2023-2024学年江苏省南通市海安市十三校八年级（上）第一次段考数学试卷

这是一份2023-2024学年江苏省南通市海安市十三校八年级（上）第一次段考数学试卷，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列关于体育的图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）如图，∠A＝∠D，BC＝EF，只需添加（ ）
A．DE∥ABB．EF∥BCC．AB＝DED．AC＝DF
3．（3分）如图，已知△ABC≌△DEC，∠ACB＝100°，则∠E＝（ ）
A．35°B．45°C．55°D．无法计算
4．（3分）已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围（ ）
A．a＜﹣1B．﹣1C．﹣＜a＜1D．a
5．（3分）如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线OC，作法用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A．SASB．SSSC．ASAD．HL
6．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CE，∠FDE＝65°（ ）
A．45°B．70°C．65°D．50°
7．（3分）如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，且BD与EF相交于点G，连结AG，若四边形CDGE与四边形ACEG的面积分别为7和11，则△ABC的面积为（ ）
A．18B．20C．22D．36
8．（3分）两组邻边相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，AB＝CB，在探究筝形的性质时；②AC⊥BD；③直线BD上任一点到A、C两点距离相等（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（3分）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别在边AB（E，F不与端点重合），且DE⊥DF，则（ ）
A．BE+CF＞EF
B．BE+CF＝EF
C．BE+CF＜EF
D．BE+CF与EF的长短关系不确定
10．（3分）如图，AB＝AD，AC＝AE，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G；②BC＝2AG；③∠GAE＝∠EGA△ABC＝S△ADE，其中正确的结论为（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
二、填空题（本大题共8小题，11-13每题3分，14-18每题4分，共计29分）
11．（3分）点P（3，﹣4）关于y轴对称点的坐标是 ．
12．（3分）如图，Rt△CED≌Rt△ABC，AB＝3，则AE＝ ．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，延长BC交EF于点D，若BD＝5，则DE＝ ．
14．（4分）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3 ．
15．（4分）已知△ABC，AB＝3，AC＝7，且长度是奇数，则AD＝ ．
16．（4分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，若AB：BC＝5：9，S△ADC＝4，则S△ABD＝ ．
17．（4分）在△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，则AD+AE为 ．
18．（4分）如图，点F坐标为（﹣3，﹣3），点G（0，m），点H（n，0）在x轴的正半轴上，则m+n＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共计91分）
19．如图，点A、B、C、D在一条直线上，AB＝DC，∠A＝∠FBD．求证：
（1）EC＝FD；
（2）FD∥EC．
20．如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点A（2，0）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A′B′C′，其中A、B、C分别和A′、B′、C′对应；
（2）分别写出A′、B′、C′三点坐标；
（3）若y轴上有一点P，且满足S△APC＝S△ABC，直接写出点P坐标．
21．如图，大小不同的等腰直角三角形△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，连接AE、BD
（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；
（2）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．
22．通过“三角形全等的判定”的学习，大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，可以判定两个三角形全等
探究：已知：△ABC．
求作：△DEF，使EF＝BC，∠E＝∠B（即两边和其中一边所对的角分别相等）．
