2023-2024学年江苏省南京市高三（上）月考数学试卷（10月份）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市高三（上）月考数学试卷（10月份），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合，则A⋂B＝（ ）
A．{0，2}B．{﹣2，0，2}C．{﹣2，0}D．{﹣2，0，2，4}
2．（5分）若（i为虚数单位），则|z﹣1|＝（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）已知，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A．（0，1）B．（﹣1，0）C．（0，﹣1）D．（1，0）
5．（5分）我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈D已滑到D'的位置，且A，B，D'三点共线，AD'＝40cm，B为AD'的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24cm，则当伞完全张开时，∠BAC的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）函数的大致图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线E上一点，PF2⊥F1F2，∠F1PF2的平分线与x轴交于点Q，，则双曲线E的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为棱C1D1上的一动点，记直线BC1与平面A1BE所成的角为θ，则csθ得最小值为（ ）
A．B．C．D．1
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
（多选）9．（5分）某校组织了300名学生参与测试，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．图中a的值为0.015
B．估计这40名学生考试成绩的众数为75
C．估计这40名学生考试成绩的中位数为82
D．估计这40名学生考试成绩的上四分位数约为85
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）在上是单调函数，且f（0）＝f（π）＝．则ω的可能取值为（ ）
A．B．2C．D．1
（多选）11．（5分）过抛物线C：y2＝2px上一点A（1，﹣4）作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M，N，则（ ）
A．C的准线方程是x＝﹣4
B．过C的焦点的最短弦长为8
C．直线MN过定点（0，4）
D．当点A到直线MN的距离最大时，直线MN的方程为2x+y﹣38＝0
（多选）12．（5分）已知a＞b＞0．a+b＝1．则下列结论正确的有（ ）
A．a+的最大值为
B．22a+22b+1的最小值为4
C．a+sinb＜1
D．b+lna＞0
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（5分）甲、乙、丙3人从1楼上了同一部电梯，已知3人都在2至6层的某一层出电梯，且在每一层最多只有两人同时出电梯，从同一层出电梯的两人不区分出电梯的顺序，则甲、乙、丙3人出电梯的不同方法总数是 ．
14．（5分）台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区的时间为 小时．
15．（5分）已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝ ．
16．（5分）若关于x的不等式a（x+1）ex﹣x＜0有且只有2个正整数解，则实数a的取值范围 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b（sinC+csC）．
（1）求B；
（2）已知BC＝2，D为边AB上的一点，若BD＝1，∠ACD＝，求AC的长．
18．（12分）数列{an}满足a1＝1，．
（1）设，求{bn}的最大项；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
19．（12分）如图．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝BC＝2，平面A1BC⊥平面ABB1A1．
（1）求点A到平面A1BC的距离；
（2）设D为A1C的中点，求平面ABD与平面CBD夹角的正弦值．
20．（12分）科学家为研究对某病毒有效的疫苗，通过小鼠进行毒性和药效预实验．已知5只小鼠中有1只患有这种病毒引起的疾病，需要通过化验血液来确定患病的小鼠．血液化验结果呈阳性的即为患病小鼠，呈阴性即没患病．下面是两种化验方案：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病小鼠为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病小鼠为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
（1）求方案甲化验次数X的分布列；
（2）判断哪一个方案的效率更高，并说明理由．
