＝k2+2k+1
＝（k+1）2≥0，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：x2﹣（k+5）x+6+2k＝0，
∵Δ＝（k+1）2，
∴，
解得x1＝2，x2＝k+3，
∵此方程恰有一个根小于﹣2，
∴k+3＜﹣2，
解得k＜﹣5．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
21．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数﹣2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数﹣5，m，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若a＜b，小明胜；若a＝b，为平局；若a＞b，小刚胜．
（1）若m＝﹣2，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；
（2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值．
【分析】（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有2种，a＞b的结果有3种，再由概率公式分别求解即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有3种，a＞b的结果有3种，再由概率公式得小明获胜的概率＝小刚获胜的概率即可．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有2种，a＞b的结果有3种，
∴小明获胜的概率为＝，小刚获胜的概率为＝；
（2）m为0时，小明和小刚获胜的概率相同，理由如下：
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有3种，a＞b的结果有3种，
∴小明获胜的概率＝小刚获胜的概率＝＝．
【点评】此题考查了树状图法求概率．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2），若该圆弧所在圆的圆心为D点，请你利用网格图回答下列问题：
（1）圆心D的坐标为 （﹣2，0） ；
（2）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长（结果保留根号）．
【分析】（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，则点D即为该圆弧所在圆的圆心，可知点D的坐标为（﹣2，0）．
（2）连接AC、AD和CD，根据勾股定理的逆定理求出∠CDA＝90°，根据弧长公式和圆的周长求出答案即可．
【解答】解：（1）分别作线段AB和线段BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点，就是圆心D，如图，
D点正好在x轴上，D点的坐标是（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）；
（2）连接AC、AD、CD，
⊙D的半径长＝，
∵AD2+CD2＝20+20＝40，AC2＝40，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°．
设圆锥的底面圆的半径长为r，
则，
解得：，
所以该圆锥底面圆的半径长为．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，垂径定理，圆锥的计算，勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，能求出D点的坐标和求出∠CDA＝90°是解此题的关键．
23．如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若BC＝16，⊙O的半径为10．求△ABC的面积．
【分析】（1）根据垂径定理可得，根据等弧所对的弦相等，即可证明；
（2）连接OB，勾股定理求得OD，继而得出AD，根据三角形面积公式进行计算即可求解．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴，
∴AB＝AC；
（2）解：连接OB，
∵AD⊥BC，
∴BD＝BC＝8，
在Rt△OBD中，BO＝10，BD＝8，
∴OD＝＝6，
∴AD＝AO+OD＝10+6＝16，
∴S△ABC＝BC•AD＝×16×16＝128．
【点评】本题考查了垂径定理，弧与弦的关系，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
24．“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲，在义卖的过程中发现，这种文化衫每天的销售件数y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y＝﹣3x+108（20＜x＜36）．如果义卖这种文化衫每天的利润为p（元），
（1）求出p与x的关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意得出每天获得的利润p＝（﹣3x+108）（x﹣20）；
