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初中数学青岛版（2024）八年级上册2.6 等腰三角形试讲课课件ppt
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这是一份初中数学青岛版（2024）八年级上册2.6 等腰三角形试讲课课件ppt，共36页。
2.6.2等腰三角形题型一 找图中等腰三角形的个数1．如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是( )A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根据题意可得，进而可得，得出，根据垂直平分线的性质可得，进而得出，根据角平分线的定义得出，进而可得，，得出，，得出，进而即可求解．【详解】解：在中，，是等腰三角形；，，，点在的垂直平分线上，，是等腰三角形；，，平分，，，，是等腰三角形；，，，，是等腰三角形；，，是等腰三角形；，，是等腰三角形，综上所述，等腰三角形有，，，，，共个，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．2．如图，在中，，，BD是的角平分线，则图中的等腰三角形共有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由BD是的角平分线，可得，又可求，所以是等腰三角形；又，故，所以是等腰三角形；由，得，可求，故，所以是等腰三角形．【详解】解：是的角平分线，，，是等腰三角形①．，，是等腰三角形②．，，，，是等腰三角形③．故图中的等腰三角形有个．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．3．如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形．【答案】3【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答．【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，，，∴都是等腰三角形；故答案为：3．4．如图，，，则图中的等腰三角形有 个．【答案】6【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理．利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形．【详解】∵，∴，是等腰三角形．∵，∴，是等腰三角形．∵，∴，∴，是等腰三角形．∵，∴，∴，是等腰三角形．∵，∴，∴，是等腰三角形．∵，∴，∴，是等腰三角形．综上所述：图中等腰三角形有6个．故答案为：6题型二 根据等腰三角形的判方法进行证明或计算1．如图，在中，，边的垂直平分线交于，点在上，连接，，，则的周长为（ ） A．6 B．4 C．3 D．12【答案】A【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得出，结合垂直平分线的性质，得出，即可作答．【详解】解：∵∴∵边的垂直平分线交于∴∵的周长∴的周长故选：A2．如图，在中，，分别是和的平分线，，交于点D，于点F．若，，，则的面积为（ ） A．50 B．55 C．60 D．65【答案】B【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题的关键是熟练掌握相关性质．过E作于M，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求得，根据平行线和角平分线的性质易证，根据等角对等边求得，从而求得，最后根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：过E作于M， 平分，，，，，平分，，，，，，，，，故选：B．3．如图，四边形中，，，，．以点为圆心，以长为半径作图，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为 （用含的代数式表示）．【答案】【分析】本题考查了作图﹣作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．利用基本作图得到，平分，，接着证明得到，然后利用求解．【详解】解：由作法得，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：．4．如图，，，交CD于F，交于点E，求证：．【答案】见详解【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握ASA证明三角形全等，是解题的关键．先证明，由全等三角形的性质可得出，由等角对等边可得出，等量代换可得出进而即可得到结论．【详解】证明：∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴．5．如图，在中，平分是上一点，，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形；(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键在于通过平行线的性质找出角度的相等，进而转变为边长相等．（1）根据题意作出图形，根据两直线平行，内错角相等可得，同位角相等可得，再根据角平分线的定义可得，然后求出，根据等角对等边的性质即可得证；（2）根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再求出，再根据，，整理即可得解．