2022-2023学年北京市海淀区首都师大附中第一分校八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市海淀区首都师大附中第一分校八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）
A．2，2，4B．2，3，4C．2，4，6D．2，2，6
3．（3分）如图，在△ABC中，BC边上的高为（ ）
A．线段AEB．线段BEC．线段BFD．线段CF
4．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．50°B．58°C．60°D．72°
5．（3分）下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等
D．两个锐角对应相等
6．（3分）若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（ ）
A．三角形B．六边形C．五边形D．四边形
7．（3分）如图，已知△ABC，AB＝AC，BD＝CD，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠BAC＝∠BB．∠1＝∠2C．AD⊥BCD．∠B＝∠C
8．（3分）将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中锐角∠α的度数是（ ）
A．45°B．60°C．70°D．75°
9．（3分）如图，尺规作图作∠AOB的平分线的方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于点C、D，再分别以点C、D为圆心，大于0.5CD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．由作法得△OCP≌△ODP从而得两角相等的根据是（ ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
10．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且∠EDF＝90°．下列结论中正确的有（ ）
①△BED≌△AFD；
②AC＝BE+FC；
③△EDF的面积S的取值范围是2≤S≤4；
④∠AGF＝∠AED．
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11．（3分）点M（3，﹣1）关于x轴的对称点的坐标为 ．
12．（3分）等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为 ．
13．（3分）在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中△ABC是一个格点三角形．请在图1和图2中各画出一个与△ABC成轴对称的格点三角形，并画出对称轴．
14．（3分）如图，已知∠1＝∠2，请你添加一个条件 ，使得△ABD≌△ACD．（添一个即可）
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝11cm，BD＝7cm，那么点D到直线AB的距离是 cm．
16．（3分）如图，AB＝4，AC＝3，D是AB上一点，若点D在BC的垂直平分线上，则△ACD周长为 ．
17．（3分）如图，将一张正方形的桌布折叠两次，就得到了一个漂亮的图案，在图3中，∠DFE的度数为 ．
18．（3分）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为 ．
三、解答题（本题共46分，第21题4分，第19、20、22、23、24，25、26题每题6分）
19．（6分）如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB．求证：∠A＝∠E．
20．（6分）如图，BE是△ABC的角平分线，DE∥BC．求证：△BDE是等腰三角形．
21．（4分）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（3，4），B（1，2），C（4，1）．△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，请你画出△A1B1C1，并写出各个顶点的坐标：A1： ，B1： ，C1： ．
22．（6分）马小虎在整理初二年级的数学资料时，找到了一张残缺的试卷，剩下的部分如图1所示，他发现△ABC只留下一条完整的边BC和一个完整的角∠B，请你帮助他还原∠ABC．要求在图2中尺规作图，保留作图痕迹，保留作法．
23．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，中线AD与角平分线BE相交于点F，求∠AFE的度数．
24．（6分）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，点B，D，E在同一条直线上．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）写出∠1、∠3之间的数量关系，并证明；
（3）当AD∥EC时，直接写出α的度数．
25．（6分）如图1，AD是△ABC的角平分线，∠B＝2∠C，试探究线段AB，BD，AC之间的数量关系．由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以可以尝试将角平分线一侧的三角形翻折（构造全等三角形），小明的解题思路如下：
①如图2，在AC上取一点E，使AE＝AB，连接DE．②由AB＝AE，AD平分∠BAE，AD是公共边，可得△ABD≌△AED（理由： ），则∠B＝∠AED，BD＝DE．③由∠B＝2∠C，则∠AED＝2∠C．又因为∠AED＝∠EDC+∠C，所以∠EDC＝∠C，则DE＝ ，又由BD＝DE，得BD＝EC．④根据上述的推理可知AB，BD，AC之间的数量关系为 ．
（1）请你补全小明的解题思路．
（2）参考小明的方法，解决下面的问题：如图3，△ABC中，∠A＝105°，∠C＝30°，BD平分∠ABC，求证：AB+CD＝BC．
2022-2023学年北京市海淀区首都师大附中第一分校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义求解即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；
B、是中心对称图形，故B不符合题意；
C、既不是轴对称图形有不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、既不是轴对称图形有不是中心对称图形，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形，掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）
A．2，2，4B．2，3，4C．2，4，6D．2，2，6
【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．
