江苏省宿迁市沭阳如东中学2024-2025学年高二上学期开学阶段测试数学试卷（原卷版+解析版）

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1. 过 两点的直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，结合直线倾斜角的范围即可得出结果.
【详解】由已知直线的斜率为 ，
所以倾斜角．
故选：D.
2. 设a∈R，则“a＝－2”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”得到a＝－2或a＝1，即得解.
【详解】解：若a＝－2，则直线l1：－2x＋2y－1＝0与直线l2：x－y＋4＝0平行；
若“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”，∴，解得a＝－2或a＝1，
∴“a＝－2”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的充分不必要条件．
故选：A
3. 点到直线的距离大于5，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式列不等式即可求得.
【详解】因为点到直线的距离大于5，
所以，解得：或，
所以实数的取值范围为.
故选：B
4. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.则方程表示的圆锥曲线的离心率等于（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得到点到定点的距离与到定直线的距离比为，即可得到.
【详解】因为，
所以，
表示点到定点的距离与到定直线的距离比为，
所以.
故选：B
5. 已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】结合椭圆的定义求得的最小值
【详解】，
设椭圆的右焦点为，
，
当在的正上方时，等号成立.
故选：D
6. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线与半圆的位置关系可求的取值范围.
【详解】曲线即为半圆：，其图象如图所示，
曲线与轴的交点为，
而直线为过的动直线，
当直线与半圆相切时，有，解得，
当直线过时，有，
因为直线与半圆有两个不同的交点，故，
故选：D.
7. 已知直线与直线相交于点A，点B是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出点的轨迹方程，确定点轨迹，然后通过几何意义求得最大值．
【详解】由，消去参数得，
所以在以为圆心，为半径的圆上，
又点B是圆上的动点，此圆圆心为，半径为，
，
∴的最大值为．
故选：C.
【点睛】本题考查交轨法求轨迹方程，考查两点间的距离公式．由圆的性质知某点到圆上的点间距离的最大值可以转化为到圆心的距离与半径的和．
8. 已知椭圆和双曲线有相同的左、右焦点，，若，在第一象限内的交点为P，且满足，设，分别是，的离心率，则，的关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由结合外角定理可得，然后可得，
再结合椭圆和双曲线定义、勾股定理列式整理可得.
【详解】因为，
所以，所以
所以，
记椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为，
则由椭圆和双曲线定义可得：…①
…②
①2+②2可得
由勾股定理知，，代入上式可得
整理得，即
所以
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
B. 若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为
C. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或
D. 过两点的直线方程为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据直线的方程即位置关系分别判断.
【详解】A选项：直线与轴和轴的交点分别为和，三角形面积为，A选项正确；
B选项：三条直线不能构成三角形，可得或或直线过点，解得或或，B选项错误；
C选项：当直线经过坐标原点时，，当直线不经过坐标原点时，设直线方程为，代入点，即，解得，故直线为，C选项错误；
D选项：由两点式方程可直接判断D选项正确；
故选：AD
10. 法国著名数学家蒙日首先发现椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆的中心为圆心的圆，后来这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆，其蒙日圆为圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（ ）
A. 圆的方程为B. 四边形面积的最小值为4
C. 的最小值为D. 当点为时，直线的方程为
【答案】BD
【解析】
【分析】利用椭圆的性质，找特殊位置容易求得圆的方程，结合直线与圆的位置关系，可以推出.
【详解】当切线的切点分别为椭圆上顶点和右顶点时，可以得到两切线的交点为，所以蒙日圆的方程为，故A不正确；
四边形面积为：，只需求出的最小值，而的最小值为点到直线的距离，所以的最小值为，故B正确；
设,则，故，
所以，
又，当且仅当取等号，
而的最小值，故的最小值8，故等号取不到，故C不正确；
当点为时，点，，，四点共以为直径圆上，
所以这个圆的方程为，与圆方程联立，可得直的方程为，故D正确.
故选：BD.
【点睛】易错点睛：C选项中等号取不到，容易出错，同时考查推理运算能力.
11. 2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半粗圆组成的“曲圆”．如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列说法正确的有（ ）

A. 椭圆的长轴长为
B. 线段长度的取值范围是
C. 面积的最小值是4
D. 的周长为
【答案】ABD
【解析】
【分析】结合圆的半径长可求得，结合椭圆焦点坐标可求得，由此可判断A；根据，结合的范围可判断B；设，利用结合面积公式可求得，取可判断C；结合椭圆定义可判断D.
【详解】对于A，∵半圆所在圆过点，∴半圆的半径，
又椭圆短轴为半圆的直径，∴，即，
又，∴，即，
∴椭圆长轴长为，故A正确；
对于B，∵，，
∴，故B正确；
对于C，设，则，
当时，，故C错误；
对于D，由题意知：，则为椭圆的下焦点，
由椭圆定义知：，
又，∴的周长为，故D正确.
故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. 已知直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且l经过点，则直线l的方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】先设出所求直线和已知直线的倾斜角，利用直线的一般式方程得到已知直线的斜率，再利用二倍角的正切公式求出所求直线的斜率，进而写出直线的点斜式方程，化为一般式即可.
【详解】设所求直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
则，且，所以，
所以可得直线l的方程为，即．
故答案为：.
13. 已知在平面直角坐标系中，点，，点满足．则当三点不共线时，面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设，由可整理得到点轨迹为以为圆心，为半径的圆，可知当在圆心的正上方或正下方时，到的距离最大，由此可求得面积的最大值.
【详解】设，则由得：，
即，整理可得：，即，
点轨迹是以为圆心，为半径的圆，
如图所示：当在圆心的正上方或正下方时，到的距离最大，且为半径，
.
