2023-2024学年山东省济宁市任城区七年级（上）期中数学试卷（五四学制）

这是一份2023-2024学年山东省济宁市任城区七年级（上）期中数学试卷（五四学制），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列平面图形中，不是轴对称图形的为（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去．
A．①B．②C．③D．①和②
3．（3分）若一个三角形的三边长分别为2、6、a，则a的值可以是（ ）
A．3B．4C．7D．8
4．（3分）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B﹣∠CB．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a2＝c2﹣b2D．a：b：c＝4：5：6
5．（3分）如图，∠ACB＝∠DBC，若只添加一个条件，不能使得△ABC与△DCB全等的是（ ）
A．AC＝DBB．AB＝DCC．∠A＝∠DD．∠ABC＝∠DCB
6．（3分）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．x2+62＝102B．（10﹣x）2+62＝x2
C．x2+（10﹣x）2＝62D．x2+62＝（10﹣x）2
7．（3分）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠DAE＝（ ）
A．5°B．4°C．8°D．6°
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心；大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．（3分）如图△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝8，AC＝4，且△ABD的面积为8，则△ABC的面积为（ ）
A．10B．12C．14D．16
10．（3分）如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形，其中结论正确的有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在答题卡中）
11．（3分）等腰三角形的一个内角120°，则它的底角是 ．
12．（3分）如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 ．
13．（3分）如图，点D为△ABC的边BC上一点，且满足AD＝DC，作BE⊥AD于点E，若∠BAC＝70°，∠C＝40°，AB＝6，则BE的长为 ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．以AB、AC为边的正方形的面积分别为S1、S2．若S1＝20，S2＝11，则BC的长为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝66°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是 ．
三、解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）
16．（6分）已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB∥DE，且AB＝DE，BE＝CF．
求证：△ABC≌△DEF．
17．（6分）如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：
①分别在BA和CA上取BE＝CG；
②在BC上取BD＝CF；
③连接DE，FG，量出DE的长等于FG的长，则能说明∠B和∠C是相等的，
他的这种做法合理吗？为什么？
18．（6分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝44°，∠C＝54°，求∠ADB和∠DAC的度数．
​
19．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．
（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；
（2）若AB＝7，BC的长为5，求△CBD的周长．
20．（7分）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
21．（7分）如图，△ABC的两条高AD，CE交于点F，AF＝BC．
（1）求证：BE＝EF；
（2）若BE＝4，CF＝5，求△ACF的面积．
22．（8分）某校要在一块三角形空地上种植花草，如图所示，AC＝13米、AB＝14米、BC＝15米，若线段CD是一条引水渠，且点D在边AB上．已知水渠的造价每米150元．问：点D与点C距离多远时，水渠的造价最低？最低造价是多少元？
23．（8分）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：BE＝AD；
（2）求∠BPQ的度数；
（3）若PQ＝3，PE＝1，求AD的长．
2023-2024学年山东省济宁市任城区七年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列平面图形中，不是轴对称图形的为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的定义，注意：一个图形延一条直线对着，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫轴对称图形．
2．（3分）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去．
A．①B．②C．③D．①和②
【分析】此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
【解答】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定，所以应该拿这块去．
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
3．（3分）若一个三角形的三边长分别为2、6、a，则a的值可以是（ ）
A．3B．4C．7D．8
【分析】根据三角形的三边关系列出不等式组，即可求出a的取值范围．
【解答】解：∵三角形的三边长分别为2，6，a，
∴6﹣2＜a＜6+2，即4＜a＜8，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，熟知三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
4．（3分）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B﹣∠CB．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a2＝c2﹣b2D．a：b：c＝4：5：6
【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．
【解答】解：A、∠A＝∠B﹣∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠B＝90°，是直角三角形，不符合题意；
B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形，不符合题意；
C、由a2＝c2﹣b2，得a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意；
D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
5．（3分）如图，∠ACB＝∠DBC，若只添加一个条件，不能使得△ABC与△DCB全等的是（ ）
A．AC＝DBB．AB＝DCC．∠A＝∠DD．∠ABC＝∠DCB
【分析】要使△ABC≌△DCB，已知BC＝BC，∠ACB＝∠DBC，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．
【解答】解：A、，
∴△ABC≌△DCB（SAS）；
B、SSA不能判断三角形全等，错误；
C、，
∴△ABC≌△DCB（AAS），
D、，
∴△ABC≌△DCB（ASA）；
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
6．（3分）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．x2+62＝102B．（10﹣x）2+62＝x2
