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吉林省长春市吉林省实验中学2024-2025学年高二上学期假期验收（开学）考试数学试题（原卷版）
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这是一份吉林省长春市吉林省实验中学2024-2025学年高二上学期假期验收（开学）考试数学试题（原卷版），共6页。试卷主要包含了 在梯形中，，，，若，则等内容，欢迎下载使用。
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I卷1至4页，第II卷4至6页.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.并在规定位置粘贴考试用条形码.
2.请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷､草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效.不得在答题卡上做任何标记.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
4.考试结束后，答题卡要交回，武由考生自行保存.
第I卷
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数的实部为正数，虚部为1，，则（ ）．
A. B. C. D.
2. 若干人站成一排，其中为互斥事件的是（ ）
A. “甲站排头”与“乙站排头”B. “甲站排头”与“乙站排尾”
C. “甲站排头”与“乙不站排头”D. “甲不站排头”与“乙不站排头”
3. 某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据，后来复查数据时，又将重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 极差D. 众数
4. 已知直线是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，且，，则
D. ，，三个平面最多可将空间分割成8个部分
5. 已知的内角的对边分别为，且，则为（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C. 钝角三角形D. 等腰三角形
6. 某企业不断自主创新提升技术水平，积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果.据悉该企业年种系列产品年总收入是年的倍，其中种系列产品的年收入构成比例如图所示.则下列说法错误的是（ ）
A. 年甲系列产品收入比年的多
B. 年乙和丙系列产品收入之和比年的企业年总收入还多
C. 年丁系列产品收入是年丁系列产品收入的
D. 年戊系列产品收入是年戊系列产品收入的倍
7. 在梯形中，，，，若，则（ ）
A. 12B. 16C. 20D.
8. 如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆锥的侧面积为
B. 三棱锥的体积的最大值为
C. 的取值范围是
D. 若，为线段上的动点，则的最小值为
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，其中i是虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A. 的虚部为B.
C. D. 在复平面上的点在第二象限
10. 连续投掷一个质地均匀的正方体骰子两次，并记录每次骰子朝上的点数．记事件“第一次朝上的点数为奇数”，事件“两次朝上的点数之和不能被2整除”，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 事件和互斥
C D. 事件和相互独立
11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A. 存在点，使四点共面
B. 存在点，使平面
C. 三棱锥的体积为
D. 经过四点的球的表面积为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为______.
13. 已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为_____________.
14. 若一组样本数据的方差为2，，则样本数据的方差为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在△中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值．
16. 某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.
（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄；
现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.
（2）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
（3）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.
17. 如图，在直三棱柱中，已知，，，点，分别在棱，上，且，.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18. 在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求C的值；
（2）若，求周长的最大值；
（3）若为锐角三角形，且AB边上高h为2，求面积的取值范围．
19. 如图，在斜三棱柱中，侧面为菱形，，为中点，与交点为.
（1）求证：//平面；
（2）求证：平面；
（3）求二面角正弦值.
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I卷1至4页，第II卷4至6页.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.并在规定位置粘贴考试用条形码.
2.请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷､草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效.不得在答题卡上做任何标记.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
4.考试结束后，答题卡要交回，武由考生自行保存.
第I卷
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数的实部为正数，虚部为1，，则（ ）．
A. B. C. D.
2. 若干人站成一排，其中为互斥事件的是（ ）
A. “甲站排头”与“乙站排头”B. “甲站排头”与“乙站排尾”
C. “甲站排头”与“乙不站排头”D. “甲不站排头”与“乙不站排头”
3. 某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据，后来复查数据时，又将重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 极差D. 众数
4. 已知直线是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，且，，则
D. ，，三个平面最多可将空间分割成8个部分
5. 已知的内角的对边分别为，且，则为（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C. 钝角三角形D. 等腰三角形
6. 某企业不断自主创新提升技术水平，积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果.据悉该企业年种系列产品年总收入是年的倍，其中种系列产品的年收入构成比例如图所示.则下列说法错误的是（ ）
A. 年甲系列产品收入比年的多
B. 年乙和丙系列产品收入之和比年的企业年总收入还多
C. 年丁系列产品收入是年丁系列产品收入的
D. 年戊系列产品收入是年戊系列产品收入的倍
7. 在梯形中，，，，若，则（ ）
A. 12B. 16C. 20D.
8. 如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆锥的侧面积为
B. 三棱锥的体积的最大值为
C. 的取值范围是
D. 若，为线段上的动点，则的最小值为
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，其中i是虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A. 的虚部为B.
C. D. 在复平面上的点在第二象限
10. 连续投掷一个质地均匀的正方体骰子两次，并记录每次骰子朝上的点数．记事件“第一次朝上的点数为奇数”，事件“两次朝上的点数之和不能被2整除”，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 事件和互斥
C D. 事件和相互独立
11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A. 存在点，使四点共面
B. 存在点，使平面
C. 三棱锥的体积为
D. 经过四点的球的表面积为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为______.
13. 已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为_____________.
14. 若一组样本数据的方差为2，，则样本数据的方差为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在△中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值．
16. 某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.
（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄；
现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.
（2）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
（3）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.
17. 如图，在直三棱柱中，已知，，，点，分别在棱，上，且，.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18. 在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求C的值；
（2）若，求周长的最大值；
（3）若为锐角三角形，且AB边上高h为2，求面积的取值范围．
19. 如图，在斜三棱柱中，侧面为菱形，，为中点，与交点为.
（1）求证：//平面；
（2）求证：平面；
（3）求二面角正弦值.
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