（1）实践与操作：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程；（保留作图痕迹）
①画EF＝BC；
②在线段EF的上方画∠E＝∠B；
③画DF＝AC；
④顺次连接相应顶点得所求三角形．
（2）观察与小结：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有 个；其中三角形 （填三角形的名称）与△ABC明显不全等，因此可得结论： ．
（3）猜想与验证：猜想是否存在满足“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形全等呢？存在与否，请举一例尺规作图验证（提示：按照探究中的已知先构造三角形，再根据求作要求尺规作图）．
（4）归纳与总结：用一句话归纳（3） ．
23．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若AB＝5cm，AC＝3cm，求BE的长．
24．如图所示，在△ABC，∠A＝100°，BD平分∠ABC交AC于点D，延长BD至点E，连接CE，求证：BC﹣AB＝EC．
25．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，当点P运动多少秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等．
26．问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD．∠BAD＝120°．∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，FD之间的数量关系．
（1）小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明）
探索延伸：
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，F分别是BC，CD上的点∠BAD，（1）中结论是否仍然成立；
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立
2023-2024学年江苏省南通市海安市十三校八年级（上）第一次段考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．【分析】根据轴对称图形定义求解．
【解答】解：A、图形不是轴对称图形；
B、图形不是轴对称图形；
C、图形是轴对称图形；
D、图形不是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后能完全重合．
2．【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．∵DE∥AB，
∴∠A＝∠D，
由∠A＝∠D，BC＝EF不符合全等三角形的判定定理，故本选项不符合题意；
B．∵EF∥BC，
∴∠EFC＝∠BCA，
∠A＝∠D，∠EFC＝∠BCA，符合全等三角形的判定定理AAS，故本选项符合题意；
C．BC＝EF，∠A＝∠D，能推出△ABC≌△DEF；
D．AC＝DF，∠A＝∠D，不能推出△ABC≌△CDE；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
3．【分析】根据△ABC≌△DEC，∠ACB＝100°，∠D＝35°得∠ACB＝∠DCE＝100°，根据三角形内角和定理即可得．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∠ACB＝100°，
∴∠ACB＝∠DCE＝100°，
∵∠D＝35°，∠E+∠DCE+∠D＝180°，
∴∠E＝180°﹣∠DCE﹣∠D＝180°﹣100°﹣35°＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握这些知识点．
4．【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数先判断出点p在第一象限，然后根据第一象限的点的横坐标与纵坐标都是正数列出不等式组求解即可．
【解答】解：∵P（a+1，2a﹣6）关于x轴的对称点在第四象限，
∴点P在第一象限，
∴，
解不等式①得，a＞﹣7，
解不等式②得，a＞，
所以，不等式组的解集是a＞，
故a的取值范围为a＞．
故选：D．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，以及象各限内点的坐标的特点，先判断出点P在第一象限是解题的关键．
5．【分析】由三边相等得△COM≌△CON，即由SSS判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．
【解答】解：由图可知，CM＝CN，OC为公共边
∴△COM≌△CON（SSS）
∴∠AOC＝∠BOC
即OC即是∠AOB的平分线．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．
6．【分析】由“SAS”证△BFD≌△CDE，得∠BFD＝∠CDE，再由三角形的外角性质得∠B＝∠FDE＝65°＝∠C，然后由三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：如图，在△ABC中，BF＝CD，
，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD＝∠CDE，
