2022-2023学年北京市门头沟区大峪中学分校九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市门头沟区大峪中学分校九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）若两个相似多边形的相似比为1：2，则它们面积之比为（ ）
A．1：4B．1：2C．2：1D．4：1
2．（2分）二次函数y＝（x﹣1）2+2的最小值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
3．（2分）下列函数中，当x＞0时，y值随x值的增大而减小的是（ ）
A．y＝xB．y＝2x﹣1C．y＝D．y＝x2
4．（2分）若二次函数y＝﹣x2+2kx+3的图象与x轴交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．以上都不对
5．（2分）已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0D．x1＝1，x2＝3
6．（2分）已知点A（1，a）与点B（3，b）都在反比例函数的图象上，则a与b之间的关系是（ ）
A．a＞bB．a≥bC．a＜bD．a＝b
7．（2分）如果抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，﹣3）和（5，﹣3），那么抛物线的对称轴为（ ）
A．x＝3B．x＝﹣3C．D．
8．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）请写出一个过（1，﹣2），开口向下的二次函数表达式 ．
10．（2分）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于 ．
11．（2分）若二次函数y＝2x2﹣3的图象上有两个点A（﹣3，m）、B（2，n），则m n（填“＜”或“＝”或“＞”）．
12．（2分）已知，则＝ ．
13．（2分）二次函数表达式y＝（x﹣2）2+3向右平移2个单位，所得函数表达式为 ．
14．（2分）二次函数表达式y＝x2﹣3x+2沿x轴翻折的表达式为 ．
15．（2分）如图，铁路口栏杆短臂长1米，长臂长16米，当短臂端点下降0.5米时，长臂端点升高 米．
16．（2分）如图，反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，且图象上的点与坐标轴围成的矩形面积为2，请你在第三象限的图象上取一个符合题意的点，并写出它的坐标 ．
三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题5分，第27～28题每小题5分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（5分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．求证：DC2＝DA•DB．
18．（5分）已知二次函数y＝x2+bx+c，画此函数图象时，列表如下：
（1）求出b，c的值；
（2）在右边的坐标系中画出y＝x2+bx+c的图象；
（3）当0＜x＜3时，y的取值范围是 ．
19．（5分）如图，直线y＝mx与双曲线y＝相交于A、B两点，A点的坐标为（1，2）
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出当mx＞时，x的取值范围；
（3）计算线段AB的长．
20．（5分）如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F．
（1）证明△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝3，AD＝6，BE＝4，求DF的长．
21．（5分）已知抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出该抛物线的对称轴和顶点坐标．
22．（5分）已知关于x的二次函数y＝x2﹣6x+k+3与x轴有两个交点．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为大于3的整数，且该函数的图象与x轴交点的横坐标都是整数，求k的值．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（0，4），C（1，0），请在y轴正半轴上找到点D，使得△AOB与△DOC相似，求出点D坐标，并说明理由．
24．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象经过点A，作AC⊥x轴于点C．
（1）求k的值；
（2）直线y＝ax+b（a≠0）图象经过点A交x轴于点B，且OB＝2AC．求a的值．
25．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，3），B（1，0），连接BA，将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，反比例函数的图象G经过点C．
（1）请直接写出点C的坐标及k的值；
（2）若点P在图象G上，且∠POB＝∠BAO，求点P的坐标．
26．（6分）如图，在足够大的空地上有一段长为20米的旧墙EF，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣1，P（x1，m），Q（x2，m）（x1＜x2）是此抛物线上的两点．
（1）若a＝1，
①求抛物线顶点坐标；
②若2x2﹣x1＝7，求m的值；
