2023-2024学年江苏省徐州市铜山区黄集中心中学九年级（上）第一次学情调研数学试卷

这是一份2023-2024学年江苏省徐州市铜山区黄集中心中学九年级（上）第一次学情调研数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝30°（ ）
A．30°B．40°C．60°D．65°
2．（3分）用配方法将方程x2+6x﹣11＝0变形，正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝20B．（x﹣3）2＝2C．（x+3）2＝2D．（x+3）2＝20
3．（3分）已知关于x的方程x2﹣4x+c+1＝0有两个相等的实数根，则常数c的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．3
4．（3分）已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．15πcm2B．15cm2C．20πcm2D．20cm2
5．（3分）已知扇形半径为6，弧长为4π，则扇形面积为（ ）
A．10πB．12πC．16πD．24π
6．（3分）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子（ ）
A．第一块B．第二块C．第三块D．第四块
7．（3分）如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，CD＝3cm，则圆O的半径为（ ）
A．cmB．5cmC．4cmD．cm
8．（3分）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D．若AB＝5，则AC的长是（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．2
9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（2，0），⊙M的半径为4（﹣2，3）与⊙M的位置关系是（ ）
A．点P在⊙M内B．点P在⊙M上C．点P在⊙M外D．不能确定
10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是弧BE上的三等分点（ ）
A．20°B．40°C．60°D．80°
11．（3分）已知⊙O的直径是10，圆心O到直线l的距离是5，则直线l和⊙O的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．外切
12．（3分）如图，点A、B分别在x轴、y轴上（OA＞OB），以AB为直径的圆经过原点O，C是的中点，连结AC；下列结论：①∠ACB=90°；②AC＝BC；③若OA＝4，则△ABC的面积等于5；④若OA﹣OB＝4，则点C的坐标是（2，﹣2）．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（每题4分，共32分）
13．（4分）如果一个正多边形的中心角等于30°，那么这个正多边形的边数是 ．
14．（4分）若一个扇形的圆心角为45°，弧长为，则这个扇形的半径为 ．
15．（4分）用圆心角为120°，半径为9的扇形围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面直径为 ．
16．（4分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O．若⊙O的周长为12π，则该正六边形的边长是 ．
17．（4分）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，D是上的点，则∠D的度数为 ．
18．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8．则△ABC的内切圆半径r＝ ．
19．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，则r的取值范围是 ．
20．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD，AB，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，则DM的长为 ．
三、解答题
21．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）4（x﹣3）2＝25
（2）x2+6x﹣10＝0．
22．（6分）如图所示，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深井水泵站，为使三条输水管长度相同，水泵站应建在何处？请画示意图
23．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°
①作∠BAC的平分线，交BC于点O；②以O为圆心，在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）
24．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为1，求m的值．
25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC
26．（8分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠C＝70°，求∠EDF的度数．
27．（8分）【问题背景】
如图1，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，探究线段AC，BC
小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，E处（如图2），易证点C，A，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE＝，从而得出结论：AC+BC＝CD
【简单应用】
（1）在图1中，若AC＝，BC＝2 ．
（2）如图3，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，＝，BC＝12，求CD的长．
【拓展规律】
（3）如图4，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，BC＝n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）
2023-2024学年江苏省徐州市铜山区黄集中心中学九年级（上）第一次学情调研数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每题3分，共36分）
1．【分析】利用圆周角定理求解即可．
【解答】解：∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形面积和定理等知识，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
2．【分析】在本题中，把常数项﹣11移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方．
【解答】解：把方程x2+6x﹣11＝2的常数项移到等号的右边，得到x2+6x＝11，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x8+6x+9＝11+2，
配方得（x+3）2＝20．