【详解】（1）证明：∵，∴，，∵平分，∴，∴，∴，∴是等腰三角形； （2）证明：∵，∴，，∵，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵，，∴．题型三 等腰三角形的判方法的实际应用 1．如图，上午10时，一条船从海岛出发，以（海里/时，）的速度向正北航行，12时到达海岛处．从，望灯塔，测得，．求从海岛到灯塔的距离为（ ） A．12海里 B．24海里 C．20海里 D．36海里【答案】B【分析】此题考查了等腰三角形的性质与判定，方位角的含义，掌握等角对等边是解题的关键．先求得的长，证明，即可证得，则可得从海岛B到灯塔C的距离．【详解】解：根据题意得：（海里），∵，，∴，∴，∴海里．即从海岛B到灯塔C的距离是24海里．故选：B．2．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东，又继续航行16海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东，则轮船与小岛P的距离是 海里．【答案】16【分析】本题考查与方向角有关的计算，根据角的和差关系和三角形的内角和定理，推出，即可．【详解】解：由图和题意，可知：，，，∴，∴，∴；故答案为：16．3．如图，上午8时，一条船从海港出发，以15海里/小时的速度向正北航行，11时到达海岛处，从海港，海岛处望灯塔，分别测得，． (1)求海岛与灯塔之间的距离；(2)若该船每海里耗油0.5升，油箱容量为40升，求该船当天装满油箱从海港A出发到海岛B，再从海岛B去到灯塔C的过程中至少还需补充多少升油？【答案】(1)从海岛到灯塔的距离为45海里(2)该船当天航行过程中至少还需补充5升油【分析】本题主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性质、熟练掌握等腰三角形的判定、三角形外角的性质是解决本题的关键．（1）先根据三角形的外角得到，然后根据等角对等边解题即可；（2）先计算出行驶的路程，然后乘以每海里耗油量解题即可．【详解】（1）由题意得：（海里），，，，（海里），从海岛到灯塔的距离为45海里． （2）这一天走的总路程：（海里），应耗油：（升），（升），答：该船当天航行过程中至少还需补充5升油．1．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，，为，的中点，，，则的长为 ． 【答案】2【分析】本题考查等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关键．先证明得到，，再根据等角对等边得到，，设，由结合已知列方程求解x值即可．【详解】解： 为，的中点，，，又，，，，，，，设，，，，，，解得，，故答案为：2．2．如图，在中，，于点，则与CD的关系为 ．【答案】【分析】本题考查等角对等边，全等三角形的性质与判定，延长交于点，证明得出，，进而根据等角对等边得出，结合图形即可求解．【详解】解：如图所示，延长交于点，∵∴，又，∴∴，∵∴∴故答案为：．3．如图，在中，，与的平分线相交于点，延长交于点，过点作交于，作交于点．(1)求证：为等腰三角形；(2)求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质可得，可得，根据等角的余角相等可得，即可得证；（2）在上取，连接，证明，得，说明，证明，得，即可得证．【详解】（1）证明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴为等腰三角形；（2）在上取，连接，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．4．（1）【问题提出】如图1，在和，已知，，B、C、D三点在一条直线上，，，则的长度为______．（2）【问题提出】如图2，在中，，，过点C作，且，求的面积．（3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图3所示，在河流的周边规划一个四边形巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，则河流另一边森林公园的面积为______．【答案】（1）（2）8（3）6【分析】（1）易证得，即可得到，从而求得．（2）如图1，过作的延长线于E，证明，则，根据，计算求解即可；（3）如图2，过作于，过作的延长线于， 由面积为且的长为6，可得，可求，证明是等腰直角三角形，则，，由，可得，，证明，则，根据，计算求解即可．【详解】（1）解：在和，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．（2）解：如图1，过作的延长线于E，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的面积为8；（3）解：如图2，过作于，过作的延长线于，面积为且的长为6，∴，解得，，，，∴是等腰直角三角形，∴，，，，，，∵，∴，，∴，∴的面积为．故答案为：6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 1．如图，已知△ABC． (1)利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．①作的平分线交于点；②作线段的垂直平分线交于点，交于点．(2)在所作的图中，连接、．写出图中所有的等腰三角形：___________．【答案】(1)①见解析，②见解析(2)，，，【分析】本题考查了基本作图和等腰三角形的判定：（1）①利用尺规作出的角平分线即可；②利用尺规作出线段的垂直平分线即可；（2）根据等腰三角形的定义判断即可．