∵∠FDE+∠EDC＝∠B+∠BFD，
∴∠B＝∠FDE＝65°，
∴∠C＝∠B＝65°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识，证明△BFD≌△CDE是解题的关键．
7．【分析】根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形CDGE与四边形ACEG的面积分别为7和11，
∴S△AGD＝11﹣7＝3，
∵BD是△ABC的中线，
∴S△CGD＝S△AGD＝4，
∴S△CGE＝3，
∵EF是BC边的中垂线，
∴E是BC的中点，
∴S△BEG＝S△CGE＝8，
∴S△BDC＝3+3+7＝10，
∴S△ABC＝20，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的面积计算，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
8．【分析】根据SSS证明△ABD≌△CBD，可得①正确，推出∠ADB＝∠CDB，再根据等腰三角形的三线合一的性质即可判断②④正确，根据角平分线的性质定理，可得③错误．
【解答】解：在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），故①正确；
∴∠ADB＝∠CDB，
∵DA＝DC，
∴AC⊥BD，AO＝OC；
∴直线BD上任一点到A、C两点距离相等；
过点O作OE⊥AD于E，作OF⊥CD于F，作OH⊥BC于H，
∵AD＝CD，AB＝CB，
∴∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝∠CBD，
∴OE＝OF，OG＝OH，
但无法判断OE、OF和OG，故④错误；
综上正确的有①②③三项．
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的三线合一的性质的应用，以及角平分线的性质定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．【分析】延长ED至点G，使DG＝ED，连接CG，FG，证明△EBD≌△GCD，可得GC＝BE，进而根据三角形三边关系即可得．
【解答】如图，延长ED至点G，连接CG，
∵AD是△ABC的中线，E，F分别在边AB，
∴BD＝CD，
又∵DE⊥DF，DG＝ED，
∴FD是EG的垂直平分线，
∴FG＝EF，
又∵∠EDB＝∠GDC
∴△EBD≌△GCD（SAS），
∴GC＝BE，
∵GC+CF＞FG，
∴BE+CF＞EF．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形中线的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的性质与判定，三角形三边关系，证明△EBD≌△GCD是解题的关键．
10．【分析】在BC上截取BF＝AG，利用SAS证明△ABF≌△ADG，利用AAS证明△ACF≌△AEG即可得DG＝EG，延长AG使AG＝GF，连接DF，EF，BD，CE，根据GD＝GE，AG＝GF得四边形ADFE是平行四边形，则DF＝AE＝AC，∠FDA+∠DAE＝180°，，根据∠BAD＝∠CAE＝90°得∠BAC+∠DAE＝180°，则∠FDA＝∠BAC，利用SAS证明△ABC≌△DAF，得BC＝AF＝2AG，则S△ABC＝S△DAF，S△ABC＝SADE，即可判断②④，根据题意无法证明EA与EG相等，故③错误，即可得．
【解答】解：如图1所示，在BC上截取BF＝AG，
∵∠BAD＝∠CAE＝∠AHB＝∠AHC＝90°，
∴∠BAH+∠ABC＝∠BAH+∠DAG＝∠CAH+∠BCA＝∠CAH+∠EAG＝90°，
∴∠CBA＝∠DAG，∠BCA＝∠EAG，
在△ABF和△ADG中，
∴△ABF≌△ADG（SAS），
∴DG＝AF，∠DGA＝∠BFA，
∴∠EGA＝∠CFA，
在△ACF和△AEG中，
，
∴△ACF≌△AEG（AAS），
∴GE＝AF＝GD，
即DG＝EG，
故①正确；
如图2所示，延长AG使AG＝GF，EF，CE，
∵GD＝GE，AG＝GF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴DF＝AE＝AC，∠FDA+∠DAE＝180°，，
∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠DAE＝180°，
∴∠FDA＝∠BAC，
在△ABC和△DAF中，
，
∴△ABC≌△DAF（SAS），
∴BC＝AF＝2AG，
∴S△ABC＝S△DAF，
∴S△ABC＝SADE，
故②④正确；
根据题意无法证明EA与EG相等，
故③错误，
综上，①②④正确
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的面积，解题的关键是掌握这些知识点，适当添加辅助线．
二、填空题（本大题共8小题，11-13每题3分，14-18每题4分，共计29分）
11．【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【解答】解：已知P的坐标为（3，﹣4），
根据平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标相反数，纵坐标不变，
可得：点P关于y轴的对称点的坐标是（﹣8，﹣4），