21．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，点A（﹣1，）在椭圆C上，点P是y轴正半轴上的一点，过椭圆C的右焦点F和点P的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex+xsinx+csx﹣ax﹣2（a∈R）．
（1）若a＝2，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）≥0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．【分析】利用列举法表示集合A，B，再利用交集的定义求解即可．
【解答】解：，
B＝{x∈Z|x2﹣x﹣6≤0}＝{x∈Z|﹣2≤x≤3}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，
所以A⋂B＝{﹣2，0}．
故选：C．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2．【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：，
则z﹣1＝（1﹣i）（1+2i）＝3+i，
故|z﹣1|＝|3+i|＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
3．【分析】根据等差数列的定义与性质，结合充分必要条件的定义，判断即可．
【解答】解：因为数列{an}是公差不为0的无穷等差数列，当{an}为递增数列时，公差d＞0，
令an＝a1+（n﹣1）d＞0，解得n＞1﹣，[1﹣]表示取整函数，
所以存在正整数N0＝1+[1﹣]，当n＞N0时，an＞0，充分性成立；
当n＞N0时，an＞0，an﹣1＜0，则d＝an﹣an﹣1＞0，必要性成立；
是充分必要条件．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列与充分必要条件的应用问题，是基础题．
4．【分析】根据投影向量的定义即可求解．
【解答】解：，
则在上的投影向量为．
故选：C．
【点评】本题主要考查投影向量的定义，属于基础题．
5．【分析】根据伞完全张开的特征可得AD＝40﹣24＝16cm，根据伞完全收拢可得BD＝20cm，在△ABD中，利用余弦定理得cs∠BAD，即可得出答案．
【解答】解：由题意得当伞完全张开时，AD＝40﹣24＝16cm，
∵B为AD的中点，∴AB＝AC＝AD'＝20cm，
当伞完全收拢时，AB+BD＝AD'＝40cm，则BD＝20cm，
在△ABD中，由余弦定理得cs∠BAD＝＝＝，
∴cs∠BAC＝cs2∠BAD＝2cs2∠BAD﹣1＝2×﹣1＝﹣，
故选：A．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
6．【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用x＝时的函数值的符号进行排除即可．
【解答】解：f（﹣x）＝x2﹣（﹣x）sin（﹣x）＝x2﹣xsinx＝f（x），
则f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，B，
f（）＝×（）2﹣×sin＝×（﹣1）＜0，排除D，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和单调性的性质，以及特殊值的符号是否对应是解决本题的关键．
7．【分析】由题意得，利用正弦定理结合角平分线得，再根据双曲线的定义，结合题意，即可得出答案．
【解答】解：作出图形，如图所示：
∵PF2⊥F1F2，
∴，即，
在△PQF1，△PQF2中，由正弦定理得：
∵PQ平分∠F1PF2，
∴∠QPF1＝∠QPF2，即sin∠QPF1＝sin∠QPF2，且sin∠PQF1＝sin（π﹣∠PQF2）＝sin∠PQF2，
故，则，
∴，
又∵，则，
∴，整理得b2＝3a2，
故c2﹣a2＝3a2，即c2＝4a2，
∴c＝2a，即．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8．【分析】由题意，如图建立空间直角坐标系，不妨设|AD|＝1，|D1E|＝a（0≤a≤1），求出平面A1BE的一个法向量，则，求出最大值即可求出csθ得最小值．
【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设|AD|＝1，|D1E|＝a（0≤a≤1），
则A1（1，0，1），B（1，1，0），E（0，a，1），C1（0，1，1），
所以，，，
设平面A1BE的一个法向量为，
由，令y＝1，解得，
所以，
所以，
当a＝1时，sinθ＝0，
当0≤a＜1时，令t＝1﹣a（0＜t≤1），则sin，
函数y＝t2﹣2t+3＝（t﹣1）2+2，在（0，1]上单调递减，
所以当t＝1时，y＝t2﹣2t+3取最小值2，
故此时，
综上可知，，由于，
故．
故选：C．
【点评】本题主要考查了求直线与平面所成的角，属于中档题．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9．【分析】对于A，根据频率之和为1计算即可；对于B，根据频率分布直方图估计众数的方法判断即可；对于C，根据中位数可能所在的区间进行判断；对于D，根据百位分数的估算方法求解即可．
【解答】解：根据频率和等于1得：10a＝1﹣10×（0.010+0.035+0.03+0.01）＝0.15，
∴a＝0.015，故A正确；