【详解】（1）解：①如图，射线就是所要求作的的平分线； ②如图，直线就是所要求作的线段的垂直平分线； （2）垂直平分线段，，，，是等腰三角形，，，，，，，是等腰三角形．故答案为：，，，．2．马栏河是流经大连市内的一条河流，两岸风光旖旎，是附近居民散步休闲的好去处，为了测量马栏河某段平行两岸的宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，如下表：(1)分别根据第一小组，第二小组的测量方案，求出该段马栏河的宽度；(2)除上述方法外，请你运用所学知识再设计1种方案对河宽进行测量（要求：在图中画出基本图形，写出测量方法，并说明方法的合理性）．【答案】(1)河宽为20米(2)见解析【分析】本题主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识：（1）第一小组：根据三角形外角性质求出，再根据等角对等边求出米；第二小组：根据证明，得米；（2）观察者从B点向东走到C点，此时恰好测得，利用等腰三角形的判定和性质即可测量．【详解】（1）第一小组：，，米，米，河宽为20米；第二小组：由题意得，，米，米，河宽为20米；（2）如图为所画的测量基本图形，在河南岸找到一点，正好位于对岸树的正南方向，然后从点沿河岸向东走到点，测得，则线段的长就是河宽的长度．由题意得，线段的长就是河宽的长度．3．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图（1），中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点E，使请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图得到的理由是（ ）A． B． C． D．（2）求得的取值范围是______．【问题解决】（3）如图（2），是的中线，交于E，交于F，且．求证：．【答案】（1）B；（2）；（3）见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，等角对等边：（1）根据，，推出和全等即可，据此即可判定；（2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可；（3）延长到M，使，连接，根据证得，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质即可证得．【详解】解：（1）是中线，，在与中，，故选：B；解：（2）由（1）知：，，，由三角形三边之间的关系可得：，即，解得，故答案为：；（3）如图：延长到M，使，连接， 是中线，，在与中，， ，，，，，， ，即．1．已知平面直角坐标系中有两点，若坐标轴上有点，使得△ABC为等腰三角形，则满足条件的点的个数有（ ）A．4个 B．5个 C．6个 D．8个【答案】B【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定、坐标与图形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．分、、三种情况，进行分析画图即可解答．【详解】解：如图：当时，以点A为圆心，长为半径画弧，交y轴于点，当时，以点B为圆心，长为半径画弧，交x轴于点，当时，作的垂直平分线，交x轴于点，交y轴于点，∵点A，B，三个点在同一条直线上，∴满足条件的点C的个数是5．故选：B．2．如图，的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E．下列结论：①都是等腰三角形；②，③的周长等于，其中正确的是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的定义，熟练掌握等角对等边是解答本题的关键．①根据角平分线的性质、平行线的性质可证是等腰三角形，同理也是等腰三角形；②根据等量代换即可判定；③根据等量代换即可判定．【详解】解：①∵是的角平分线∴又∵∴∴∴，即是等腰三角形，同理可得是等腰三角形，故①正确；②∵是等腰三角形，∴ 同理：∴，故②正确；③∵∴的周长为，故③正确；故选D．3．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，随机选取另一个格点C （不与A，B重合） ， 得到的为等腰直角三角形的点C的个数为 ．【答案】6【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．分情况讨论：当是腰长时，当是底边时，根据等腰直角三角形的定义，结合图形找出符合条件的点C即可．【详解】解：如图，分情况讨论：①为等腰的底边时，符合条件的C点有2个；②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．共有6个．故答案为：6．4．下面是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，根据题意结合等角对等边进行画图求解即可．【详解】解：A、如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意；B、如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意；C、如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意；D、不可以裁成两个等腰三角形，符合题意；故选D． 课题测量马栏河的宽度工具测量角度的仪器，标杆，皮尺等小组第一小组第二小组测量方案如下图，观测者在河南岸找到一点B，正好位于对岸树A的正南方向；从B点出发，沿着南偏西的方向走到点C，此时恰好测得，米．如下图，观测者在河南岸找到一点B，正好位于对岸树A的正南方向；从B点向东走到O点，在O点插上一根标杆，继续向东走相同的路程，到达C点后，一直向南走到点D，使得树、标杆、人在同一直线上．测得长为20米．测量示意图