C．x2+（10﹣x）2＝62D．x2+62＝（10﹣x）2
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理列出方程即可．
【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+62＝（10﹣x）2．
故选D．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
7．（3分）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠DAE＝（ ）
A．5°B．4°C．8°D．6°
【分析】由角平分线的定义，得∠BAE＝25°，再根据三角形内角和定理得∠BAD＝30°，最后利用角的和差关系得出答案．
【解答】解：∵AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，
∴∠BAE＝25°，
∵∠ADB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝5°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，属于基础题．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心；大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】直接利用基本作图方法得出DE垂直平分AB，AF＝AH，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出AF+FC＝BF+FC＝BC，即可得出答案．
【解答】解：由基本作图方法得出：DE垂直平分AB，
则AF＝BF，
∴AF+FC＝BF+FC＝BC＝3，
而AF＝AH，AC⊥FH，
∴FC＝CH，
∴AF+FC＝AH+HC＝BC＝3，
∴△AFH的周长为：AF+FC+CH+AH＝2BC＝6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确得出AF+FC＝BF+FC＝BC是解题关键．
9．（3分）如图△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝8，AC＝4，且△ABD的面积为8，则△ABC的面积为（ ）
A．10B．12C．14D．16
【分析】过D点作DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点，如图，先根据角平分线的性质得到DE＝DF，再利用三角形面积公式得到S△ACD：8＝4：8，然后求出S△ABD＝4，从而得到S△ABC的值．
【解答】解：过D点作DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∴S△ACD：S△ABD＝（AC•DF）：（AB•DE）＝AC：AB，
即S△ACD：8＝4：8，
∴S△ABD＝4，
∴S△ABC＝S△ACD+S△ABD＝4+8＝12．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，关键是根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答．
10．（3分）如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形，其中结论正确的有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【分析】由等边三角形的性质得出AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，得出∠ABE＝∠DBC，由SAS即可证出△ABE≌△DBC；由△ABE≌△DBC，得出∠BAE＝∠BDC，根据三角形外角的性质得出∠DMA＝60°；由ASA证明△ABP≌△DBQ，得出对应边相等BP＝BQ，即可得出△BPQ为等边三角形．
【解答】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，
∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，
∴∠ABE＝∠DBC，∠PBQ＝60°，
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴①正确；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE＝∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠DMA＝∠BAE+∠BCD＝∠BDC+∠BCD＝60°，
∴②正确；
在△ABP和△DBQ中，
，
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP＝BQ，
∴△BPQ为等边三角形，
∴③正确；
故选：A．
【点评】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在答题卡中）
11．（3分）等腰三角形的一个内角120°，则它的底角是 30° ．
【分析】因为三角形的内角和为180°，所以120°只能为顶角，从而可求出底角．
【解答】解：∵120°为三角形的顶角，
∴底角为：（180°﹣120°）÷2＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，从而可求出解．
12．（3分）如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 65° ．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质得出∠C＝∠CAD，进而可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣55°﹣30°＝95°．
∵直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠C＝∠CAD＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝95°﹣30°＝65°．
故答案为：65°．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
13．（3分）如图，点D为△ABC的边BC上一点，且满足AD＝DC，作BE⊥AD于点E，若∠BAC＝70°，∠C＝40°，AB＝6，则BE的长为 3 ．
【分析】根据等边对等角可得∠DAC＝40°，根据角的差可得∠BAE＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BE的长．
【解答】解：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝40°，
∵∠BAC＝70°，
∴∠BAE＝70°﹣40°＝30°，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∴BE＝AB＝×6＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，解本题的关键是得出∠BAE＝30°．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．以AB、AC为边的正方形的面积分别为S1、S2．若S1＝20，S2＝11，则BC的长为 3 ．
【分析】根据勾股定理求出BC2，则可得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵S1＝20，S2＝11，
∴BC2＝AB2﹣AC2＝20﹣11＝9，
∴BC＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝66°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是 123° ．
【分析】在BC上截取BE＝BQ，连接PE，证明△BQP≌△BEP得出PQ＝PE，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PQ的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果．
【解答】解：在BC上截取BE＝BQ，连接PE，如图所示：
∵BD平分∠ABC，
∴，
在△BQP和△BEP中，
，
∴△BQP≌△BEP（SAS），
∴PQ＝PE，
∴AP+PQ＝AP+PE，
∴当点A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC，AP+PE的值最小，即AP+PQ的值最小，