由频率分布直方图可知，最高矩形对应区间的中点为75，则估计众数也为75，
故B正确；
0.010×10+0.015×10＝0.25，0.010×10+0.015×10+0.035×10＝0.6，
可知中位数落在[70，80）内，即中位数的估计值不是82，故C错误；
上图各组对应的频率分别为：0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，
上四分位数在[80，90）内，设第75百分位数约为x，则：0.1+0.15+0.35+（x﹣80）×0.03＝0.75，
得x＝85，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了众数、平均数的估计，百分位数，属于基础题．
10．【分析】由已知单调区间可判断周期的范围，进而可以得出ω的范围，然后再对周期讨论求出对应的ω的可能值．
【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）在[，π]上是单调函数，
∴＝•≥π﹣，∴T≥π，且ω≤2，
∵f（0）＝f（π），∴x＝是函数的图象的一条对称轴，
∴ω×+φ＝kπ+，k∈Z，
∵f（0）＝﹣f（﹣），
∴所以f（x）图象的一个对称中心是（﹣，0），
若＝＝+，求得ω＝；
若＝＝+，求得ω＝2．
故选：AB．
【点评】本题考查了正弦函数的周期性以及单调性，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．
11．【分析】将A（1，﹣4）代入C中，即可求解抛物线方程，即可判断A，B，设，，直线MN为x＝my+n，并联立抛物线方程可得，y2﹣16my﹣16n＝0，再结合韦达定理，以及向量的数量积公式，即可求解C，由C分析所得的定点P，要使A到直线MN的距离最大有MN⊥AP，即可写出直线MN的方程，即可判断D．
【解答】解：将A（1，﹣4）代入C中得p＝8，
则C为y2＝16x，
故C的准线方程为x＝﹣4，故A正确，
当过C的焦点且与x轴垂直时弦长最短，此时弦长为16，故B错误，
设，，直线MN为x＝my+n，
联立抛物线可得，y2﹣16my﹣16n＝0，
∴y1+y2＝16m，y1y2＝﹣16n，
∵AM⊥AN，
∴＝•＝（y1+4）（y2+4）＝0，
∵y1≠0，y2≠0，
∴（y1+4）（y2+4）≠0，，化简整理可得，y1y2﹣4（y1+y2）+272＝0，
∴﹣16n﹣64m+272＝0，得n＝﹣4m+17，
∴直线MN为x＝m（y﹣4）+17，
∴直线MN过定点P（17，4），故C错误，
当MN⊥AP时，A到直线MN的距离最大，此时直线MN为2x+y﹣38＝0，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
12．【分析】由a＞b＞0，a+b＝1可得0＜b＜，＜a＜1，所以a+＝﹣b++1＝﹣（﹣）2+，从而结合二次函数的单调性即可判断选项A；直接利用基本不等式即可判断选项B；由于a+sinb＝sinb﹣b+1，令h（b）＝sinb﹣b+1（0＜b＜），结合h（b）的单调性即可判断选项C；由于b+lna＝laa﹣a+1，令g（a）＝lna﹣a+1（＜a＜1），结合g（a）的单调性即可判断选项D．
【解答】解：由a＞b＞0，a+b＝1，得0＜b＜，＜a＜1，
所以a+＝﹣b++1＝﹣（﹣）2+，当＝，即b＝时，a+＝，
而0＜b＜，故选项A错误；
22a+22b+1≥2•＝2×＝4，当且仅当22a＝22b+1，2a＝2b+1，即a＝，b＝时等号成立，
故22a+22b+1的最小值为4，选项B正确；
由a+b＝1，得a+sinb＝sinb﹣b+1，令h（b）＝sinb﹣b+1（0＜b＜），则h′（b）＝csb﹣1＜0，
所以h（b）是单调递减函数，则h（b）＜h（0）＝1，故a+sinb＜1，选项C正确；
b+lna＝lna﹣a+1，令g（a）＝lna﹣a+1（＜a＜1），则g′（a）＝﹣1＝＞0，
所以g（a）是单调递增函数，而g（a）＞ln﹣+1＝﹣ln2，且﹣ln2＜0，故选项D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查基本不等式的运用，涉及构造函数模型求最值的问题，考查学生的归纳推理和运算求解的能力，属于基础题．
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．【分析】分①3人都在2至6层的某一层1人独自出电梯；②3人中有2人在同一层出电梯，另1人在另外一层出电梯，两种情况讨论即可求解．
【解答】解：由题意，
①3人都在2至6层的某一层1人独自出电梯，
共有种；
②3人中有2人在同一层出电梯，另1人在另外一层出电梯，
共有种；
故甲、乙、丙3人出电梯的不同方法总数是60+60＝120种．
故答案为：120．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属中档题．
14．【分析】设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米，AP＝x，结合余弦定理得到，进而结合韦达定理即可求出CD，从而求出结果．
【解答】解：设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米，AP＝x，
在△ABP中，PB2＝AP2+AB2﹣2AP⋅AB⋅csA，
302＝x2+402﹣2x⋅40⋅cs45°故302＝x2+402﹣2x⋅40⋅cs45°，
化简得，设方程的两根为x1，x2，则，