2.6.2等腰三角形题型一 找图中等腰三角形的个数1．如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是( )A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根据题意可得，进而可得，得出，根据垂直平分线的性质可得，进而得出，根据角平分线的定义得出，进而可得，，得出，，得出，进而即可求解．【详解】解：在中，，是等腰三角形；，，，点在的垂直平分线上，，是等腰三角形；，，平分，，，，是等腰三角形；，，，，是等腰三角形；，，是等腰三角形；，，是等腰三角形，综上所述，等腰三角形有，，，，，共个，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．2．如图，在中，，，BD是的角平分线，则图中的等腰三角形共有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由BD是的角平分线，可得，又可求，所以是等腰三角形；又，故，所以是等腰三角形；由，得，可求，故，所以是等腰三角形．【详解】解：是的角平分线，，，是等腰三角形①．，，是等腰三角形②．，，，，是等腰三角形③．故图中的等腰三角形有个．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．3．如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形．【答案】3【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答．【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，，，∴都是等腰三角形；故答案为：3．4．如图，，，则图中的等腰三角形有 个．【答案】6【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理．利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形．【详解】∵，∴，是等腰三角形．∵，∴，是等腰三角形．∵，∴，∴，是等腰三角形．∵，∴，∴，是等腰三角形．∵，∴，∴，是等腰三角形．∵，∴，∴，是等腰三角形．综上所述：图中等腰三角形有6个．故答案为：6题型二 根据等腰三角形的判方法进行证明或计算1．如图，在中，，边的垂直平分线交于，点在上，连接，，，则的周长为（ ） A．6 B．4 C．3 D．12【答案】A【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得出，结合垂直平分线的性质，得出，即可作答．【详解】解：∵∴∵边的垂直平分线交于∴∵的周长∴的周长故选：A2．如图，在中，，分别是和的平分线，，交于点D，于点F．若，，，则的面积为（ ） A．50 B．55 C．60 D．65【答案】B【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题的关键是熟练掌握相关性质．过E作于M，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求得，根据平行线和角平分线的性质易证，根据等角对等边求得，从而求得，最后根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：过E作于M， 平分，，，，，平分，，，，，，，，，故选：B．3．如图，四边形中，，，，．以点为圆心，以长为半径作图，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为 （用含的代数式表示）．【答案】【分析】本题考查了作图﹣作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．利用基本作图得到，平分，，接着证明得到，然后利用求解．【详解】解：由作法得，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：．4．如图，，，交CD于F，交于点E，求证：．【答案】见详解【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握ASA证明三角形全等，是解题的关键．先证明，由全等三角形的性质可得出，由等角对等边可得出，等量代换可得出进而即可得到结论．【详解】证明：∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴．5．如图，在中，平分是上一点，，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形；(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键在于通过平行线的性质找出角度的相等，进而转变为边长相等．（1）根据题意作出图形，根据两直线平行，内错角相等可得，同位角相等可得，再根据角平分线的定义可得，然后求出，根据等角对等边的性质即可得证；（2）根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再求出，再根据，，整理即可得解．【详解】（1）证明：∵，∴，，∵平分，∴，∴，∴，∴是等腰三角形； （2）证明：∵，∴，，∵，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵，，∴．题型三 等腰三角形的判方法的实际应用 1．