2023-2024学年内蒙古部分名校高二（上）联考数学试卷（10月份）

这是一份2023-2024学年内蒙古部分名校高二（上）联考数学试卷（10月份），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）在空间直角坐标系中，点A（7，9，5）关于xOy平面对称的点的坐标为（ ）
A．（7，9，﹣5）B．（7，﹣9，5）
C．（﹣7，9，5）D．（﹣7，﹣9，﹣5）
2．（5分）圆O：x2+y2＝1与圆的位置关系为（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
3．（5分）已知点A（3，2，3），B（1，1，4），C（2，0，1），则＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（5分）经过A（﹣1，3），B（1，9）两点的直线的一个方向向量为（1，k），则k＝（ ）
A．B．C．﹣3D．3
5．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，是直线l的方向向量，是平面α的一个法向量，若l⊥α，则（ ）
A．3a+2b＝0B．2a+3b＝0C．ab＝﹣6D．ab＝6
6．（5分）若直线l：Ax+By+C＝0的倾斜角为α，则“A•B＜0”是“α不是钝角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（5分）已知点A（1，2），B（a，b），C（c，d），若A是直线l1：ax+by+1＝0和l2：cx+dy+1＝0的公共点，则直线BC的方程为（ ）
A．x+2y﹣1＝0B．x+2y+1＝0C．2x+y﹣1＝0D．2x+y+1＝0
8．（5分）已知直线l：（m﹣1）x+（m+1）y﹣3m+1＝0与圆O：x2+y2＝30交于A，B两点，当|AB|最小时，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知直线l1：x+y+2＝0，l2：x﹣y﹣6＝0，l3：x+y﹣2＝0，则（ ）
A．l1在x轴上的截距为2
B．l1⊥l2
C．l1，l2的交点坐标为（2，﹣4）
D．l1，l3之间的距离为
（多选）10．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PB，PD的中点，则（ ）
A．在方向上的投影向量为
B．在方向上的投影向量为
C．在方向上的投影向量为
D．在方向上的投影向量为
（多选）11．（5分）直线l1：y＝ax+b与l2：y＝bx+a在同一平面直角坐标系内的位置可能是（ ）
A．B．
C．D．
（多选）12．（5分）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心、半径为20km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西25km处，为确保轮船没有触礁危险，则该轮船的行驶路线可以是（ ）
A．南偏西45°方向B．南偏西30°方向
C．北偏西30°方向D．北偏西25°方向
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知直线l：3x+y﹣1＝0的倾斜角为α，则csα＝ ．
14．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，，则点B到直线AC的距离为 ．
15．（5分）已知（m，n）为直线x+y﹣1＝0上的一点，则的最小值为 ．
16．（5分）如图，已知二面角A﹣EF﹣D的平面角大小为，四边形ABFE，EDCF均是边长为4的正方形，则||＝ ．
​
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知直线l：ax﹣y+2a+1＝0经过第一、二、四象限．
（1）求a的取值范围；
（2）若直线l1：（3a+7）x﹣2y+3＝0与直线l垂直，求a的值．
18．（12分）已知P为圆M：x2+y2﹣2x﹣2y＝0上一动点，Q为直线l：x+y+2＝0上一个动点．
（1）求圆心M的坐标和圆M的半径；
（2）求|PQ|的最小值．
19．（12分）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑P﹣ABC中，PA⊥平面PBC，BC⊥平面PAB，D为PC的中点，．
（1）设，，，用a，b，c表示；
（2）若，求．
20．（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，E，F，G分别为B1C1，AC，A1C的中点，AA1＝AB＝2．
（1）求直线D1F与EG所成角的余弦值；
（2）求点D1到平面EFG的距离．
​
21．（12分）如图，在多面体ABCDE中，AB⊥平面BCD，平面ECD⊥平面BCD，其中△ECD是边长为2的正三角形，△BCD是以∠BDC为直角的等腰三角形，．