所以，即图中CD＝20千米，所以B城市处于危险区的时间为小时，
故答案为：1．
【点评】本题考查解三角形，考查学生的运算能力，属于中档题．
15．【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球及球的性质能求出结果．
【解答】解：设△ABC的外接圆圆心为O1，半径为r，
则2r＝＝＝2，解得r＝，
设三棱锥S﹣ABC的外接球球心为O，连接OA，OO1，
则OA＝2，OO1＝SA，
∵，∴4＝3+，解得SA＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查正弦定理、三角形外接圆半径，直棱柱的外接球及球的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
16．【分析】由题意，不等式变形为a（x+1）＜，用导数法研究f（x）＝的单调性，则不等式a（x+1）ex﹣x＜0有且只有2个正整数解等价于直线l：y＝a（x+1）与f（x）有两个交点分别在（0，1）和（2，3），即可求出a的取值范围．
【解答】解：a（x+1）ex﹣x＜0⇔a（x+1）＜，
又因为直线l：y＝a（x+1）过定点A（﹣1，0），令，
故f（x）在（﹣∞，1）递增，（1，+∞）递减，
，
则，，
∴不等式a（x+1）ex﹣x＜0有且只有2个正整数解等价于直线l与f（x）有两个交点分别在（0，1）和（2，3），
故．
故答案为：[，）．
【点评】本题考查了利用导数确定函数的单调性，也考查了转化思想、数形结合，作出图象是解答本题的关键，属于中档题．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanB的值，结合B的范围即可求解B的值．
（2）由题意利用余弦定理可求CD的值，由∠BDC＝+∠A，利用诱导公式，正弦定理可求csA，进而可求tanA＝＝，即可得解AC的值．
【解答】解：（1）因为a＝b（sinC+csC），
所以sinA＝sinB（sinC+csC），
即sinBcsC+csBsinC＝sinBsinC+sinBcsC，
所以csBsinC＝sinBsinC，因为sinC＞0，
所以csB＝sinB，所以tanB＝，
因为B∈（0，π），所以B＝．
（2）因为BC＝2，BD＝1，∠B＝，
根据余弦定理得CD2＝BC2+BD2﹣2BC•BD•csB＝1+12﹣2×1×2×＝7，
所以CD＝，
因为∠BDC＝+∠A，
所以sin∠BDC＝sin（+∠A）＝csA，
在△BDC中，由正弦定理知，＝，
所以＝，
所以csA＝，tanA＝＝，
所以AC＝．
【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18．【分析】（1）构造等比数列，从而求出an的通项公式，进而得到bn的通项公式，即可求出最大项；
（2）由已知利用错位相减法即可．
【解答】解：（1）由得．又，
∴是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴，
则，．
当n≤7时，bn不会最大；当n＞7时，设bn是最大项，则bn+1≤bn，且bn﹣1≤bn，
即，且，
即n﹣6≤3（n﹣7）且3（n﹣8）≤n﹣7，
解得．
又n∈N*，∴n＝8，
∴{bn}的最大项是．
（2），①
①×3得，②
①﹣②得，
∴．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，还考查了数列的最大项的求解，还考查了错位相减求和方法的应用，属于中档题．
19．【分析】（1）取A1B的中点E，证明AE⊥平面A1BC，再利用等体积法求解作答．
（2）利用（1）中信息，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答．
【解答】解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝BC＝2，平面A1BC⊥平面ABB1A1，
设点A到平面A1BC的距离为h，取A1B的中点E，连接AE，则AE⊥A1B，
因为平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，
则有AE⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，即有AE⊥BC，
因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，则AA1⊥BC，
因为AA1⋂AE＝A，AA1，AE⊂平面ABB1A1，于是BC⊥平面ABB1A1，
又AB⊂平面ABB1A1，因此BC⊥AB，，
，又，解得，
所以点A到平面A1BC的距离为．
（2）以B为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系B﹣xyz，如图，
则A（0，2，0），C（2，0，0），A1（0，2，2），D（1，1，1），E（0，1，1），
，
设平面ABD的一个法向量，
则，令x＝1，得，
由（1）知，平面BDC的一个法向量为，
因此，
所以平面ABD与平面CBD夹角的正弦值为．
【点评】本题考查点到平面的距离、二面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20．【分析】（1）方案甲化验次数X的可能取值为1，2，3，4，P（X＝1）＝P（X＝2）＝P（X＝3）＝0.2，P（X＝4）＝0.4，由此能求出X的分布列．