如图，上午10时，一条船从海岛出发，以（海里/时，）的速度向正北航行，12时到达海岛处．从，望灯塔，测得，．求从海岛到灯塔的距离为（ ） A．12海里 B．24海里 C．20海里 D．36海里【答案】B【分析】此题考查了等腰三角形的性质与判定，方位角的含义，掌握等角对等边是解题的关键．先求得的长，证明，即可证得，则可得从海岛B到灯塔C的距离．【详解】解：根据题意得：（海里），∵，，∴，∴，∴海里．即从海岛B到灯塔C的距离是24海里．故选：B．2．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东，又继续航行16海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东，则轮船与小岛P的距离是 海里．【答案】16【分析】本题考查与方向角有关的计算，根据角的和差关系和三角形的内角和定理，推出，即可．【详解】解：由图和题意，可知：，，，∴，∴，∴；故答案为：16．3．如图，上午8时，一条船从海港出发，以15海里/小时的速度向正北航行，11时到达海岛处，从海港，海岛处望灯塔，分别测得，． (1)求海岛与灯塔之间的距离；(2)若该船每海里耗油0.5升，油箱容量为40升，求该船当天装满油箱从海港A出发到海岛B，再从海岛B去到灯塔C的过程中至少还需补充多少升油？【答案】(1)从海岛到灯塔的距离为45海里(2)该船当天航行过程中至少还需补充5升油【分析】本题主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性质、熟练掌握等腰三角形的判定、三角形外角的性质是解决本题的关键．（1）先根据三角形的外角得到，然后根据等角对等边解题即可；（2）先计算出行驶的路程，然后乘以每海里耗油量解题即可．【详解】（1）由题意得：（海里），，，，（海里），从海岛到灯塔的距离为45海里． （2）这一天走的总路程：（海里），应耗油：（升），（升），答：该船当天航行过程中至少还需补充5升油．1．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，，为，的中点，，，则的长为 ． 【答案】2【分析】本题考查等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关键．先证明得到，，再根据等角对等边得到，，设，由结合已知列方程求解x值即可．【详解】解： 为，的中点，，，又，，，，，，，设，，，，，，解得，，故答案为：2．2．如图，在中，，于点，则与CD的关系为 ．【答案】【分析】本题考查等角对等边，全等三角形的性质与判定，延长交于点，证明得出，，进而根据等角对等边得出，结合图形即可求解．【详解】解：如图所示，延长交于点，∵∴，又，∴∴，∵∴∴故答案为：．3．如图，在中，，与的平分线相交于点，延长交于点，过点作交于，作交于点．(1)求证：为等腰三角形；(2)求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质可得，可得，根据等角的余角相等可得，即可得证；（2）在上取，连接，证明，得，说明，证明，得，即可得证．【详解】（1）证明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴为等腰三角形；（2）在上取，连接，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．4．（1）【问题提出】如图1，在和，已知，，B、C、D三点在一条直线上，，，则的长度为______．（2）【问题提出】如图2，在中，，，过点C作，且，求的面积．（3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图3所示，在河流的周边规划一个四边形巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，则河流另一边森林公园的面积为______．【答案】（1）（2）8（3）6【分析】（1）易证得，即可得到，从而求得．（2）如图1，过作的延长线于E，证明，则，根据，计算求解即可；（3）如图2，过作于，过作的延长线于， 由面积为且的长为6，可得，可求，证明是等腰直角三角形，则，，由，可得，，证明，则，根据，计算求解即可．【详解】（1）解：在和，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．（2）解：如图1，过作的延长线于E，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的面积为8；（3）解：如图2，过作于，过作的延长线于，面积为且的长为6，∴，解得，，，，∴是等腰直角三角形，∴，，，，，，∵，∴，，∴，∴的面积为．故答案为：6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 1．如图，已知△ABC． (1)利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．①作的平分线交于点；②作线段的垂直平分线交于点，交于点．(2)在所作的图中，连接、．写出图中所有的等腰三角形：___________．【答案】(1)①见解析，②见解析(2)，，，【分析】本题考查了基本作图和等腰三角形的判定：（1）①利用尺规作出的角平分线即可；②利用尺规作出线段的垂直平分线即可；（2）根据等腰三角形的定义判断即可．【详解】（1）解：①如图，射线就是所要求作的的平分线； ②如图，直线就是所要求作的线段的垂直平分线； （2）垂直平分线段，，，，是等腰三角形，，，，，，，是等腰三角形．故答案为：，，，．2．