山东省日照市2022_2023学年高三数学上学期期末校际考试试题

这是一份山东省日照市2022_2023学年高三数学上学期期末校际考试试题，共15页。试卷主要包含了对于抛物线，下列描述正确的是，已知数列满足，，则等内容，欢迎下载使用。

数学试题
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则
A．B．C．D．
2．设为实数，若复数，则
A．B．C．D．
3．设，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是
A．若，，则
B．若，，则
C．若，则
D．若，，则
5．若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，则点
的坐标为
A． B．C．D．
6．我们要检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，分别是小数记录与五分记录，如图所示（已隐去数据），其部分数据如表：
现有如下函数模型：①，②，表示小数记录数据，表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：
小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为，则小明同学的小数记录数据为（附：）
A．B．C．D．
安排名中学生参与社区志愿服务活动，有项工作可以参与，每人
参与项工作，每项工作至多安排名中学生，则不同的安排方式有
A．种 B．种C．种D．种
8．已知分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的渐近线方程为
A．B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9．对于抛物线，下列描述正确的是
A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为D．准线方程为
10．已知数列满足，，则
A． B．是递增数列
C．是递增数列 D．
11．年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线．在平面直角坐标系
中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽
线．已知点是双纽线上一点，下列说法中正确的有
A．双纽线关于原点中心对称
B．
C．双纽线上满足的点有两个
D．的最大值为
12．已知三棱锥的棱长均为，其内有个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，…，球与三棱锥的三个面和球都相切(，且)，球的表面积为，体积为，则
A．B．
C．数列为等差数列 D．数列为等比数列
三、填空题：全科免费下载公众号《高中僧课堂》本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．二项式的展开式中常数项为，则的值为______．
14．已知向量夹角为，且，，则______．
15．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为______．
设正项等比数列的公比为，首项，关于的方程 有两个不相等的实根，且存在唯一的，使得．则公比的取值范围为______．
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）将函数图象上点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再把所得函数图象向下平移个单位得到函数的图象，求的最小值及取得最小值时的取值集合.
18．（12分）
如图，长方形纸片的长为，将矩形沿折痕翻折，使得两点均落于边上的点，若.
（1）当时，求长方形宽的长度；
（2）当时，求长方形宽的最大值.
19．（12分）
如图，四棱锥的底面为正方形，，，是侧面上一点．
（1）过点作一个截面，使得与都与平行．作出与四棱锥表面的交线，并证明；
（2）设，其中．若与平面所成角的正弦值为，求的值．
20．（12分）
已知数列的各项均为非零实数，其前项和为，且.
（1）若，求的值；
（2）若,，求证：数列是等差数列，并求其前项和.
21．（12分）
设椭圆的左右焦点分别为，椭圆的上顶点，点为椭圆上一点，且.
（1）求椭圆的离心率及其标准方程；
（2）圆圆心在原点，半径为，过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上一点满足,试说明直线与圆的位置关系，并证明.
22．（12分）
已知函数是的导函数．
（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，判断关于的方程在内实数解的个数，并说明理由．
小数记录x
0.1
0.12
0.15
0.2
…
？
…
1.0
1.2
1.5
2.0
五分记录y
4.0
4.1
4.2
4.3
…
4.7
…
5.0
5.1
5.2
5.3
2020级高三上学期期末校际联合考试
数学试题答案
单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1-4 AABC 5-8 DBDA
8．【答案】A【解析】设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，绘出双曲线的图像，
如图，过点作于点,因为，
所以，，因为，所以，
因为双曲线上的点到原点的距离为，即，且，
所以，，
故，，
因为，所以，，
将代入双曲线中，即，化简得，，
所以，即，，
则该双曲线的渐近线方程为 ，故选：A.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9.AC 10.ABD 11.ABD 12. AD
10.【答案】ABD【解析】对于A，因为，所以；
对于B，因为，所以是递增数列；C选项；
因为，所以，易知是递增数列；
又，令，
如图所示：当时，递增，即递增
对于D项：又
由同向不等式的加法可得，
成立，当时，不等式成立，故D正确.