（1）证明：AE∥平面BCD．
（2）求平面ACE与平面BDE的夹角的余弦值．
22．（12分）已知圆M的圆心在直线上，且圆M经过A（1，2），B（5，6）两点．
（1）求圆M的标准方程．
（2）若点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P，Q，使得．求t的取值范围．
2023-2024学年内蒙古部分名校高二（上）联考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【分析】根据空间中点的坐标定义求解．
【解答】解：由空间坐标系中点的坐标特征可知，
点A（7，9，5）关于xOy平面对称的点的坐标为（7，9，﹣5）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了空间中点的坐标，属于基础题．
2．【分析】分别求出圆心坐标和半径，再求出两圆的圆心距，根据圆心距与两圆半径之间的关系即可得出两圆的位置关系．
【解答】解：由题意得，圆O与圆M的半径之和为1+1＝2，
所以圆O与圆M的位置关系为外切．
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系，属于基础题．
3．【分析】直接利用空间向量的坐标表示计算数量积即可．
【解答】解：因为A（3，2，3），B（1，1，4），C（2，0，1），
所以，
即．
故选：B．
【点评】本题主要考查空间向量的数量积，属于基础题．
4．【分析】根据斜率公式求得kAB＝3，结合直线的方向向量的定义，即可求解．
【解答】解：由点A（﹣1，3），B（1，9），可得直线AB的斜率为，
因为经过A，B两点的直线的一个方向向量为（1，k），所以k＝3．
故选：D．
【点评】本题考查直线的斜率的求法及方向向量的求法，属于基础题．
5．【分析】根据题意，得到，结合空间向量共线的坐标运算，即可求解．
【解答】解：由题意，是直线l的方向向量，是平面α的一个法向量，
因为l⊥α，可得，则存在唯一实数k，使得，
即（﹣2，0，a）＝（kb，0，3k），
所以，消去k得：ab＝﹣6．
故选：C．
【点评】本题主要考查利用空间向量求出ab值，属于基础题．
6．【分析】根据一般方程的斜率公式，结合特殊倾斜角情况和充分与必要条件的定义判断即可．
【解答】解：若A•B＜0，则l的斜率，则α不是钝角．
若α＝0°或α＝90°，则A•B＝0．
故“A⋅B＜0”是“α不是钝角”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于基础题．
7．【分析】将A点代入两直线方程，可得a+2b+1＝0和c+2d+1＝0，即可知直线BC的方程．
【解答】解：由点A（1，2）在l1：ax+by+1＝0和l2：cx+dy+1＝0上，
可得a+2b+1＝0和c+2d+1＝0，
故点B（a，b）与C（c，d）均满足方程x+2y+1＝0，
因此可知直线BC的方程为x+2y+1＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了直线的方程的求法，是基础题．
8．【分析】由题意可得直线l过定点P（2，1），进而可得kAB＝﹣2，可得|AB|＝10，利用|CD|＝|CE|+|DE|＝+可求结论．
【解答】解：如图，由题意得l：（x+y﹣3）m﹣x+y+1＝0，
由，得，所以l过定点P（2，1）．
设l与x轴交于点E，当|AB|最小时，则OP⊥AB，可得kOP＝＝，所以kAB＝﹣2，
则tan∠AEO＝2，，因为|OP|＝，
所以．在△ACE中，|CE|＝，
在△BDE 中，＝，
所以|CD|＝|CE|+|DE|＝+＝＝10．
故选：C．
【点评】本题考查直线过定点问题，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，属中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．【分析】选项A：令y＝0，求l1在x轴上的截距；
选项B：根据直线垂直对应系数关系求解；
选项C：解方程组求解；
选项D：根据两平行线间距离求解．
【解答】解：令y＝0，易得l1在x轴上的截距为﹣2，A错误．
由1×1+1×（﹣1）＝0，得l1⊥l2，B正确．
由得所以l1，l2的交点坐标为（2，﹣4），C正确．
易得l1∥l3，则l1，l3之间的距离为，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查直线的截距、平行等相关知识，属于基础题．
10．【分析】根据题设条件及投影向量的概念，观察可得．
【解答】解：由题意，PA⊥平面ABCD，
则平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，
又底面ABCD为矩形，E，F分别为PB，PD的中点，
由图及投影向量的定义可知，
在方向上的投影向量为，故A正确；
在方向上的投影向量为，故B错误；
在方向上的投影向量为，故C正确；