（2）若存在实数b，使得x1≤b﹣3，且x2≥b+7成立，则m的取值范围是 ．
28．（7分）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．
（1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤2）中是有上界函数的为 （只填序号即可），其上确界为 ；
（2）如果函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的上确界是b，且这个函数的最小值不超过2a+1，求a的取值范围；
（3）如果函数y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值．
2022-2023学年北京市门头沟区大峪中学分校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．（2分）若两个相似多边形的相似比为1：2，则它们面积之比为（ ）
A．1：4B．1：2C．2：1D．4：1
【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算．
【解答】解：相似多边形的相似比是1：2，
面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：4；
故选：A．
【点评】本题考查了相似多边形的性质；熟记相似多边形的性质是关键．
2．（2分）二次函数y＝（x﹣1）2+2的最小值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
【分析】根据完全平方式和顶点式的意义，可直接得出二次函数的最小值．
【解答】解：由于（x﹣1）2≥0，
所以当x＝1时，函数取得最小值为2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，要熟悉非负数的性质，找到完全平方式的最小值即为函数的最小值．
3．（2分）下列函数中，当x＞0时，y值随x值的增大而减小的是（ ）
A．y＝xB．y＝2x﹣1C．y＝D．y＝x2
【分析】分别利用一次函数以及二次函数和反比例函数的性质分析得出即可．
【解答】解：A、y＝x，y随x的增大而增大，故A选项错误；
B、y＝2x﹣1，y随x的增大而增大，故B选项错误；
C、y＝，当x＞0时，y值随x值的增大而减小，此C选项正确；
D、y＝x2，当x＞0时，y值随x值的增大而增大，此D选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数、一次函数、正比例函数以及反比例函数的性质等知识，熟练应用函数的性质是解题关键．
4．（2分）若二次函数y＝﹣x2+2kx+3的图象与x轴交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．以上都不对
【分析】令函数值为0，得到一元二次方程，根据根的判别式判断有几个解就与x轴有几个交点．
【解答】解：当与x轴相交时，函数值为0．
0＝﹣x2+2kx+3，
Δ＝b2﹣4ac＝4k2+12＞0，
∴方程有2个不相等的实数根，
∴抛物线y＝﹣x2+2kx+3与x轴交点的个数为2个．
故选：C．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，令函数值为0，得到一元二次方程，根据根的判别式确定抛物线与x轴的交点个数是解题的关键．
5．（2分）已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0D．x1＝1，x2＝3
【分析】关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根就是二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标．
【解答】解：∵二次函数的解析式是y＝x2﹣3x+m（m为常数），
∴该抛物线的对称轴是：x＝．
又∵二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），
∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），
∴关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根分别是：x1＝1，x2＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题时，也可以利用代入法求得m的值，然后来求关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根．
6．（2分）已知点A（1，a）与点B（3，b）都在反比例函数的图象上，则a与b之间的关系是（ ）
A．a＞bB．a≥bC．a＜bD．a＝b
【分析】把所给点的横纵坐标代入反比例函数的解析式，求出a与b的值，比较大小即可．
【解答】解：点A（1，a）在反比例函数y＝﹣的图象上，a＝﹣12，
点（3，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，b＝﹣4，
∴a＜b．
故选：C．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积等于比例系数．
7．（2分）如果抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，﹣3）和（5，﹣3），那么抛物线的对称轴为（ ）
A．x＝3B．x＝﹣3C．D．