∴当点A、P、E
在同一直线上，且AE⊥BC时，∠AEB＝90°，
∵∠CBD＝33°，
∴∠BPE＝90°﹣33°＝57°，
∴∠APB＝180°﹣57°＝123°，
故答案为：123°．
【点评】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使AP+PQ最小时点P的位置是解题的关键．
三、解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）
16．（6分）已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB∥DE，且AB＝DE，BE＝CF．
求证：△ABC≌△DEF．
【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出答案．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF
∵BE＝FC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
17．（6分）如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：
①分别在BA和CA上取BE＝CG；
②在BC上取BD＝CF；
③连接DE，FG，量出DE的长等于FG的长，则能说明∠B和∠C是相等的，
他的这种做法合理吗？为什么？
【分析】证明△BDF≌△CEG即可得到∠B＝∠C．
【解答】解：这种做法合理．
理由如下：在△BDF和△CEG中，
，
∴△BDF≌△CEG（SSS），
∴∠B＝∠C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
18．（6分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝44°，∠C＝54°，求∠ADB和∠DAC的度数．
​
【分析】根据题意和等腰三角形的性质，可以求得∠BAD和∠BDA的度数，再根据三角形外角和内角的关系，即可求得∠DAC的度数．
【解答】解：
∵∠B＝44°，∠C＝54°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝82°，
由作图可知：BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）÷2＝68°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝14°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角和内角的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．
（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；
（2）若AB＝7，BC的长为5，求△CBD的周长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠C＝65°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，求出∠ABD的度数，计算即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣50°）＝65°，
又∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝15°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴DB+DC＝DA+DC＝AC，
又∵AB＝AC＝7，BC＝5，
∴△CBD周长为12．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
20．（7分）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400，
所以，CD＝20（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米），
答：风筝的高度CE为21.6米；
（2）由题意得，CM＝12米，
∴DM＝8米，
∴BM＝＝＝17（米），
∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米），
∴他应该往回收线8米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
21．（7分）如图，△ABC的两条高AD，CE交于点F，AF＝BC．
（1）求证：BE＝EF；
（2）若BE＝4，CF＝5，求△ACF的面积．
【分析】（1）首先利用三角形的高线的性质证明∠BCE＝∠DAB，然后利用AAS即可证明△BCE≌△FAE解决问题；
（2）利用全等三角形的性质可以得到CF、AE的长度，然后利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC的两条高AD，CE交于点F，
∴∠BEC＝∠AEC＝90°，
∴∠BCE+∠B＝∠DAB+∠B＝90°，
∴∠BCE＝∠DAB，
在△BCE和△AEF中，
，
∴△BCE≌△FAE（AAS），
∴BE＝EF；
（2）解：∵△BCE≌△FAE，
∴AE＝CE，
而BE＝4，CF＝5，
∴EF＝4，
∴CE＝AE＝9，
∴S△ACF＝×CF×AE＝×5×9＝．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，同时也利用了三角形的高线的性质及三角形的面积公式，有一定的综合性．
22．（8分）某校要在一块三角形空地上种植花草，如图所示，AC＝13米、AB＝14米、BC＝15米，若线段CD是一条引水渠，且点D在边AB上．已知水渠的造价每米150元．问：点D与点C距离多远时，水渠的造价最低？最低造价是多少元？
【分析】当CD为AB边上的高时，CD最短，从而水渠造价最低．过C作CD⊥AB于D，设AD＝xm，则BD＝（14﹣x）m．在Rt△ACD与Rt△BCD中，运用勾股定理得出CD2＝AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，即132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，解方程求出x＝5，则AD＝5，CD＝12，再根据水渠的造价每米150元，进而求解即可．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，设AD＝xm，则BD＝（14﹣x）m．
在Rt△ACD中，CD2＝AC2﹣AD2，
在Rt△BCD中，CD2＝BC2﹣BD2，
所以AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，即132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，
解得x＝5，
则CD2＝132﹣52，CD＝12，
由于水渠的造价每米150元，所以最低造价是150×12＝1800元．
答：点D与点C距离12米时，水渠的造价最低，最低造价是1800元．
【点评】本题考查了勾股定理的应用．准确作出辅助线构造直角三角形，是解题的关键．
23．（8分）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：BE＝AD；
（2）求∠BPQ的度数；
（3）若PQ＝3，PE＝1，求AD的长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得∠BPQ＝60°；
（3）利用（2）的结果求得∠PBQ＝30°，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到2PQ＝BP＝6，则易求BE＝BP+PE＝7．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，
在△AEB与△CDA中，
，
∴△AEB≌△CDA（SAS），
∴BE＝AD；
（2）由（1）知，△AEB≌△CDA，则∠ABE＝∠CAD，
∴∠BAD+∠ABP＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝60°，
∴∠BPQ＝∠BAD+∠ABP＝60°；
（3）如图，由（2）知∠BPQ＝60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°，
∴PQ＝BP＝3，
∴BP＝6
∴BE＝BP+PE＝7，即AD＝7．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．