在方向上的投影向量为，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查投影向量的概念，属基础题．
11．【分析】由题意，根据确定直线位置的几何要素，逐一判定各个选项能否成立，从而得出结论．
【解答】解：对于A，由两条直线都可得a＞0，b＞0，故可能成立．
对于B，由一条直线可得a＜0，b＞0，由另一条直线可得b＞0，a＜0，故可能成立．
对于C，由一条直线可得a＜0，b＝0，由另一条直线可得b＝0，a＜0，故可能成立．
对于D，由一条直线可得a＞0，b＝0或b＞0，a＝0，而另一条直线不符合要求，故不可能成立．
故答案为：ABC．
【点评】本题主要考查确定直线位置的几何要素，属于基础题．
12．【分析】以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，1km为单位长度，建立直角坐标系，再数形结合求解轮船航线所在直线的方程与受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程相切的临界条件，再逐个选项判断即可．
【解答】解：如图，以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，1km为单位长度，建立如图所示的直角坐标系，
则轮船所在的位置为A（25，0），受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为x2+y2＝400，
设轮船航线所在直线的方程为y＝k（x﹣25），即kx﹣y﹣25k＝0，
由，得或．
因为，所以该轮船的行驶路线可以是南偏西30°方向，北偏西30°方向，
北偏西25°方向．
故选：BCD．
【点评】本题考查三角函数的运用，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于较难题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．【分析】由直线方程求直线的斜率，即可得倾斜角α的正切，进而求出csα的值．
【解答】解：由题可知直线l：3x+y﹣1＝0的斜率为﹣3，
即tanα＝﹣3，因为α∈[0，π），所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
14．【分析】先求出直线AC的单位方向向量，然后利用点到直线距离的向量公式求解即可．
【解答】解：取，，
则，，
所以点B到直线AC的距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查点到直线的距离求法，注意运用向量法，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
15．【分析】根据两点间的距离公式以及点关于直线的对称性求出代数式的最小值即可．
【解答】解：如图示：
为点P（m，n）到原点O和到点A（﹣2，0）的距离之和，即|PO|+|PA|；
设O（0，0）关于直线x+y﹣1＝0对称的点为B（a，b），
，解得：a＝b＝1，故B（1，1），
易得|PO|＝|PB|，当A，P，B三点共线时，|PO|+|PA|取到最小值，
且最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了两点间的距离公式以及点关于直线的对称性，是基础题．
16．【分析】连接AD，推导出AE⊥EF，DE⊥EF，AB⊥AD，∠AED是二面角A﹣EF﹣D的平面角，AE＝DE＝AB＝4，∠AED＝，AD＝4，由此能求出||．
【解答】解：连接AD，
∵二面角A﹣EF﹣D的平面角大小为，四边形ABFE，EDCF均是边长为4的正方形，
∴AE⊥EF，DE⊥EF，AB⊥AD，
∴∠AED是二面角A﹣EF﹣D的平面角，AE＝DE＝AB＝4，
∴∠AED＝，∴AD＝4，
∴||＝＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查二面角的定义、勾股定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．【分析】（1）由题意y＝ax+2a+1，再根据斜率与截距列式求解即可；
（2）根据直线垂直斜率的关系求解即可．
【解答】解：（1）将直线l的方程转化为y＝ax+2a+1，
因为l经过第一、二、四象限，所以，
解得，即a的取值范围为；
（2）将直线l1的方程转化为，
因为l1⊥l，所以，
解得a＝﹣2或，
又，所以．
【点评】本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
18．【分析】（1）化简圆的方程为标准方程，进而求得圆的圆心坐标和半径；
（2）求得圆心M到直线l的距离，结合圆的性质，即可求解．
【解答】解：（1）由题意，圆M：x2+y2﹣2x﹣2y＝0的方程可化为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，