马栏河是流经大连市内的一条河流，两岸风光旖旎，是附近居民散步休闲的好去处，为了测量马栏河某段平行两岸的宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，如下表：(1)分别根据第一小组，第二小组的测量方案，求出该段马栏河的宽度；(2)除上述方法外，请你运用所学知识再设计1种方案对河宽进行测量（要求：在图中画出基本图形，写出测量方法，并说明方法的合理性）．【答案】(1)河宽为20米(2)见解析【分析】本题主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识：（1）第一小组：根据三角形外角性质求出，再根据等角对等边求出米；第二小组：根据证明，得米；（2）观察者从B点向东走到C点，此时恰好测得，利用等腰三角形的判定和性质即可测量．【详解】（1）第一小组：，，米，米，河宽为20米；第二小组：由题意得，，米，米，河宽为20米；（2）如图为所画的测量基本图形，在河南岸找到一点，正好位于对岸树的正南方向，然后从点沿河岸向东走到点，测得，则线段的长就是河宽的长度．由题意得，线段的长就是河宽的长度．3．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图（1），中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点E，使请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图得到的理由是（ ）A． B． C． D．（2）求得的取值范围是______．【问题解决】（3）如图（2），是的中线，交于E，交于F，且．求证：．【答案】（1）B；（2）；（3）见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，等角对等边：（1）根据，，推出和全等即可，据此即可判定；（2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可；（3）延长到M，使，连接，根据证得，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质即可证得．【详解】解：（1）是中线，，在与中，，故选：B；解：（2）由（1）知：，，，由三角形三边之间的关系可得：，即，解得，故答案为：；（3）如图：延长到M，使，连接， 是中线，，在与中，， ，，，，，， ，即．1．已知平面直角坐标系中有两点，若坐标轴上有点，使得△ABC为等腰三角形，则满足条件的点的个数有（ ）A．4个 B．5个 C．6个 D．8个【答案】B【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定、坐标与图形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．分、、三种情况，进行分析画图即可解答．【详解】解：如图：当时，以点A为圆心，长为半径画弧，交y轴于点，当时，以点B为圆心，长为半径画弧，交x轴于点，当时，作的垂直平分线，交x轴于点，交y轴于点，∵点A，B，三个点在同一条直线上，∴满足条件的点C的个数是5．故选：B．2．如图，的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E．下列结论：①都是等腰三角形；②，③的周长等于，其中正确的是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的定义，熟练掌握等角对等边是解答本题的关键．①根据角平分线的性质、平行线的性质可证是等腰三角形，同理也是等腰三角形；②根据等量代换即可判定；③根据等量代换即可判定．【详解】解：①∵是的角平分线∴又∵∴∴∴，即是等腰三角形，同理可得是等腰三角形，故①正确；②∵是等腰三角形，∴ 同理：∴，故②正确；③∵∴的周长为，故③正确；故选D．3．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，随机选取另一个格点C （不与A，B重合） ， 得到的为等腰直角三角形的点C的个数为 ．【答案】6【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．分情况讨论：当是腰长时，当是底边时，根据等腰直角三角形的定义，结合图形找出符合条件的点C即可．【详解】解：如图，分情况讨论：①为等腰的底边时，符合条件的C点有2个；②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．共有6个．故答案为：6．4．下面是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，根据题意结合等角对等边进行画图求解即可．【详解】解：A、如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意；B、如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意；C、如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意；D、不可以裁成两个等腰三角形，符合题意；故选D． 课题测量马栏河的宽度工具测量角度的仪器，标杆，皮尺等小组第一小组第二小组测量方案如下图，观测者在河南岸找到一点B，正好位于对岸树A的正南方向；从B点出发，沿着南偏西的方向走到点C，此时恰好测得，米．如下图，观测者在河南岸找到一点B，正好位于对岸树A的正南方向；从B点向东走到O点，在O点插上一根标杆，继续向东走相同的路程，到达C点后，一直向南走到点D，使得树、标杆、人在同一直线上．测得长为20米．测量示意图
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