故答案为：（﹣3，﹣7）．
【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12．【分析】利用全等三角形性质求出CD＝AC＝5，AB＝CE＝3，即可求出结论．
【解答】解：∵Rt△CED≌Rt△ABC，AB＝3，
∴CD＝AC＝5，AB＝CE＝6，
∴AE＝AC﹣CE＝5﹣3＝6，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，牢记全等三角形对应角相等，对应边相等是解题关键．
13．【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论．
【解答】解：如图，连接AD．
在Rt△ADF和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），
∴DF＝DC，
∵BD＝5，BC＝4，
∴CD＝DF＝8﹣4＝1，
∵EF＝BC＝4，
∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝6．
故答案为：3．
【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
14．【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的长为6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．
【解答】解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，
∴AB＝2BC或BC＝2AB，
若AB＝4BC＝6，则△ABC三边分别是6，8，3，
∴腰AB的长为6；
若BC＝8＝2AB，则AB＝1.3，1.5，8，
∵1.5+8.5＝3，
∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；
综上所述，腰AB的长是2，
故答案为：6．
【点评】本题考查三角形三边关系，涉及新定义，解题的关键是分类思想的应用及掌握三角形任意两边的和大于第三边．
15．【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接CE．易证△ADB≌△EDC（SAS），可得CE＝AB＝3，再利用三角形的三边关系求出AE的范围即可解决问题．
【解答】解：如图，AB＝3，AD是BC上的中线，使DE＝AD，
∵AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，
∴△ADB≌△EDC（SAS），
∴CE＝AB＝3，
在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，
即3＜2AD＜10，
解得2＜AD＜7，
又∵AD是奇数，
∴AD＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
16．【分析】延长AD交BC于E，由角平分线的定义得到∠ABD＝∠EBD，根据∠ADB＝∠EDB＝90°，三角形内角和定理得到∠BAD＝∠BED，推出AB＝AE，由等腰三角形的性质推出AD＝DE，由三角形面积公式求出△AEC的面积，由AB：BC＝5：9得到BE：EC＝5：4，即可求出S△ABE＝10，即可得．
【解答】解：如图所示，延长AD交BC于E，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠EDB＝90°，
∴∠BAD＝∠BED，
∴AB＝AE，
∴AD＝DE，
∴S△AEC＝2S△ADC＝2×3＝8，
，
∵AB：BC＝5：9，
∴BE：BC＝2：9，
∴BE：EC＝5：5，
∴S△ABE：S△AEC＝5：4，
∴S△ABE＝10，
∴．
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，解题的关键是掌握这些知识点，添加辅助线．
17．【分析】作出图形，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，AE＝CE，然后分两种情况讨论求解．
【解答】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴AD+AE＝BD+CE，
∵BC＝10，DE＝4，
∴如图1，AD+AE＝BD+CE＝BC﹣DE＝10﹣2＝6，
如图2，AD+AE＝BD+CE＝BC+DE＝10+2＝14，
综上所述，AD+AE＝6或14．
故答案为：6或14．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，难点在于要分情况讨论．
18．【分析】过F点作FA⊥x轴交于A，作FA⊥y轴交于B，可得AH＝n+3，BG＝﹣3﹣m，可证△AFH≌△BFG（SAS），从而可得AH＝BG，即可求解．
【解答】解：过F点作FA⊥x轴交于A，作FA⊥y轴交于B，
∴∠FAH＝∠FBG＝90°，
∠AFH+∠BFH＝90°，
∵FH⊥FG，
∴∠BFG+∠BFH＝90°，
∴∠AFH＝∠BFG，
∵（﹣3，﹣3），
∴FA＝FB＝7，
AH＝n+3，BG＝﹣3﹣m，
在△AFH和△BFG中
，
∴△AFH≌△BFG（SAS），
∴AH＝BG，
∴n+7＝﹣3﹣m，
∴m+n＝﹣6；