（2）方案乙化验次数Y的可能取值为2，3，分别求出相应的概率，由此能求出Y分布列，求出E（Y）＝2.6，E（X）＝2.8．从而方案乙的效率更高．
【解答】解：（1）方案甲化验次数X的可能取值为1，2，3，4，
P（X＝1）＝P（X＝2）＝P（X＝3）＝0.2，
P（X＝4）＝0.4，
∴X的分布列为：
（2）方案乙化验次数Y的可能取值为2，3，
P（Y＝2）＝+•＝0.6，
P（Y＝3）＝＝0.4，
上述均表示另2只中先抽有病或没病时，两种可能性，
∴Y分布列为：
E（Y）＝2×0.6+3×0.4＝2.4，
E（X）＝1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.4＝2.8．
E（X）＞E（Y），
∴方案乙的效率更高．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．【分析】（1）由题意知，，解之即可；
（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），将其与椭圆方程联立，写出韦达定理，借助相似三角形可推出＝|x1|+|x2|，再分点P在椭圆上、内、外等情况讨论，并结合换元法，函数的单调性等，即可得解．
【解答】解：（1）由题意知，，解得a＝2，b＝，
故椭圆C的标准方程为+＝1．
（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），其中k＜0，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝，Δ＝64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）＝144（k2+1），
∴＝+＝+＝|x1|+|x2|，
当点P在椭圆及外部，即k≤﹣时，x1≥0，x2＞0，
∴＝|x1|+|x2|＝x1+x2＝＝∈[，2）；
当点P在椭圆内部，即﹣＜k＜0时，x1＜0，x2＞0，
∴＝|x1|+|x2|＝﹣x1+x2＝＝＝，
令＝m，则1＜m＜2，
∴x2﹣x1＝＝＝∈（，4），
综上所述，的取值范围为[，4）．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的求法，熟练掌握相似三角形的性质，换元法等是解题的关键，考查分类讨论思想，逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
22．【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率f′（0），结合f（0）＝0可求得切线方程；
（2）求导后，设h（x）＝f′（x）；令u（x）＝ex﹣1﹣x（x≥0），利用导数可求得u（x）单调性，得到u（x）≥0，采用放缩法可确定h′（x）≥0，知f′（x）在[0，+∞）上单调递增；当a≤1时，由f′（x）≥0恒成立可确定f（x）≥f（0）＝0，满足题意；当a＞1时，令g（a）＝ea﹣2a（a＞1），利用导数可说明g（a）＞0，得到f′（a）＞0，结合零点存在定理可说明∃x0∈（0，a），使得f′（x0）＝0，由此可说明当x∈（0，x0）时，f（x）＜0，不合题意；综合两种情况可得结论．
【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝ex+xsinx+csx﹣2x﹣2，
则f′（x）＝ex+xcsx﹣2，
∴f′（0）＝﹣1，
又f（0）＝0，
∴f（x）在（0，f（0））处的切线方程为：y＝﹣x．
（2）f′（x）＝ex+xcsx﹣a，
令h（x）＝f′（x），则h′（x）＝ex+csx﹣xsinx，
令u（x）＝ex﹣1﹣x（x≥0），则u'（x）＝ex﹣1≥0，
∴u（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴u（x）≥u（0）＝0，即ex﹣（x+1）≥0；
当x≥0时，csx≥﹣1，sinx≤1，
∴﹣xsinx≥﹣x，
∴csx﹣xsinx≥﹣（x+1），
∴ex+csx﹣xsinx≥ex﹣（x+1）≥0，
即h′（x）≥0，则h（x）在[0，+∞）上单调递增，即f′（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴f′（x）≥f′（0）＝1﹣a；
①当1﹣a≥0，即a≤1时，f′（x）≥f′（0）≥0，∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴f（x）≥f（0）＝0，满足题意；
②当1﹣a＜0，即a＞1时，f′（a）＝ea+acsa﹣a≥ea﹣2a，
令g（a）＝ea﹣2a（a＞1），则g′（a）＝ea﹣2＞e﹣2＞0，
∴g（a）在（1，+∞）上单调递增，
∴g（a）＞g（1）＝e﹣2＞0，即f′（a）＞0，
又f′（0）＜0，∴∃x0∈（0，a），使得f′（x0）＝0，
当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，x0）上单调递减，此时f（x）＜f（0）＝0，不合题意；
综上所述：实数a的取值范围为（﹣∞，1]．
【点评】本题考查根据导数几何意义求解切线方程、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够根据端点效应，说明当a≤1时，f（x）单调递增；当a＞1时，结合零点存在定理说明存在f（x）＜0的区间，由此可得参数范围 X
1
2
3
4
P
0.2
0.2
0.2
0.4
次数
2
3
概率
0.6
0.4