【分析】根据图象上函数值相等的点关于对称轴对称，可得抛物线的对称轴．
【解答】解：由点（﹣2，﹣3）和（5，﹣3）都是抛物线y＝ax2+bx+c上的点，
得（﹣2，﹣3）、（5，﹣3）关于对称轴对称，
即对称轴过（﹣2，﹣3）、（5，﹣3）的中点，
∴对称轴为直线x＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，图象上函数值相等点的垂直平分线是抛物线的对称轴．
8．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x＝1计算2a+b与0的关系，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b，故本选项正确；
②由对称轴为x＝1，一个交点为（﹣1，0），
∴另一个交点为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3，故本选项正确；
③由对称轴为x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，则2a+b＝0，故本选项正确；
④∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于（0，2），
∴c＝2，
∵a＜0，
∴c﹣a＞2，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求出2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）请写出一个过（1，﹣2），开口向下的二次函数表达式 y＝﹣（x﹣1）2﹣2（答案不唯一） ．
【分析】由开口向下可知二次项系数小于0，由顶点在（1，﹣2）可设其为顶点式，可求得答案．
【解答】解：可设顶点坐标为（1，﹣2），
∴抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，
∵图象开口向下，
∴a＜0，
∴可取a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2﹣2（答案不唯一）．
故答案为：y＝﹣（x﹣1）2﹣2（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
10．（2分）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于 5：8 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DE∥BC得到AE：EC＝AD：DB＝3：5，则利用比例性质得到CE：CA＝5：8，然后利用EF∥AB可得到CF：CB＝5：8．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴AE：EC＝AD：DB＝3：5，
∴CE：CA＝5：8，
∵EF∥AB，
∴CF：CB＝CE：CA＝5：8．
故答案为5：8．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
11．（2分）若二次函数y＝2x2﹣3的图象上有两个点A（﹣3，m）、B（2，n），则m ＞ n（填“＜”或“＝”或“＞”）．
【分析】把点的坐标代入函数解析式可求得m、n的值，再进行比例大小即可．
【解答】解：
∵A（﹣3，m）、B（2，n）在函数y＝2x2﹣3的图象上，
∴m＝2×（﹣3）2﹣3＝15，n＝2×22﹣3＝5，
∴m＞n，
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
12．（2分）已知，则＝ ．
【分析】根据比例的合比性质可直接求解．
【解答】解：∵，
∴＝＝．
【点评】熟练应用比例的合比性质对已知问题进行化简求值．
13．（2分）二次函数表达式y＝（x﹣2）2+3向右平移2个单位，所得函数表达式为 y＝（x﹣4）2+3 ．
【分析】根据左加右减的平移规律求解即可．
【解答】解：二次函数表达式y＝（x﹣2）2+3向右平移2个单位，所得函数表达式为y＝（x﹣2﹣2）2+3＝（x﹣4）2+3，
故答案为：y＝（x﹣4）2+3，
【点评】本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
14．（2分）二次函数表达式y＝x2﹣3x+2沿x轴翻折的表达式为 y＝﹣x2+3x﹣2 ．
【分析】根据二次函数图象关于x轴对称的性质即可求解．
【解答】解：∵y＝x2﹣3x+2＝（x﹣）2﹣，
∴二次函数表达式y＝x2﹣3x+2沿x轴翻折的表达式为y＝﹣（x﹣）2+，
即y＝﹣x2+3x﹣2，
故答案为：y＝﹣x2+3x﹣2，
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数图象及其性质是解题的关键．
15．（2分）如图，铁路口栏杆短臂长1米，长臂长16米，当短臂端点下降0.5米时，长臂端点升高 8 米．
【分析】连接AB、CD，根据相似三角形的判定定理判断出△AOB∽△COD，再由相似三角形的对应边成比例即可得出CD的长．
【解答】解：连接AB、CD，由题意可知，OA＝OB＝1米，OC＝OD＝16米，AB＝0.5米，
在△AOB与△COD中，
∵＝，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴＝，即＝，
解得CD＝8米．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，根据题意判断出△AOB∽△COD，再根据相似三角形的对应边成比例即可解答．