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，点到坐标轴的距离，构建全等三角形，掌握判定方法及性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共计91分）
19．【分析】（1）根据AB＝DC得AC＝BD，利用SAS证明△EAC≌△FBD即可得；
（2）根据△EAC≌△FBD得∠ECA＝∠FDB，即可得．
【解答】证明：（1）∵AB＝DC，
∴AC＝BD，
在△EAC和△FBD中，
，
∴△EAC≌△FBD（SAS），
∴EC＝FD；
（2）∵△EAC≌△FBD，
∴∠ECA＝∠FDB，
∴FD∥EC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定与性质．
20．【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点画出△A′B′C′即可；
（2）根据各点在坐标系的位置写出A′、B′、C′三点坐标即可；
（3）先用割补法求出S△ABC，进而利用求出PC长，即可求出结论．
【解答】解：（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，
分别找出点A、B、C关于x轴的对称点、B′，如图：
△A′B′C′即为所求；
（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴A′（2，0），﹣3），﹣1）；
（3）∵，
∵S△APC＝S△ABC，
∴，
∵A（2，2），
∴，
∴PC＝，
∵C（0，2），
∴P（0，）或（0，﹣）．
【点评】本题考查了轴对称作图及坐标系中求面积，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解题关键．
21．【分析】（1）利用SAS即可证明结论；
（2）由全等三角形的性质得∠BDC＝∠AEC，再利用三角形内角和定理可证明结论．
【解答】解：（1）△ACE≌△BCD，理由如下：
∵△ABC与△DCE为等腰直角三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠DCB＝∠ACE，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）AE⊥BD，理由如下：
∵△ACE≌△BCD，
∴∠BDC＝∠AEC，
∵∠DFA＝∠EFC，
∴∠DAF＝∠ECF＝90°，
∴AE⊥BD．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明△ACE≌△BCD是解题的关键．
22．【分析】（1）根据步骤尺规作图，得两个三角形；
（2）如图，满足条件的三角形有两个，△D1EF，△D2EF，其中三角形D2EF与△ABC明显不全等，因此可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定相等．
（3）令∠ABC＝90°或∠ABC＞90°，作图验证，得两个三角形全等；
（4）由（3）作图验证可知：两个三角形，两边和其中一边所对的角分别相等，且该角为直角或钝角时，这两个三角形全等．
【解答】解：（1）作图如下，
（2）满足条件的三角形有两个，△D1EF，△D2EF，其中三角形D8EF与△ABC明显不全等，因此可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等．
（3）如图2，当∠ABC＝90°时，可得△DEF≌△ABC．
另，当∠ABC＞90°时，也可得△DEF≌△ABC；
（4）结论：两个三角形，两边和其中一边所对的角分别相等，这两个三角形全等．
【点评】本题考查尺规作图，全等三角形的判定；考虑到三角形内角为锐角、直角、钝角的三种情况是解题的关键．
23．【分析】（1）连接BD、CD，先由垂直平分线性质得BD＝CD，再由角平分线性质得DE＝DF，然后证Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得出结论；
（2）先证明Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得AE＝AF，则CF＝AF﹣AC＝AE﹣AC，由BE＝AB﹣AE及（1）知BE＝CF，则AB﹣AE＝AE﹣AC，代入AB、AC值即可求得AE长，继而求得BE长．
【解答】（1）证明：如图，连接BD，
∵DG⊥BC且BG＝GC，
∴BD＝CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∴CF＝AF﹣AC＝AE﹣AC，
由（1）知：BE＝CF，
∴AB﹣AE＝AE﹣AC
即5﹣AE＝AE﹣3，
∴AE＝2cm，
∴BE＝AB﹣AE＝5﹣4＝3，
【点评】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质定义和线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
24．【分析】在BC上取一点F，使得FB＝AB，连接DF，根据BD平分∠ABC，∠ABC＝40°得∠ABD＝∠FBD＝20°，利用SAS证明△ABD≌△FBD，得AD＝FD，即可得∠BDF＝∠BDA＝60°，根据ED＝AD得ED＝FD，利用SAS证明△EDC≌△FDC，得CE＝CF，可得BC＝FB+CF＝AB+CE，即可得．