故选：D．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝0，即可得出关于c的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2﹣4x+c+8＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）5﹣4（c+1）＝12﹣4c＝0，
解得：c＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
4．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×8÷2＝15π（cm）．
故选：A．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
5．【分析】直接代入扇形面积公式计算即可．
【解答】解：，
故选：B．
【点评】本题考查了扇形的面积计算，属于基础题，熟记扇形面积计算公式是关键．扇形面积公式是：（l是扇形的弧长，R是扇形的半径）或（n是弧所对的圆心角的度数，R表示扇形的半径）．
6．【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，两条垂直平分线的交点就是圆心．
故选：A．
【点评】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
7．【分析】连接AO，根据垂径定理可知AC＝AB＝4cm，设半径为x，则OC＝x﹣3，根据勾股定理即可求得x的值．
【解答】解：连接AO，
∵半径OD与弦AB互相垂直，
∴AC＝AB＝8cm，
设半径为xcm，则OC＝（x﹣3）cm，
在Rt△ACO中，AO2＝AC4+OC2，
即x2＝42+（x﹣3）7，
解得：x＝，
故半径为cm．
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、勾股定理的内容，难度一般．
8．【分析】根据AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出AP的长即可求出AC的长．
【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴AC＝AP＝AB﹣BP＝5﹣2＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
9．【分析】求得线段MP的长后与圆M的半径比较即可确定正确的选项．
【解答】解：∵M（2，0），7），
∴MP＝＝5，
∵圆M的半径为4，5＞4，
∴点P在圆外，
故选：C．
【点评】考查了点与圆的位置关系，判断点与圆的位置关系，也就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．
10．【分析】先求出∠BOE＝120°，再运用“等弧对等角”即可得解．
【解答】解：∵∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°，
∴的度数是120°，
∵C、D是，
∴，
∴∠EOC＝∠COD＝∠BOD＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查了邻补角的概念和圆心角与弧的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
11．【分析】求出⊙O的半径，和圆心O到直线l的距离5比较即可．
【解答】解：∵⊙O的直径是10，
∴⊙O的半径r＝5，
∵圆心O到直线l的距离d是5，
∴r＝d，
∴直线l和⊙O的位置关系是相切，
故选：C．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：当圆心到直线的距离等于圆的半径时，直线与圆相切．
12．【分析】通过构造全等三角形，利用圆的有关性质，可以解决问题．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，故①符合题意；
∵C是中点，
∴AC＝BC，故②符合题意；
∵AB2＝OB2+OA3＝22+52，
∴AB＝2，
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴AC＝BC＝AB＝，
∴△ACB 的面积为＝5；
作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠BCE+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵AC＝BC，
∴△ACD≈△BCE，
∴CD＝CE，AD＝BE，
∴OECD是正方形，
设正方形的边长为a，
∴OA﹣a＝OB+a，
∴5a＝OA﹣OB＝4，
∴a＝2，
∴点C坐标为：（3，﹣2），
故④符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查圆的有关知识及三角形全等，关键是综合运用几何知识点．
二、填空题（每题4分，共32分）
13．【分析】根据正n边形的中心角的度数为360°÷n进行计算即可得到答案．
【解答】解：360°÷30°＝12．
故这个正多边形的边数为12．
故答案为：12
【点评】本题考查的是正多边形内角、外角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
14．【分析】根据弧长公式求解即可．
【解答】解：设半径为r，
∵＝π，
∴r＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了弧长的计算．解题时，主要是根据弧长公式列出关于半径r的方程，通过解方程即可求得r的值．
15．【分析】设这个圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，然后解方程即可．
【解答】解：设这个圆锥的底面半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝5，
所以这个圆锥的底面直径为6．
故答案为6．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
16．【分析】由正六边形ABCDEF内接于⊙O，由⊙O的直径得出⊙O的半径，再根据正六边形的半径等于边长即可得出结果．
【解答】解：连接OA，OB，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的周长为12π，
∴⊙O的半径为6，
∵∠AOB＝＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝7，
∴正六边形ABCDEF的边长为6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质，熟知正六边形的边长等于半径是解答此题的关键．
17．【分析】根据互补得出∠AOC的度数，再利用圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°，
∴∠D＝×（360°﹣140°）＝110°，
故答案为：110°．
【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据互补得出∠AOC的度数．
18．【分析】设AB、BC、AC与⊙O的切点分别为D、E、F；易证得四边形OECF是正方形；那么根据切线长定理可得：CE＝CF＝（AC+BC﹣AB），由此可求出r的长．
【解答】解：如图，
在Rt△ABC，∠C＝90°，BC＝8；
根据勾股定理AB＝＝10；
四边形OECF中，OE＝OF；
