新高考数学三轮冲刺卷：均值不等式及其应用（含解析）

这是一份新高考数学三轮冲刺卷：均值不等式及其应用（含解析），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；）
1. 设正实数 ， 满足 （其中 为正常数）．若 的最大值为 ，则
A. B. C. D.

2. 若 ，，且 ，则 的最大值为
A. B. C. D.

3. 已知 ，，且 ，则
A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最大值为 D. 有最小值为

4. 某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润 （单位： 万元）与营运年数 为二次函数关系，如图．当每辆客车营运的年平均利润最大时，营运年数为
A. B. C. D.

5. 如图，半圆的直径为 ， 为直径 的延长线上一点，且 ， 为半圆上任意一点，以 为边作等边三角形 ．当 时， 等于
A. B.
C. D.

6. 若 ，且 恒成立，则 的最小值是
A. B. C. D.

7. 已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为
A. B. C. D.

8. 在下列各函数中，最小值等于 的函数是
A. B.
C. D.

9. 已知在圆 内，过点 的最长弦和最短弦分别是 和 ，则四边形 的面积为
A. B. C. D.

10. 如图所示，在 中，，点 在线段 上，设 ，，，则 的最小值为
A. B. C. D.

11. 如图，半圆的直径 ， 为圆心， 为半圆上不同于 ， 的任意一点，若 为半径 上的动点，则 的最小值是
A. B. C. D.

12. 设正数 ， 满足 ，则 的最小值为
A. B. C. D.

13. 设 ，且 ，在下列四个数中最大的是
A. B. C. D.

14. 若 ，，且 ，则下列不等式恒成立的是
A. B. C. D.

15. 不等式 中，等号成立的条件是
A. B. C. D.

16. 若 ，，且 ，则下列不等式中，恒成立的是
A. B. C. D.

17. 若动点 ， 分别在直线 和 上移动，则 的中点 到原点的距离的最小值为
A. B. C. D.

18. 一矩形的一边在 轴上，另两个顶点在函数 的图象上，如图所示，则此矩形绕 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是
A. B. C. D.

19. 过点 和 的直线与直线 ： 垂直，则 的值为
A. B.
C. D. 与 的取值有关

20. 若正数 ， 满足 ，则 的取值范围是
A. B. C. D.

二、填空题（共5小题；）
21. 已知 ，则函数 的最小值为 ．

22. 函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，其中 ，则 的最小值为 ．

23. 已知 ，，且 ，则 的最小值为 ．

24. 记 ，，．已知对任意的 ，，恒有 ，则实数 的取值范围为 ．

25. 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若 ，则 ， ．

三、解答题（共5小题；）
26. 若实数 ，， 满足 ，则称 比 远离 ．
（1）若 比 远离 ，求 的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数 ，，求证： 比 远离 ．

27. 已知 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）当 时，，求 的取值范围．

28. 如图所示，将一矩形花坛 扩建成一个更大的矩形花坛 ，要求 点在 上， 点在 上，且对角线 过 点，已知 米， 米．
（1）要使矩形 的面积大于 平方米，则 的长应在什么范围内?
（2）当 的长度是多少时，矩形花坛 的面积最小?并求出最小值．

29. 已知 ，， 为正实数，且满足 ．证明：
（1）；
（2）．

30. 已知函数 ．
（1）当 ， 时，求不等式 的解集；
（2）设 ，，若 的最小值为 ，证明：．
答案
1. D【解析】由题意得 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，即 ．
2. A【解析】因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立．
3. C【解析】因为 ，，，
所以 ，即 ，，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立．
所以 有最大值，且最大值为 ．
4. C【解析】提示： ，记年平均利润为 ，有 ，所以当 时，每辆客车营运的年平均利润最大．
5. B
【解析】因为 ，
则 的面积为