（2）对（1）中所求式子进行变形，p＝﹣3（x﹣28）2+192，于是求出每天获得的利润p最大时的销售价格．
【解答】解：（1）根据题意得：
p＝（﹣3x+108）（x﹣20）
＝﹣3x2+168x﹣2160．
（2）p＝﹣3x2+168x﹣2160＝﹣3（x﹣28）2+192．
∵a＝﹣3＜0，
∴当x＝28时，利润最大＝192元；
答：当销售单价定为28元时，每天获得的利润最大，最大利润是192元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用的知识点；解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及最值得求法，此题难度不大．
25．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，DE⊥BC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．
【分析】（1）要证明DE是⊙O的切线，所以连接OD，求出∠ODE＝90°即可，根据已知DE⊥BC，可得∠DEC＝90°，所以只要证明OD∥BE即可解答；
（2）由（1）可得BD平分∠ABC，所以想到过点D作DF⊥AB，垂足为F，进而证明△ADF≌△CDE，可得AF＝CE，易证△BDF≌△BDE，可得BF＝BE，然后进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∵D是的中点，
∴＝，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC，
∴∠ODE＝180°﹣∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，
由（1）得：∠ABD＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC，
∵DF⊥AB，DE⊥BC，
∴DF＝DE，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠DCB＝180°，
∵∠DCB+∠DCE＝180°，
∴∠A＝∠DCE，
∵∠DFA＝∠DEC＝90°，
∴△ADF≌△CDE（AAS），
∴AF＝EC，
∵∠DFB＝∠DEC＝90°，BD＝BD，
∴△BDF≌△BDE（AAS），
∴BF＝BE，
设AF＝EC＝x，则BE＝BF＝8+x，
∵AB＝10，
∴AF+BF＝10，
∴x+8+x＝10，
∴x＝1，
∴BF＝9，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝∠DBF，
∴△BFD∽△BDA，
∴BD2＝BF•BA，
∴BD2＝90，
∴BD＝3．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，添加辅助线是解题的关键．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2﹣8a的顶点为A，0＜h＜．
（1）若a＝1，
①点A到x轴的距离为 8 ；
②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；
（2）已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线y＝﹣2x+1的两个交点分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（xD，yD）在此抛物线上，当x1＜xD＜x2时，yD总满足y2＜yD＜y1，求a的值和h的取值范围．
【分析】（1）①把a＝1代入函数解析式求出顶点坐标，进而求解．②令y＝0，求出x1与x2，进而求解．
（2）由当x1＜xD＜x2时，yD总满足y2＜yD＜y1可得当x1＜x＜x2时，y随x增大而减小，从而可得点A与点C重合或点A在点C右侧，进而求解．
【解答】解：（1）①把a＝1代入y＝a（x﹣h）2﹣8a得y＝（x﹣h）2﹣8，
∴抛物线顶点坐标为（h，﹣8），
∴点A到x轴的距离为|﹣8|＝8，
故答案为：8．
②把y＝0代入y＝（x﹣h）2﹣8得0＝（x﹣h）2﹣8，
解得x1＝h+2，x2＝h﹣2，
∵x1﹣x2＝h+2﹣（h﹣2）＝4，
∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4．
（2）∵y＝a（x﹣h）2﹣8a，
∴点A坐标为（h，﹣8a），
∴|﹣8a|＝4，
解得a＝或a＝﹣，
当a＝时，如图，当抛物线开口向上，
∴a＝，y＝（x﹣h）2﹣4，
∴点A坐标为（h，﹣4），
把x＝h代入y＝﹣2x+1得y＝﹣2h+1，
当﹣2h+1≤﹣4时，解得h≥，
∵0＜h＜，
∴≤h＜．
当a＝﹣时，y＝﹣（x﹣h）2+4，
令﹣2x+1＝﹣（x﹣h）2+4，
整理得x2﹣（2h+4）x+h2﹣6＝0，
∴Δ＝（﹣2h﹣4）2﹣4（h2﹣6）＞0，
整理得h＜﹣，与题干不符，舍去；
综上，h的取值范围为≤h＜．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过数形结合求解．
27．在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AB的中点，E为边AC上一动点（不与点A，C重合），连接DE，点A关于直线BC的对称点为F，过点F作FH⊥DE于点H，交射线BC于点G．