16．（2分）如图，反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，且图象上的点与坐标轴围成的矩形面积为2，请你在第三象限的图象上取一个符合题意的点，并写出它的坐标 满足y＝的第三象限点均可，如（﹣2，﹣1） ．
【分析】根据反比例函数的图象过点A（1，2）可求出k的值，再根据在第三象限图象内找出符合条件的点即可．
【解答】解：点（1，2）代入得，k＝2，
∴反比例函数的关系式为：y＝，
∵第三象限内的点x＜0，y＜0，
∴当x＝﹣2时，y＝﹣1，
故答案为：满足y＝的第三象限点均可，如（﹣2，﹣1）
【点评】考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用的方法．
三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题5分，第27～28题每小题5分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（5分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．求证：DC2＝DA•DB．
【分析】根据同角的余角相等得到∠ACD＝∠B，证明△ACD∽△CBD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可证明．
【解答】证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠DCB+∠B＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCB+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，又∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴DC2＝DA•DB．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握同角的余角相等、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
18．（5分）已知二次函数y＝x2+bx+c，画此函数图象时，列表如下：
（1）求出b，c的值；
（2）在右边的坐标系中画出y＝x2+bx+c的图象；
（3）当0＜x＜3时，y的取值范围是 ﹣1≤y＜3 ．
【分析】（1）根据抛物线的对称性求得对称轴，即可求得b的值，由抛物线过点（0，3），即可求得c＝3；
（2）根据表格数据描点，连线，画图即可；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵x＝1、x＝3时的函数值相等，都是0，
∴﹣＝，
∴b＝﹣4，
∵二次函数y＝x2+bx+c图象经过点（0，3），
∴c＝3；
（2）描点、连线画出函数图象如图：
（3）当0＜x＜3时，y的取值范围是﹣1≤y＜3．
故答案为：﹣1≤y＜3．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象的作法是解题的关键．
19．（5分）如图，直线y＝mx与双曲线y＝相交于A、B两点，A点的坐标为（1，2）
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出当mx＞时，x的取值范围；
（3）计算线段AB的长．
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案；
（2）求出直线的解析式，解组成的方程组求出B的坐标，根据A、B的坐标结合图象即可得出答案；
（3）根据A、B的坐标．利用勾股定理分别求出OA、OB，即可得出答案．
【解答】解：（1）把A（1，2）代入y＝得：k＝2，
即反比例函数的表达式是y＝；
（2）把A（1，2）代入y＝mx得：m＝2，
即直线的解析式是y＝2x，
解方程组得出B点的坐标是（﹣1，﹣2），
∴当mx＞时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1；
（3）过A作AC⊥x轴于C，
∵A（1，2），
∴AC＝2，OC＝1，
由勾股定理得：AO＝＝，
同理求出OB＝，
∴AB＝2．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式的应用，主要考查学生的理解能力和观察图象的能力，题目比较典型，难度不大．
20．（5分）如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F．
（1）证明△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝3，AD＝6，BE＝4，求DF的长．
【分析】（1）利用矩形和直角三角形的性质得到∠AEB＝∠EAD、∠ADF＝∠EAB，从而证得两个三角形相似．
（2）首先利用勾股定理求得线段AE的长，然后利用相似三角形的性质：对应边成比例即可求得DF的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵DF⊥AE
∴∠ADF＝∠EAB
∴△ABE∽△DFA；
（2）∵AB＝3，BE＝4，
∴由勾股定理得AE＝5，
∵△ABE∽△DFA；
∴
即：
∴DF＝3.6
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的性质的知识，综合性比较强，但难度不是很大．