又因为 ，
所以四边形 的面积为 ，
故选B．
6. B【解析】因为 恒成立，所以 恒成立．
两边同时平方，整理后得 恒成立，即不等式左边的最大值 不等式右边的最小值．
因为 （当且仅当" "时取" "），所以不等式左边的最大值为 ，所以 ，所以 ．
7. C
8. D【解析】对于选项A：当 时，A显然不满足条件；
选项B：，当 时取等号，
当 时，，B显然不满足条件；
对于C：不能保证 ，故错；
对于D：因为 ，所以 ，
故只有D满足条件．
9. D【解析】化圆 为 ，可得圆心 的坐标为 ，半径为 ，
由圆的弦的性质可得，最长的弦即为圆的直径，
所以 的长为 ，
因为点 ，
所以 ，
当弦 最短时，弦 和 垂直，且经过点 ，
此时 ，
所以四边形 的面积为 ．
故选D．
10. D
【解析】在 中，
因为 ，， 三点共线，
所以

所以
所以

因为 ，
所以 ，
所以

11. D【解析】因为 为 的中点，所以 ，从而 ．
又 为定值，所以当且仅当 ，即 为 的中点时， 取得最小值，是 ．
12. B
13. B【解析】方法一：
因为 ，所以 ，，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
综上所述，．
故 最大．
方法二：
不妨取 ，则 ，，故 最大．
14. D【解析】因为 ，，，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，A，B，C均错误．故选D．
15. C
【解析】因为 ，根据基本不等式 ，当且仅当 时，等号成立，故 中，当且仅当 时，等号成立．
16. D【解析】利用基本不等式需注意各数必须是正数．不等式 的使用条件是 ，．对于A，当 时，应有 ，A错误；对于B，C，条件 ，只能说明 ， 同号，当 ， 都小于 时，B，C错误；对于D，因为 ，所以 ，，所以 ，当且仅当 时，等号成立，D正确．
17. A【解析】依题意知动线段 的中点 的轨迹为与直线 和 等距的直线，
则 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，
设点 的轨迹方程为 ，根据平行线间的距离公式得 ，
即点 的轨迹方程为 ，
根据点到直线的距离公式，得 到原点的距离的最小值为 ．
18. A【解析】旋转后所得几何体为圆柱，如图所示．
设矩形的一条边所在直线为 ，，．
联立 与 得，，
由此可得 ，．
所以 ，
即圆柱的高为 ，圆柱的底面半径为 ，
所以其体积为 ，
当且仅当 ，即 时，其体积有最大值 ．
19. C
20. D
【解析】设 ，则 ，则 ，
即 ，解得 ．
又注意到 ，得 ，解得 或 ，故得 ．
21.
【解析】由已知得 ，当且仅当 ，即 时等号成立．
22.
【解析】函数恒过 ，代入直线方程得 ，又 ，所以 ，，故 ．
23.
24.
【解析】由 ，得 ．
因为 ，，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
因为 ，
所以实数 的取值范围是 ．
25. ，
【解析】设斜边长为 ．由已知，得 ，
即 ，
在 的两端点乘 ，化简得 ，
在 的两端点乘 ，化简得 ，
联立 ，解得 ．
26. （1） 由题意，得 ，
解得 或 ，
（2） 因为 ，且 ，
所以 ，，
因为

所以 ，即 比 远离 ．
27. （1） 当 时，，
①当 时，，无解；
②当 时，，恒成立，
所以不等式 的解集为 ．
（2） 解法一：当 时， 或 ，．
①当 时， 恒成立，满足题意，
②当 时， 恒成立，满足题意，
③当 时，
（ⅰ）当 时， 成立，满足题意．
（ⅱ）当 时，，不满足题意，
综上所述，实数 的取值范围是 ．
解法二：当 时，，
因为 ，则由 ，可得 ，，
所以 ，即 ，
所以实数 的取值范围是 ．
28. （1） 设 的长为 米，则 米，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
由 ，得 ，
又 ，得 ，解得 或 ，
即 长的取值范围是 ．
（2） 矩形花坛 的面积为 ，
当且仅当 ，即 时，矩形花坛 的面积取得最小值 ．
故 的长为 米时，矩形 的面积最小，最小值为 平方米．
29. （1） 因为 ，， 为正实数，且满足 ，所以 ．
所以 ．
当且仅当 ，即 时，等号成立．
所以 ．
（2）
当且仅当 时等号成立．
所以 ．
30. （1） 将 ， 代入 ，
等价于： 或 或
解得： 或 ，
所以不等式 的解集为 ．
（2） ，
因为 的最小值为 ，且 ，
所以 ，

当且仅当 ，即当 ，即 ，．