四川省自贡市旭川中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份四川省自贡市旭川中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了 下列求导运算正确的是， 函数的单调增区间是， 设 ，则， 设，比较的大小关系等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；答卷时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的运算公式，准确计算，即可求解.
【详解】对于A中，由，所以A错误；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，由，所以C错误；
对于D中，由，所以D错误.
故选：B.
2. 如图，设有圆和定点O，当l从开始在平面内绕O匀速旋转时（角速度不变且旋转角度不超过），直线l扫过的圆内的面积S是时间t的函数，这个函数的图像只可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快，再依次判断图象即可.
【详解】由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快.
对A，图象表示面积的增速是常数，与实际不符；
对B，图象表示最后时段增速较快，与实际不符；
对C，图象表示开始和最后时段的增速比中间时段的增速快，与实际不符；
对D，图象表示开始和最后时段增速缓慢，中间时段增速较快，与实际相符.
故选：D.
3. 函数的单调增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对函数求导，根据导函数的正负,确定函数的单调递增递减区间即得.
【详解】由求导得，，
则当时，，即函数在上单调递增；
当时，，即函数在上单调递减，
故函数的单调递增区间为.
故选：D.
4. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用导数求函数的减区间，再利用子集关系，列式求的取值范围.
【详解】，
当，解得：，
由条件可知，
所以 ，解得：.
故选：B.
5. 设 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，依次求出,...,寻找出规律即可.
【详解】因为，
所以,
,
,
,
...
因为,
所以.
故选：C.
6. 为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（ ）
A. 60种B. 150种C. 180种D. 300种
【答案】B
【解析】
【分析】对五位同学分3组，有两种情况，然后分类讨论各自情况种数，采用加法原理求解即可．
【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选三门德育校本课程，
每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，
①三组人数为1、1、3，此时有种；
②三组人数为2、2、1，此时有种.
所以不同的报名方法共有60＋90＝150种．
故选：B．
7. 设，比较的大小关系（ ）
A. B. b
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，构造、且，利用导数研究单调性比较大小关系.
【详解】由，
令且，则，
所以递减，则，故，则，
令且，则，
所以递减，则，故，则，
综上，.
故选：C
8. 已知函数，，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件，将原问题转化为，再利用导数研究函数、的极值、最值，即可求解.
【详解】，则，
令，解得或；令， 解得，
，
故在单调递减，在单调递增，在单调递减，
且，
故，
任意的，都有成立，则，
因为，则，
当时，在单调递增，
所以，
故，即(舍去)；
当时，
令，解得；令， 解得，
故在上单调递减， 在上单调递增，
所以，
所以，即， 解得，
综上所述，实数的取值范围为.
故选：A
【点睛】不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②数形结合( 图象在 上方即可)；
③分类讨论参数.
二．多选题（本题3个小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A. 若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种
B. 若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种
C. 若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种
D. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项，定序问题采用倍缩法进行求解；B选项，采用插空法进行求解；C选项，分两种情况，若最左端排乙，最左端不排乙，分别求出两种情况下的排法，相加即可；D选项，使用捆绑法进行求解；
【详解】对于A，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排列有种情况，故A错误；
对于B，先安排丙，丁，戊三人，有种情况，再将甲乙两人插空，则有种情况，故甲乙不相邻的排法种数为种情况，故B正确；
对于C，若最左端排乙，此时其余四人可进行全排列，故有种；若最左端不排乙，则最左端只能从丙，丁，戊选出1人，又乙不能在最右端，则有种情况，则共有种站法，故C错误；
对于D，将甲与乙捆绑，看做一个整体且固定顺序，再与其他三人站成一排，故有种，故D正确；
故选：BD
10. 已知函数的图象如图所示，且定义在上的函数的导函数为的导函数为f'x，则（ ）

A. 在0,1上单调递减B. 1是极大值点
C. f'x的零点是0和2D. 不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数的图象可求出函数的单调区间及极值点，即可判断AB；根据函数的单调区间即可得出其导函数的零点及符号分布情况，即可判断CD.
【详解】由图可知，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
1是的极大值点，A错误，B正确；
的单调递增区间为，单调递减区间为，
当或时，，
当时，，C正确；
由，得，或，
解得或，
所以等式的解集为，D正确．
故选：BCD.
11. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】求出每个选项中函数的二阶导函数，并验证是否对任意的恒成立，由此可得出答案.
【详解】对于A，，，
当时，，，故不是凸函数；
对于B，，，故是凸函数；
对于C，，对任意的，，故是凸函数；
对于D，，对任意的，，故不是凸函数．
故选：AD．
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三．填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为．若，则曲线在处的曲率是_______
【答案】1
【解析】
【分析】依题意，对函数分别求f'x和f″x，再将点的横坐标代入曲率表达式计算即得.
【详解】由求导得，，再求导得，，
依题意，曲线在处的曲率为.