【解答】解：A、2+2＝4，不能摆成三角形，不符合题意；
B、2+3＞4，能摆成三角形，符合题意；
C、2+4＝6，不能摆成三角形，不符合题意；
D、2+2＜6，不能摆成三角形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
3．（3分）如图，在△ABC中，BC边上的高为（ ）
A．线段AEB．线段BEC．线段BFD．线段CF
【分析】利用三角形的高的定义可得答案．
【解答】解：在△ABC中，BC边上的高为AE，
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的高，关键是掌握从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
4．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．50°B．58°C．60°D．72°
【分析】根据已知数据找出对应角，根据全等得出∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：
∵△ABC和△DEF全等，AC＝DF＝b，DE＝AB＝a，
∴∠1＝∠B，∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，
∴∠1＝180°﹣∠D﹣∠F＝58°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，能根据全等三角形的性质得出∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
5．（3分）下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等
D．两个锐角对应相等
【分析】根据三角形全等的判定定理判断即可．
【解答】解：A、根据SAS定理可知，两条直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
B、根据AAS定理可知，斜边和一锐角对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
C、根据HL定理可知，斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
D、两个锐角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
6．（3分）若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（ ）
A．三角形B．六边形C．五边形D．四边形
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得
（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝4．
所以这个多边形是四边形．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．
7．（3分）如图，已知△ABC，AB＝AC，BD＝CD，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠BAC＝∠BB．∠1＝∠2C．AD⊥BCD．∠B＝∠C
【分析】由在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，根据等边对等角与三线合一的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴∠1＝∠2，AD⊥BC，∠B＝∠C．
故B、C、D正确，A错误．
故选：A．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
8．（3分）将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中锐角∠α的度数是（ ）
A．45°B．60°C．70°D．75°
【分析】根据直角三角板∠1＝60°，∠3＝45°，∠BAC＝90°，再根据角的和差关系可得∠2的度数，再利用三角形内角和为180°计算出∠α的度数．
【解答】解：根据直角三角板∠1＝60°，∠3＝45°，∠BAC＝90°，
∵∠2+∠3＝90°，
∴∠2＝90°﹣45°＝45°，
∴∠α＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，以及角的计算，关键是掌握三角形内角和为180°，正确计算出∠2的度数．
9．（3分）如图，尺规作图作∠AOB的平分线的方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于点C、D，再分别以点C、D为圆心，大于0.5CD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．由作法得△OCP≌△ODP从而得两角相等的根据是（ ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
【分析】认真阅读作法，从角平分线的作法得出△OCP与△ODP的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合SSS判定方法要求的条件，答案可得．
【解答】解：∵以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC＝OD；
以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP＝DP；
∴在△OCP和△ODP中
，
∴△OCP≌△ODP（SSS）．
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且∠EDF＝90°．下列结论中正确的有（ ）
①△BED≌△AFD；
②AC＝BE+FC；
③△EDF的面积S的取值范围是2≤S≤4；
④∠AGF＝∠AED．
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【分析】由等腰直角三角形的性质可证△BED≌△AFD（ASA），从而得出△DEF是等腰直角三角形，即可对结论进行逐一判断．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B＝45°，AD＝BD，∠ADC＝90°，
∵∠ADB＝∠EDF＝90°，
∴∠ADB﹣∠ADE＝∠EDF﹣∠ADE，
即∠BDE＝∠ADF，
在△BED和△AFD中，
，
∴△BED≌△AFD（ASA），故①正确；
∴BE＝AF，
∴AC＝AF+FC＝BE+FC，故②正确；
∵△BED≌△AFD，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE⊥AB时，S最小为×AB×AB＝×4×4＝2，
当点E与A或B重合时，S最大为S△ABC＝××4×4＝4，
∴△EDF的面积S的取值范围是2≤S≤4，故③正确；