∴四边形OECF是正方形；
由切线长定理，得：AD＝AF，CE＝CF；
∴CE＝CF＝（AC+BC﹣AB）；
即：r＝（6+5﹣10）＝2．
【点评】此题主要考查直角三角形内切圆的性质及半径的求法．
19．【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：在直角△ABD中，CD＝AB＝4，
则BD＝＝8．
由图可知3＜r＜5．
故答案为：8＜r＜5．
【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．
20．【分析】连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，由于AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，得到∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，推出四边形AFOE，FBGO是正方形，得到AF＝BF＝AE＝BG＝2，由勾股定理列方程即可求出结果．
【解答】解：连接OE，OF，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，
∵AD，AB，F，G三点，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，
∴DE＝7，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝3，MN＝MG，
∴CM＝5﹣8﹣MN＝3﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
∴（3+NM）6＝（3﹣NM）2+42，
∴NM＝，
∴DM＝3+＝．
故答案为．
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题
21．【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：（1）（x﹣3）2＝
x﹣3＝±
∴x＝或x＝
（2）△＝36+40＝76＞0，
∴x＝＝﹣3±
【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
22．【分析】因为向三个村庄分别送水，三条输水管长度相同，所以水泵站应在AB、BC的中垂线的交点处．
【解答】解：连接AB、BC、BC的中垂线，点O就是所求．
【点评】本题需仔细分析题意，结合图形，利用中垂线的性质即可解决问题．
23．【分析】利用基本作图作∠BAC的平分线得到点O，然后作⊙O．
【解答】解：如图，AO和⊙O为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
24．【分析】（1）求出Δ＝（m﹣3）2≥0，再根据根的判别式得出答案即可；
（2）把x＝1代入方程得出1﹣m+2m﹣4＝0，再求出方程的解即可．
【解答】（1）证明：x2﹣mx+2m﹣8＝0，
Δ＝（﹣m）2﹣2×1×（2m﹣5）＝m2﹣8m+16＝（m﹣5）2，
∵不论m为何值，（m﹣4）3≥0，
∴Δ≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）把x＝7代入关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣5＝0，得1﹣m+2m﹣4＝0．
解得m＝7．
【点评】本题考查了根的判别式：已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），①当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，②当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，③当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．
25．【分析】连接OD，根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥AC，根据平行线的性质证明即可．
【解答】解：DE⊥AC，
理由如下：连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC．
【点评】本题考查的是切线的性质，平行线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
26．【分析】连接OE，OF．由三角形内角和定理可求得∠A＝50°，由切线的性质可知：∠OFA＝90°，∠OEA＝90°，从而得到∠A+∠EOF＝180°，故可求得∠EOF＝130°由圆周角定理可求得∠EDF＝65°．
【解答】解：如图所示；连接OE．
∵∠B＝60°，∠C＝70°，
∴∠A＝180°﹣60°﹣70°＝50°．
∵AB是圆O的切线，
∴∠OFA＝90°．
同理∠OEA＝90°．
∴∠A+∠EOF＝180°．
∴∠EOF＝130°．
∴∠EDF＝65°．
【点评】本题主要考查的是切线的性质、三角形、四边形的内角和、圆周角定理，求得∠EOF的度数是解题的关键．
27．【分析】（1）代入结论：AC+BC＝CD，直接计算即可；
（2）如图3，作辅助线，根据直径所对的圆周角是直角得：∠ADB＝∠ACB＝90°，由弧相等可知所对的弦相等，得到满足图1的条件，所以AC+BC＝CD，代入可得CD的长；
（3）介绍两种解法：
解法一：作辅助线，构建如图3所示的图形，由AC+BC＝D1C，得D1C＝，在直角△CDD1，利用勾股定理可得CD的长；
解法二：如图5，根据小吴同学的思路作辅助线，构建全等三角形：将△BCD绕点D，顺时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处，得△BCD≌△AED，证明△CDE是等腰直角三角形，所以CE＝CD，从而得出结论．
【解答】解：（1）由题意知：AC+BC＝CD，
∴+3＝，
∴CD＝5；
故答案为：3；
（2）如图3，连接AC、AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵＝，
∴AD＝BD，
∵AB＝13，BC＝12，
∴由勾股定理得：AC＝5，
由图1得：AC+BC＝CD，
5+12＝CD，
∴CD＝；
（3）解法一：以AB为直径作⊙O，连接DO并延长交⊙O于点D1，
连接D1A、D7B、D1C、CD，
由（2）得：AC+BC＝D7C，
∴D1C＝，
∵D1D是⊙O的直径，
∴∠D1CD＝90°，
∵AC＝m，BC＝n，
∴由勾股定理可求得：AB5＝m2+n2，
∴D7D2＝AB2＝m8+n2，
∵D1C5+DC2＝D1D5，
∴CD2＝m2+n6﹣＝，
∵m＜n，
∴CD＝；
解法二：如图5，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴A、B、C、D在以AB为直径的圆上，
∴∠DAC＝∠DBC，
将△BCD绕点D，顺时针旋转90°到△AED处，C分别落在点A，
∴△BCD≌△AED，
∴CD＝ED，∠ADC＝∠ADE，
∴∠ADC﹣∠ADC＝∠ADE﹣∠ADC，
即∠ADB＝∠CDE＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，所以CE＝，
∵AC＝m，BC＝n＝AE，
∴CE＝n﹣m，
∴CD＝．
【点评】本题是圆和四边形的综合题，考查了圆周角定理、弦和弧的关系、勾股定理、旋转的性质、等腰直角三角形的性质，运用了类比的思想，依次解决问题，是一道不错的圆和四边形的综合题．