21．（5分）已知抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出该抛物线的对称轴和顶点坐标．
【分析】（1）由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；
（2）根据二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h求解即可．
【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x2﹣4x+4）﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1；
（2）∵y＝（x﹣2）2﹣1，
∴对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1）．
【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质，难度适中．利用配方法将一般式转化为顶点式是解题的关键．
22．（5分）已知关于x的二次函数y＝x2﹣6x+k+3与x轴有两个交点．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为大于3的整数，且该函数的图象与x轴交点的横坐标都是整数，求k的值．
【分析】（1）根据抛物线与x轴有两个交点，求出Δ的取值范围，即可求出k的取值范围；
（2）根据（1）的结论，且k为正整数，求出k的值，将k代入抛物线解析式，检验是否与x轴有两个交点即可；
【解答】解：（1）根据题意知，Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（k+3）＞0，
解得：k＜6；
（2）∵3＜k＜6，且k为整数，
∴k＝4或k＝5，
当k＝4时，函数解析式为y＝x2﹣6x+7，不符合题意，舍去；
当k＝5时，函数解析式为y＝x2﹣6x+8，与x轴的交点为（0，2）、（4，0），符合题意，
故k＝5．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴交点问题．解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（0，4），C（1，0），请在y轴正半轴上找到点D，使得△AOB与△DOC相似，求出点D坐标，并说明理由．
【分析】分△AOB∽△DOC和△AOB∽△COD两种情况进行讨论，利用相似三角形的对应边成比例求得相关线段的长度，继而求得点D的坐标．
【解答】解：（0，）或（0，2）．理由如下：
若△AOB∽△DOC，点D在x轴上方：∠B＝∠OCD，
∴，即．
∴OD＝．
∴D（0，），
若△AOB∽△COD，点D在x轴上方：可得D（0，2）．
综上所述，D点的坐标是（0，）或（0，2）．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质问题，能够结合坐标与图形熟练求解．
24．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象经过点A，作AC⊥x轴于点C．
（1）求k的值；
（2）直线y＝ax+b（a≠0）图象经过点A交x轴于点B，且OB＝2AC．求a的值．
【分析】（1）将A（2，2）代入y＝，即可求出k的值；
（2）首先根据OB＝2AC求出OB＝4．再分两种情况进行讨论：①B（﹣4，0）；②B（4，0）．将A、B两点的坐标代入y＝ax+b，利用待定系数法即可求出a的值．
【解答】解：（1）∵函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，2），
∴k＝2×2＝4；
（2）∵OB＝2AC，AC＝2，
∴OB＝4．
分两种情况：
①如果B（﹣4，0）．
∵直线y＝ax+b（a≠0）图象经过点A交x轴于点B，
∴，解得；
②如果B（4，0）．
∵直线y＝ax+b（a≠0）图象经过点A交x轴于点B，
∴，解得．
综上，所求a的值为或﹣1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，进行分类讨论是解（2）小题的关键．
25．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，3），B（1，0），连接BA，将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，反比例函数的图象G经过点C．
（1）请直接写出点C的坐标及k的值；
（2）若点P在图象G上，且∠POB＝∠BAO，求点P的坐标．
【分析】（1）过C点作CH⊥x轴于H，如图，利用旋转的性质得BA＝BC，∠ABC＝90°，再证明△ABO≌△BCH得到CH＝OB＝1，BH＝OA＝3，则C（4，1），然后把C点坐标代入反比例函数中可计算出k的值；
（2）画出过点C的反比例函数的的草图，结合条件点P在图象G上，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：（1）过C点作CH⊥x轴于H，如图，
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BC，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠ABO+∠CBH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBH，
在△ABO和△BCH中，
，
∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴CH＝OB＝1，BH＝OA＝3，