∵∠AGF＝∠BAD+∠AEG＝45°+∠AEG，
∠AED＝∠AEG+∠DEF＝∠AEG+45°，
∴∠AGF＝∠AED，故④正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的判定与性质，三角形的外角的性质等知识，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11．（3分）点M（3，﹣1）关于x轴的对称点的坐标为 （3，1） ．
【分析】根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果．
【解答】解：根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴点M（3，﹣1）关于x轴的对称点的坐标是（3，1），
故答案为：（3，1）．
【点评】本题主要考查了两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，比较简单．
12．（3分）等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为 17 ．
【分析】因为边为3和7，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：分两种情况：
当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；
当3为腰时，其它两边为3和7，3+3＝6＜7，所以不能构成三角形，故舍去，
所以等腰三角形的周长为17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13．（3分）在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中△ABC是一个格点三角形．请在图1和图2中各画出一个与△ABC成轴对称的格点三角形，并画出对称轴．
【分析】根据轴对称的性质作出图形即可．
【解答】解：如图1，2中，△DEF即为所求（答案不唯一）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
14．（3分）如图，已知∠1＝∠2，请你添加一个条件 AB＝AC ，使得△ABD≌△ACD．（添一个即可）
【分析】要判定△ABD≌△ACD，已知AD＝AD，∠1＝∠2，具备了一组边对应相等，一组对应角相等，故添加AB＝AC后可根据SAS判定△ABD≌△ACD．
【解答】解：添加AB＝AC，
∵在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案为：AB＝AC．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝11cm，BD＝7cm，那么点D到直线AB的距离是 4 cm．
【分析】先求出CD的长，过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得DE＝CD，从而得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵BC＝11cm，BD＝7cm，
∴CD＝BC﹣BD＝11﹣7＝4cm，
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，
∴DE＝CD＝4cm，
即点D到直线AB的距离是4cm．
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
16．（3分）如图，AB＝4，AC＝3，D是AB上一点，若点D在BC的垂直平分线上，则△ACD周长为 7 ．
【分析】先根据点D在BC的垂直平分线上得出BD＝CD，故△ACD的周长＝AD+CD+AC＝AD+BD+AC＝AB+AC．
【解答】解：∵D是AB上一点，点D在BC的垂直平分线上，
∴BD＝CD，
∴△ACD的周长＝AD+CD+AC＝AD+BD+AC＝AB+AC＝3+4＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
17．（3分）如图，将一张正方形的桌布折叠两次，就得到了一个漂亮的图案，在图3中，∠DFE的度数为 30° ．
【分析】由矩形性质可得，∠BEC＝∠EDF＝90°，桌布折叠两次，可得∠BCE＝×90°＝30°，∠CBE＝∠FDE，进而可求出∠DFE的值．
【解答】解：由矩形性质可得，
∠BEC＝∠EDF＝90°，
桌布折叠两次可得，
∠BCE＝×90°＝30°，∠CBE＝∠FDE，
∴∠CBE＝90°﹣∠BCE＝60°，
∴∠FDE＝∠CBE＝60°，
∴∠DFE＝∠EDF﹣∠FDE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DFE的度数为30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了正方形的性质、角度的计算知识点，熟练把握折叠的性质是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
18．（3分）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为 120°或75°或30° ．
【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．
【解答】
解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝30°，
①当E在E1时，OE＝CE，
∵∠AOC＝∠OCE＝30°，
∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
②当E在E2点时，OC＝OE，
则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣30°）＝75°；
③当E在E3时，OC＝CE，
则∠OEC＝∠AOC＝30°；
故答案为：120°或75°或30°．
【点评】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．
三、解答题（本题共46分，第21题4分，第19、20、22、23、24，25、26题每题6分）
19．（6分）如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB．求证：∠A＝∠E．
【分析】直接利用平行线的性质结合全等三角形的判定方法得出答案．
【解答】证明：如图，∵BC∥DE，
∴∠ABC＝∠BDE．
在△ABC与△EDB中，
，
∴△ABC≌△EDB（SAS），
∴∠A＝∠E．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
20．（6分）如图，BE是△ABC的角平分线，DE∥BC．求证：△BDE是等腰三角形．
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABE＝∠EBC，然后利用平行线的性质可得∠DEB＝∠EBC，从而可得∠ABE＝∠DEB，最后利用等角对等边即可解答．