故答案为：1.
13. 若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】求导得，转化为在上有解，最后分离参数即可.
【详解】函数，则 ，
因为hx在上存在单调递增区间，所以在上有解，
所以当时，有解，
令，而当时，令 ，
即，
此时(此时)，所以，
故答案为：.
14. 已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数等于________．
【答案】
【解析】
【分析】首先判断是否为函数的零点，从而得到方程有两个根，令，问题转化为函数与函数的图象有两个交点，利用导数说明hx在0,+∞上的单调性，即可得到hx的图象，再数形结合即可得解.
【详解】因为，则，
对于函数，所以，显然不是函数零点，
当时函数恰好有两个零点，
所以方程有两个根，
令，
则函数与函数的图象有两个交点，
当时，，则，
所以当时，，函数在上为增函数，
当时，，函数在0,1上为减函数，又，
当时，，函数在上为减函数，
由此可得函数hx的图象如下：
当即时，函数与函数的图象恰有两个交点，
所以.
故答案为：.
四．解答题（本题共5个大题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知函数．
（1）若曲线在其上一点Q处的切线与直线平行，求Q的坐标；
（2）求曲线的过坐标原点O的切线的方程．
【答案】（1）或（2，0）
（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据平行关系确定切线斜率，设出切点坐标，利用导数的几何意义确定切点Q横坐标，代入函数得纵坐标，从而得到切点坐标；
（2）设出切点，利用导数的几何意义表示出切线的斜率，从而设出切线方程，再根据过原点，代入原点坐标得出切点横坐标，再回代得到切线方程．
【小问1详解】
，
设，因为直线斜率为4，
所以，
解得或2．
，．
所以点Q的坐标为或（2，0）．
【小问2详解】
设切点为，则，，
所以在该点处的切线方程为．
因为切线过原点，所以，
解得或1．
又因为，，
所以切线方程为或．
16. 已知函数在处有极值2.
（1）求，的值；
（2）求函数在区间上的最值.
【答案】（1），
（2）最小值是，最大值是2.
【解析】
【分析】（1）利用极值和极值点列方程求解即可；
（2）根据导数求出函数的单调区间，然后比较极值和端点处函数值的大小即可.
【小问1详解】
，.
∵函数在处取得极值2，
∴，，
解得，，
∴，
经验证在处取得极大值2，
故，.
【小问2详解】
，
令，解得，
令，解得或，
因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
，
故函数的最小值是，
，故函数的最大值是2.
17. 已知各项均为正数的等差数列的首项，，，成等比数列；
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，由，，成等比数列，可得，代入，解出的值，即可得答案；
（2）由题意可得，采用分组求和即可.
【小问1详解】
解：设等差数列的公差为，
又因为，，成等比数列，
所以，即，
整理得：，
又因为，
解得或(舍)
则有，
所以数列的通项公式为；
【小问2详解】
解：因为，
所以，
所以
.
所以.
18. 用0，1，2，3，4五个数字．
（1）可以排成多少个三位数字的电话号码？
（2）可以排成多少个三位数？
（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
（4）可以组成多少个无重复数字的四位奇数？
【答案】（1）125 （2）100
（3）30 （4）36
【解析】
【分析】（1）三位数字的电话号码，数字可以重复，首位可以是0，由分步乘法计数原理计算即可；
（2）排成三位数，首位不能为0，先排首位，再排其他位，由分步乘法计数原理计算即可；
（3）排成能被2整除的无重复数字的三位数，分为2类，个位为0或者个位为2，4，再排其他位，根据分类加法和分步乘法计数原理计算即可；
（4）先排个位，再排首位，最后排其他位，根据分步乘法计数原理计算即可．
【小问1详解】
三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，
共有(个)．
【小问2详解】
三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有(个)．
【小问3详解】
被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，
因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有(种)排法；
一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有 (种)排法，
因此有(种)排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．
【小问4详解】
完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：
第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；
第二步定首位，从1，2，3，4中除去用过的一个，从剩下的3个中任取一个，有3种方法；
第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法.
由分步计数原理知共有(个)．
19. 已知函数.
（1）若存在极值，求的取值范围；
（2）若，，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求函数的导函数，分、两种情况讨论，即可得到函数的单调性，从而得到函数的极值点，即可得解；
（2）依题意即证明在时恒成立，设，，利用导数说明函数的单调性，即可得证.
【小问1详解】
由，，得，
当时，，则单调递增，不存在极值；
当时，令，则，
当，则，即在上单调递减，
当，则，即在上单调递增.
所以是的极小值点，
所以当时，存在极值，
综上所述，存在极值时，的取值范围是.
【小问2详解】
欲证不等式在时恒成立，
只需证明在时恒成立.
设，，
则，
令，，
则.
当时，，所以，
所以即在上单调递增，
所以，
因为，所以，
故，所以在上单调递增，
所以，
即当，时，不等式恒成立.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．