【解答】证明：如图所示，在BC上取一点F，连接DF，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴∠ABD＝∠FBD＝20°，
在△ABD和△FBD中，
∴△ABD≌△FBD（SAS），
∴AD＝FD，
∴∠BDF＝∠BDA＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180﹣100°﹣20°＝60°，
∴∠FDC＝60°，
∵ED＝AD，
∴ED＝FD，
在△EDC和△FDC中，
，
∴△EDC≌△FDC（SAS），
∴CE＝CF，
∴BC＝FB+CF＝AB+CE，
即BC﹣AB＝EC．
【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，适当地添加辅助线．
25．【分析】根据题意和全等三角形的性质分类讨论：①P在AC上，Q在BC上，则PC＝6﹣t，QC＝8﹣3t，根据PE⊥l，QF⊥l得∠PEC＝∠QFC＝90°，根据∠ACB＝90°得∠EPC+∠PCE＝90°，∠PCE+∠QCF＝90°，则∠EPC＝∠QCF，根据△PCE≌△CQF得PC＝CQ，即6﹣t＝8﹣3t，进行计算得t＝1；②P在BC上，Q在AC上，则PC＝t﹣6，QC＝3t﹣8，由①知，PC＝CQ，则t﹣6＝3t﹣8，计算得t＝1，当t＝1时，t﹣6＜0，即不符合题意；③当P，Q都在AC上时，CP＝6﹣t＝3t﹣8，计算得；④当Q到A点停止，P在BC上时，AC＝PC，即t﹣6＝6，t＝12；⑤P和Q都在BC上的情况不存在，因为P的速度是每秒1cm，Q的速度是每秒3cm；综上，即可得．
【解答】解：①如图1，P在AC上，
则PC＝6﹣t，QC＝8﹣3t，
∵PE⊥l，QF⊥l，
∴∠PEC＝∠QFC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EPC+∠PCE＝90°，
∠PCE+∠QCF＝90°，
∴∠EPC＝∠QCF，
∵△PCE≌△CQF，
∴PC＝CQ，
6﹣t＝8﹣3t，
t＝1；
②如图5，P在BC上，
则PC＝t﹣6，QC＝3t﹣2，
由①知，PC＝CQ，
t﹣6＝3t﹣3，
t＝1，
当t＝1时，t﹣7＜0；
③如图3，当P，
CP＝4﹣t＝3t﹣8，
；
④当Q到A点停止，P在BC上时，
即t﹣6＝7，
t＝12；
⑤P和Q都在BC上的情况不存在，因为P的速度是每秒1cm；
综上，当点P运动1或，以P、E、F、C为顶点的三角形全等．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，分类讨论．
26．【分析】（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，利用全等三角形的性质解决问题即可．
（2）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM．证明△ABM≌△ADF（SAS），由全等三角形的性质得出AF＝AM，∠2＝∠3．△AME≌△AFE（SAS），由全等三角形的性质得出EF＝ME，即EF＝BE+BM，则可得出结论；
（3）在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．证明△ABG≌△ADF（SAS）．由全等三角形的性质得出∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．证明△AEG≌△AEF（SAS），由全等三角形的性质得出结论．
【解答】解：（1）EF＝BE+FD．
延长FD到点G．使DG＝BE，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS）．
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．
∴∠BAE+∠DAF＝∠DAG+∠DAF＝∠EAF＝60°．
∴∠GAF＝∠EAF＝60°．
在△AGF和△AEF中，
，
∴△AGF≌△AEF（SAS）．
∴FG＝EF．
∵FG＝DF+DG．
∴EF＝BE+FD．
故答案为：EF＝BE+FD．
（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．
证明：如图②中，延长CB至M，连接AM．
∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°，
∴∠1＝∠D，
在△ABM与△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS）．
∴AF＝AM，∠2＝∠3．
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠2+∠8＝∠BAD＝∠EAF．
∴∠4+∠4＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF．
在△AME与△AFE中，
，
∴△AME≌△AFE（SAS）．
∴EF＝ME，即EF＝BE+BM，
∴EF＝BE+DF．
（3）结论EF＝BE+FD不成立，结论：EF＝BE﹣FD．
证明：如图③中，在BE上截取BG，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF，
∵EG＝BE﹣BG，
∴EF＝BE﹣FD．
【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题．、