【解答】证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠DEB，
∴DB＝DE，
∴△BDE是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可得等腰三角形是解题的关键．
21．（4分）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（3，4），B（1，2），C（4，1）．△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，请你画出△A1B1C1，并写出各个顶点的坐标：A1： （﹣3，4） ，B1： （﹣1，2） ，C1： （﹣4，1） ．
【分析】根据轴对称的性质即可画出△A1B1C1，进而写出各个顶点的坐标．
【解答】解：如图，△A1B1C1即为所求；
A1（﹣3，4），B1（﹣1，2），C1（﹣4，1）．
故答案为：﹣3，4；﹣1，2；﹣4，1．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
22．（6分）马小虎在整理初二年级的数学资料时，找到了一张残缺的试卷，剩下的部分如图1所示，他发现△ABC只留下一条完整的边BC和一个完整的角∠B，请你帮助他还原∠ABC．要求在图2中尺规作图，保留作图痕迹，保留作法．
【分析】根据等腰三角形的性质作∠C＝∠B即可．
【解答】解：如图所示，即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质．
23．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，中线AD与角平分线BE相交于点F，求∠AFE的度数．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得∠ABC＝40°，∠BAD＝50°，根据角平分线的定义得∠ABE＝20°，利用三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝＝40°，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE＝20°，
∵AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是中线，
∴∠BAD＝50°，
∴∠AFE＝∠ABE+∠BAD＝70°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟记性质是解题的关键．
24．（6分）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，点B，D，E在同一条直线上．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）写出∠1、∠3之间的数量关系，并证明；
（3）当AD∥EC时，直接写出α的度数．
【分析】（1）根据角的和差求出∠BAD＝∠CAE，利用SAS即可证明△ABD≌△ACE；
（2）利用全等三角形的性质、等腰三角形的性质、邻补角的性质即可求解；
（3）利用平行线的性质和（2）的结论即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：2∠1+∠3＝180°；
理由如下：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC，
∵AD＝AE，
∴∠1＝∠AED，
∴∠AEC＝∠AED+∠3，
而∠ADB+∠1＝180°，
∴∠AED+∠3+∠1＝180°，
∴2∠1+∠3＝180°；
（3）解：∵AD∥EC，
∴∠1＝∠3，
而2∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝∠3＝60°，
∴∠DAE＝180°﹣2∠1＝60°，
∴α＝60°．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，同时也利用了等腰三角形的性质与平行线的性质，有一定的综合性．
25．（6分）如图1，AD是△ABC的角平分线，∠B＝2∠C，试探究线段AB，BD，AC之间的数量关系．由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以可以尝试将角平分线一侧的三角形翻折（构造全等三角形），小明的解题思路如下：
①如图2，在AC上取一点E，使AE＝AB，连接DE．②由AB＝AE，AD平分∠BAE，AD是公共边，可得△ABD≌△AED（理由： SAS ），则∠B＝∠AED，BD＝DE．③由∠B＝2∠C，则∠AED＝2∠C．又因为∠AED＝∠EDC+∠C，所以∠EDC＝∠C，则DE＝ CE ，又由BD＝DE，得BD＝EC．④根据上述的推理可知AB，BD，AC之间的数量关系为 AC＝BD+AB ．
（1）请你补全小明的解题思路．
（2）参考小明的方法，解决下面的问题：如图3，△ABC中，∠A＝105°，∠C＝30°，BD平分∠ABC，求证：AB+CD＝BC．
【分析】（1）如图2，在AC上取一点E，使AE＝AB，连接DE，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠AED，BD＝DE，根据等腰三角形的性质得到DE＝CE，等量代换即可得到结论；故答案为：SAS，CE，AC＝BD+AB；
（2）如图3，在BC上取一点F，使ABF＝AB，连接DF，根据角平分线 但对于得到∠ABD＝∠FBD，根据全等三角形的性质得到∠BFD＝∠A＝105°，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）解：①如图2，在AC上取一点E，使AE＝AB，连接DE，
②由AB＝AE，AD平分∠BAE，AD是公共边，可得△ABD≌△AED（理由：SAS），则∠B＝∠AED，BD＝DE，
③由∠B＝2∠C，则∠AED＝2∠C，
又因为∠AED＝∠EDC+∠C，
所以∠EDC＝∠C，
则DE＝CE，
又由BD＝DE，得BD＝EC，
④根据上述的推理可知AB，BD，AC之间的数量关系为AC＝BD+AB；
故答案为：SAS，CE，AC＝BD+AB；
（2）证明：如图3，在BC上取一点F，使ABF＝AB，连接DF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠FBD，
在△ABD与△FBD中，
，
∴△ABD≌△FBD（SAS），
∴∠BFD＝∠A＝105°，
∴∠CFD＝180°﹣105°＝75°，
∵∠C＝30°，
∴∠CDF＝180°﹣∠DFC﹣∠C＝75°，
∴∠CDF＝∠CFD，
∴CD＝CF，
∴BC＝BF+CF＝AB+CD．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
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