所以圆心M的坐标为（1，1），圆M的半径为；
（2）由题意，圆心M（1，1）到直线l：x+y+2＝0的距离为，
所以，即|PQ|的最小值为．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
19．【分析】（1由空间向量的线性运算直接计算即可；
（2）由空间向量的线性运算和数量积运算计算即可．
【解答】解：（1）连接BD，PE，如图，，
因为D为PC的中点，，
所以，，
所以＝
＝＝；
（2）因为，
所以＝，
因为PA⊥平面PBC，BC⊥平面PAB，且PB，BC⊂平面PBC，PB⊂平面PAB，
所以PA⊥PB，PA⊥BC，PB⊥BC，
又因为，
所以＝＝，即．
【点评】本题考查空间向量的线性运算和数量积，属于中档题．
20．【分析】（1）连接BD，由题意可求FG⊥平面ABCD，以F为坐标原点，FA，FB，FG所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，可求，，利用向量夹角公式能求出直线D1F 与EG所成角的余弦值；
（2）由（1）知，设平面EFG的法向量为，则令x0＝1，得，进而可求点D1到平面EFG的距离．
【解答】解：（1）连接BD，因为底面ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，
因为F，G分别为AC，A1C的中点，
所以FG∥AA1，
则FG⊥平面ABCD，
以F为坐标原点，FA，FB，FG所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由∠BAD＝60°，AA1＝AB＝2，
得F（0，0，0），D1（0．﹣1，2），G（0，0，1），，
则，，
可得cs＜，＞＝＝＝﹣，
故直线D1F 与EG所成角的余弦值为；
（2）由（1）知，
设平面EFG的法向量为，
则
令x0＝1，得，
所以点D1到平面EFG的距离为＝．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查点、线、面间的距离计算，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．
21．【分析】（1）先证明线面垂直，再由线面垂直的性质得线线平行，利用线面平行判定定理求证即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
【解答】解：（1）取CD的中点F，连接EF，BF．
因为△ECD是边长为2的正三角形，所以EF⊥CD，且．
因为平面ECD⊥平面BCD，且平面ECD⋂平面BCD＝CD，EF⊂平面ECD，
所以EF⊥平面BCD．
因为AB⊥平面BCD，所以AB∥EF．
因为，所以四边形ABFE为平行四边形，
所以AE∥BF．
因为AE⊄平面BCD，BF⊂平面BCD，所以AE∥平面BCD．
（2）过点B作BP∥CD，以B为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，B（0，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），，
故，，，．
设平面ACE的一个法向量为，
则，
令，
所以平面ACE的一个法向量为．
设平面BDE的一个法向量为，
则，
令，
所以平面BDE的一个法向量为．
设平面ACE与平面BDE的夹角为θ，
则．
所以平面ACE与平面BDE的夹角的余弦值为．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查面面角的余弦值的求法，属中档题．
22．【分析】（1）设圆M：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，代入点的坐标求解即可；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由已知可得，结合，可得，利用P在圆M上可得t的取值范围．
【解答】解：（1）设圆M：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，
由题意得．
得，
所以圆M的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝8．
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则＝（1﹣t，2），＝（x1﹣t，y1），＝（x2﹣t，y2），
由．得，即①，
因为点Q在圆M上，所以 ②，
将①代入②，得，
则点P（x1，y1）既在圆M上，又在圆（x﹣t﹣2）2+（y﹣2）2＝8上，
即圆M与圆（x﹣t﹣2）2+（y﹣2）2＝8有公共点．
所以2﹣2≤≤2+2，
解得，
即t的取值范围为．
【点评】本题考查圆的方程的求法，考查两圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．