11．【答案】【解析】
∴双纽线关于原点对称，对．
,
，∴，∴，对．
，则只有一个点满足条件，错．
由余弦定理知
∴
∴，对，选．
另解：∴，∴．
12．【答案】【解析】如图所示，是三棱锥的高，是三角形的外心，设，则，，是三棱锥的外接球和内切球球心，在上，
设外接球的半径为，内切球半径为，则由得，，
解得，所以,
则,所以，，
过的中点作与底面平行的平面，与三条棱,,交于点,,,
则平面与球相切，由题意知球是三棱锥的内切球，
又三棱锥的棱长是三棱锥棱长的，所以其内切球半径，
同理，球的半径为，则是公比为的等比数列， 所以，，，
所以数列是公比为的等比数列， 数列是公比为等比数列。
三、填空题：全科免费下载公众号《高中僧课堂》本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．1 14. 15. 16.
15．【解析】方法一：延长交于，交于，连接，以矩形为侧面构造正四棱柱，则，
所以为异面直线与所成角
在中，，
所以
所以异面直线与所成角的余弦值为.
方法二：设上底面圆心为，下底面圆心为，连接
以为原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则
则,
,又异面直线所成角的范围为,故异面直线与所成角的余弦值为．（建议用几何法解决）
16．【解析】依题意，等比数列，首项，所以，
由于一元二次方程的两根为，
所以，且，由，
得．所以，可得数列的公比，故为递减数列
因为存在唯一的，使得，
显然不适合，若，则，因为，故，此时存在至少两项使得，不合题意．故，即，且，故且，解得
则公比的取值范围为
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．解:（1）因为，………………………3分
由，得，
所以的单调增区间为.………………………5分
（2）将函数图象上点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再把所得函数图象向下平移个单位得到函数的图象，
所以，………………………7分
故当，即时，，即取得最小值，
所以的最小值为，此时的取值集合为.………10分
解：（1）当时，……1分
，设，①
，②………………………4分
.……6分
（2）在中，①
②
……………9分
.……………12分
19．解:（1）过点作的平行线，分别交于点，过点作的平行线，交于点，过作的平行线，交于点，连接，因为，所以平面就是截面.……………3分
证明：因为，，,
故，即； 同理可证.…………6分
（2）以点作为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系
，设
，则，即……………8分
，，设平面的法向量为
，取，则
即，……………10分
设PB与平面所成角为
，整理得
解得（舍），……………12分
20．解：（1）由，令，得，,……………2分
因为数列的各项均为非零实数，所以，
又，
所以，；…………………………5分
（2）由得：
，……，，相乘得：，
因为数列的各项均为非零实数，所以，
当时：，所以，
即，
即，
因为，所以，…………………………8分
所以，，
所以数列是等差数列，首项为，公差为，
所以数列是等差数列，首项为，公差为，
，所以，
所以，
，……………10分
所以，所以，所以数列是等差数列，
。 …………………………12分
21.解：（1）设，，.由
得得，即得,
又因为在椭圆上， 得，
得，即椭圆的离心率为.……………3分
又，所以椭圆 …………………………5分
（2）因为关于原点对称，,,，所以，
设，.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为.
由直线和椭圆方程联立得，即，
所以.……………7分
因为，，
所以
……………9分
所以，，所以，，
又因为圆的圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相切.
当直线的斜率不存在时，依题意得，.
由得，所以，结合得，
所以直线到原点的距离都是，所以直线与圆也相切.
同理可得，直线与圆也相切.
所以直线与圆相切. …………………………12分
22．解:（1），即，令，……………1分
当时，
令得，
得或，
所以在和上为减函数，
在上为增函数， ……………3分
,故，
，即；综上. ……………5分
（2）……………6分
由得，，
令,令，在上单调递减，注意到
存在使，
且当时，单调递增；
当时，单调递减,
且
，……………9分
在和上各有一个零点
且当时，时，单调递增,
当时，
单调递减且
当时，；
当时，．
在上有唯一的零点
且当时，单调递减；当时，单调递增．
注意到
在和上各有一个零点，
共两个零点．故方程有两个实数根. ……………12分