（1）如图1，当AE＜EC时，写出∠ADE与∠BFG的大小关系；
（2）如图1，当AE＜EC时，用等式表示线段BG与AE的数量关系，并证明；
（3）如图2．当AE＞EC时，依题意补全图2，用等式表示线段DE，CG，AC之间的数量关系（不需证明）．
【分析】（1）在EC上截取EM＝AE，可证明得∠ADE＝∠F，进而证明△ABM≌△BFG，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得AM＝BG，即可得出结论；
（3）由（1）可知，△ABM≌△BFG，得出BG＝AM，再证CM＝CG，由三角形中位线定理得BM＝2DE，然后在RtBCM中，由勾股定理即可得出结论．
【解答】解：（1）∠ADE＝∠BFG，理由如下：
如图1，在AC上截取EM＝AE，连接BM，
∵FH⊥DE，
∴∠FHE＝∠GHE＝90°，
∵∠ACB＝∠ECG＝90°，
在四边形BDHF中，∠ABC+∠DHF＝180°，
∴∠F+∠BDH＝180°，
∵∠DEC+∠DEA＝180°，
∴∠DEA＝∠HGC，
∵AD＝DB，AE＝EM，
∴DE是△ABM的中位线，
∴DE∥BM，
∴∠ABM＝∠ADE，
∴∠ABM＝∠F，
在△ABM和△BFG中，
，
∴△ABM≌△BFG（ASA），
∴∠ABM＝∠BFG，
∴∠ADE＝∠BFG；
（2）由（1）可知，EM＝AE，△ABM≌△BFG，
∴AM＝BG，
∵AM＝2AE，
∴BG＝2AE；
（3）补全图形如图2所示，
延长AC至M，使EM＝AE，连接BM，
∵AD＝BD，
∴DE是△ABM的中位线，
∴BM＝2DE，
由（1）知：△ABM≌△BFG（ASA），
∴AM＝BG，
∴AC+CM＝BC+CG，
∵AC＝BC，
∴CM＝CG，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：BC2+CM2＝BM2，
∴AC2+CG2＝（2DE）2＝4DE2．
【点评】本题是几何变换综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、三角形中位线定理、平行线的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
28．对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点P给出如下定义；Q为图形G上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的k倍，则称点P为图形G的“k分点”．
已知点N（3，0），A（1，0），B（0，3），C（1，﹣1）．
（1）①在点A，B，C中，线段ON的“分点”是 点B ；
②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的值；
（2）以点O为圆心，r为半径画图，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围．
【分析】（1）①分别求出点A、B、C到线段ON的最小值和最大值，看是否满足“分点”定义即可，
②对a的取值分情况讨论：0＜a≤1，1＜a≤2，a＞2和a＜0，根据“二分点”的定义可求解，
（2）设线段AN上存在⊙O的“二分点”为M（m，0）（1≤m≤3）．对r的取值分情况讨论0＜r≤1，1＜r＜3且m＜r，1＜r＜3且m＞r，r≥3，根据二分点的定义可求解．
【解答】（1）解：①如图，
∵点A在ON上，故最小值为0，不符合题意，
点B到ON的最小值为OB＝3，最大值为，
∴点B是线段ON的“分点”，
点C到ON的最小值为1，最大值为
∴点C不是线段ON的“分点”，
故答案为：点B；
②当0＜a≤1时，点C到OD的最小值为，
点C到OD的最大值为，
∵点C为线段OD的“二分点”，
∴，
即2a2﹣4a+3＝0，
∵Δ＜0，
故无解，舍去；
当1＜a≤2时，点C到OD的最小值为1，
点C到OD的最大值为，最大值不是最小值的2倍，所以舍去，
当a＞2时，点C到OD的最小值为1，
点C到OD的最大值为，
∵点C为线段OD的“二分点”，
∴，（舍去），
当a＜0时，点C到OD的最小值为，
点C到OD的最大值为，
∵点C为线段OD的“二分点”，
同0＜a≤1时，无解，舍去；
综上，．
（2）如图所示，设线段AN上存在⊙O的“二分点”为M（m，0）（1≤m≤3），
当0＜r≤1时，最小值为：m﹣r，最大值为：m+r，
∴2（m﹣r）＝m+r，即，
∵1≤m≤3，
∴，
当1＜r＜3且m＜r时，最小值为：r﹣m，最大值为r+m，
∴2（r﹣m）＝r+m，即r＝3m，
∵1≤m≤3，
∴3≤r≤9，
∵1＜r＜3，
∴r不存在，
当1＜r＜3且m＞r时，最小值为：m﹣r，最大值为：m+r，
∴2（m﹣r）＝r+m，即，
∴，
∵1＜r＜3，
∴r不存在．
当r≥3时，最小值为：r﹣m，最大值为：m+r，
∴2（r﹣m）＝r+m，即r＝3m，
∴3≤r≤9．
综上所述，r的取值范围为或3≤r≤9．
【点评】本题考查坐标上的两点距离，勾股定理，点到圆的距离．根据题目所给条件，掌握“k分点”的定义是解题的关键．
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