故答案为：.
14. 设是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足，记的外接圆和内切圆半径分别是R，r，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】化标准，得到，，然后根据正弦定理求出.进而根据余弦定理推出的面积.根据等面积法，可知，即可求出.
【详解】
将椭圆化为标准方程可得，.
所以，，，.
所以，，，所以，.
根据正弦定理可得，，所以.
设，则.
由余弦定理可得，，
所以，，
整理可得，，显然是方程的两个解，
所以，
所以的面积.
又，
所以.
所以，.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为，，且它的对角线的交点为，求这个平行四边形其他两边所在直线的方程．
【答案】和
【解析】
【分析】依题意，由方程组可解得平行四边形ABCD的顶点A的坐标，再结合对角线的交点是，可求得C点坐标，利用点斜式即可求得其他两边所在直线的方程.
【详解】解：联立方程组，解得.
所以平行四边形的顶点.
设，由题意知点是线段的中点，
所以，
解得，所以.
由已知，得直线的斜率，因为与平行，
所以直线的方程为，即
由已知，得直线的斜率，因为与平行，
所以直线的方程为，即
故这个平行四边其它两边所在直线的方程是和
16. 已知双曲线的两个焦点分别为，，且过点.
（1）求双曲线C的虚轴长；
（2）求与双曲线C有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由双曲线的定义可知，，又，求得即可．
（2）设与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程为，将点的坐标代入上述方程得即可．
【小问1详解】
由题意，易知，，且.
在中，
由双曲线的定义可知，，，即.
∵双曲线C的两个焦点分别为，，∴.
又∵，∴
故双曲线C的虚轴长为
【小问2详解】
由（1）知双曲线C的方程为.
设与双曲线C有相同渐近线的双曲线的方程为
将点的坐标代入上述方程，得
故所求双曲线的标准方程为
17. 已知点M(3，1)，圆O1：(x﹣1)2+(y﹣2)2=4.
（1）若直线ax﹣y+4=0与圆O1相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值；
（2）求过点M的圆O1的切线方程.
【答案】（1）；（2）x=3或3x﹣4y﹣5=0.
【解析】
【分析】（1）由直线与圆的位置关系可得圆心到直线ax﹣y+4=0的距离d，结合点到直线的距离公式可得d=，解可得a的值，即可得答案；
（2）根据题意，分切线的斜率是否存在2种情况讨论，分别求出切线的方程，综合即可得答案.
【详解】（1）根据题意，圆O1：(x﹣1)2+(y﹣2)2=4，圆心为(1，2)，半径r=2，
若弦AB的长为，则圆心到直线ax﹣y+4=0的距离d=，
又由圆心为(1，2)，直线ax﹣y+4=0，
则有d=，解得；
（2）根据题意，分2种情况讨论：
当切线斜率不存在时，其方程为x=3，与圆相切，符合条件，
当切线斜率存在时，设其方程为y﹣1=k(x﹣3)，
圆心到它的距离，解得，切线方程为3x﹣4y﹣5=0，
所以过点M的圆的切线方程为x=3或3x﹣4y﹣5=0.
【点睛】本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题.
18. 如图，已知椭圆的离心率为，与轴正半轴交于点，过原点不与轴垂直的动直线与交于，两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线、的斜率分别为、，证明：为定值，并求出该定值；
（3）以点E0,2为圆心，为半径的圆与直线、分别交于异于点的点和点，求与面积之比的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析，定值为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据离心率可得的关系，再根据可求，故可求标准方程.
（2）设Ax1,y1，则可得，根据在椭圆上可得定值.
（3）求出的方程，分别联立直线方程和椭圆方程、直线方程和圆的方程后可得的横坐标，从而可得面积之比，结合换元法可得范围.
【小问1详解】
由题设有，且，故，
故椭圆方程为：.
【小问2详解】
设Ax1,y1，则，故，
而，故.
故为定值且定值为.
【小问3详解】
由题设.
圆，直线，
由可得即，
故，
由可得即，
同理，
而，，
而，故
，
令，故，其中，
故
，
而，故，故.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用斜率或点的坐标表示目标函数，后者需要结合不等式、函数性质或导数等工具来求范围.
19. 历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年——325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线.
已知图乙中，椭圆 的中心在坐标原点，焦点为，由 发出的光线经椭圆两次反射后回到 经过的路程为 .
（1）点 是椭圆 上除顶点外的任意一点，椭圆 在点 处的切线为在 上的射影 满足，利用椭圆的光学性质求椭圆 的方程；
（2）在: （1）的条件下，设椭圆 上顶点为 ，点 为 轴上不同于椭圆顶点的点，且，直线 分别与椭圆 交于点 （异于点 ），，垂足为 ，求 的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，延长，交于点，利用，求出，进而得到椭圆方程.
（2）设直线，联立直线与 ，结合题干，得到点轨迹，求得最小值.
【小问1详解】
由题知 ，
延长，交于点，
在中，，
则且为中点，
在中，，则，
，即椭圆方程为.
【小问2详解】
由对称性可知直线 的斜率不为0，所以可设直线，
联立直线与 ，
则，①
，②
所以 ，令 ，得点横坐标 ，
同理可得点 横坐标 ，
故，
将 代入上式整理得：，
将②代入得 ，
若 ，则直线 ，恒过 不合题意；
若 ，则，恒过 ，
因为直线 恒过 ，且与 始终有两个交点，
又，垂足为 ，
所以点 轨迹是以 为直径的半圆（不含点 ，在直线 下方部分），
圆心 ，半径为1，所以，当且仅当点 在线段 上时，
所以最小值为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问，设直线，联立直线与 ，结合题干，得到点轨迹，求得的最小值.