∴C（4，1），
∵点C落在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝4×1＝4；
（2）过O作OP∥BC交y＝的图象于点P，过P作PG⊥x轴于G，
∵∠POG＝∠OAB，
∵∠AOB＝∠PGO，
∴△OAB∽△OGP，
∴PG：OG＝OB：OA＝1：3，
∵点P在y＝上，
∴3yP•yP＝4，
∴yP＝，
∴点P的坐标为（2，）．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了坐标与图形变化﹣旋转，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正确作出辅助线是解题的关键．
26．（6分）如图，在足够大的空地上有一段长为20米的旧墙EF，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
【分析】（1）设AD＝BC＝x米，知AB＝DC＝米，根据矩形的面积公式列出关于x的方程，解之即可；
（2）设矩形菜园ABCD面积为y，根据矩形的面积公式得出y＝x•＝﹣x2+50x＝﹣（x﹣50）2+1250，由0＜x≤20，并结合二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设AD＝BC＝x米，
则AB＝DC＝米，
根据题意，得：x•＝450，
解得x1＝10，x2＝90，
x＝90＞20，舍去，
∴所用旧墙AD的长为10米；
（2）设矩形菜园ABCD面积为y，
则y＝x•
＝﹣x2+50x
＝﹣（x﹣50）2+1250，
∵0＜x≤20，
∴当x＝20时，y取得最大值，最大值为800，
答：矩形菜园ABCD面积的最大值为800平方米．
【点评】本题主要考查二次函数的实际应用能力，熟练掌握二次函数的性质是解题的根本，根据题意知道如何表示矩形的面积，并配方成顶点式是解题的难点和关键．
27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣1，P（x1，m），Q（x2，m）（x1＜x2）是此抛物线上的两点．
（1）若a＝1，
①求抛物线顶点坐标；
②若2x2﹣x1＝7，求m的值；
（2）若存在实数b，使得x1≤b﹣3，且x2≥b+7成立，则m的取值范围是 m≥24 ．
【分析】（1）①把a＝1代入解析式求解．②用含m代数式求出x1，x2，进而求解．
（2）用含m代数式表示PQ，然后解不等式求解．
【解答】解：（1）①把a＝1代入y＝x2﹣2ax+a2﹣1得y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（1，1）．
②∵点P，Q关于抛物线对称轴对称，且x1，x2为（x﹣1）2﹣1＝m的根，
∴x1＝1﹣，x2＝1+，
∴2x2﹣x1＝1+3＝7，
解得m＝3．
（2）解方程x2﹣2ax+a2﹣1＝m得x1＝a﹣，x2＝a+，
∴PQ＝x2﹣x1＝2，
∴2≥（b+7）﹣（b﹣3），
∴m≥24．
故答案为：m≥24．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握含参二次函数的性质与参数的关系．
28．（7分）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．
（1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤2）中是有上界函数的为 ② （只填序号即可），其上确界为 1 ；
（2）如果函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的上确界是b，且这个函数的最小值不超过2a+1，求a的取值范围；
（3）如果函数y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值．
【分析】（1）分别求出两个函数的最大值即可求解；
（2）由题意可知：﹣b+2≤y≤﹣a+2，再由﹣a+2＝b，﹣b+2≤2a+1，b＞a，即可求a的取值范围；
（3）当a≤1时，27﹣10a＝3，可得a＝2.4（舍）；当a≥5时，3﹣2a＝3，可得a＝0（舍）；当1＜a≤3时，27﹣10a＝3，可得a＝2.4；当3＜a＜5时，3﹣2a＝3，可得a＝0．
【解答】解：（1）①y＝x2+2x+1＝（x+1）2≥0，
∴①无上确界；
②y＝2x﹣3（x≤2），
∴y≤1，
∴②有上确界，且上确界为1，
故答案为：②，1；
（2）∵y＝﹣x+2，y随x值的增大而减小，
∴当a≤x≤b时，﹣b+2≤y≤﹣a+2，
∵上确界是b，
∴﹣a+2＝b，
∵函数的最小值不超过2a+1，
∴﹣b+2≤2a+1，
∴a≥﹣1，
∵b＞a，
∴﹣a+2＞a，
∴a＜1，
∴a的取值范围为：﹣1≤a＜1；
（3）y＝x2﹣2ax+2的对称轴为直线x＝a，
当a≤1时，y的最大值为25﹣10a+2＝27﹣10a，
∵3为上确界，
∴27﹣10a＝3，
∴a＝2.4（舍）；
当a≥5时，y的最大值为1﹣2a+2＝3﹣2a，
∵3为上确界，
∴3﹣2a＝3，
∴a＝0（舍）；
当1＜a≤3时，y的最大值为25﹣10a+2＝27﹣10a，
∵3为上确界，
∴27﹣10a＝3，
∴a＝2.4；
当3＜a＜5时，y的最大值为1﹣2a+2＝3﹣2a，
∵3为上确界，
∴3﹣2a＝3，
∴a＝0，
综上所述：a的值为2.4．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键．
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