高教版（2021）拓展模块一 上册第3章 圆锥曲线3.2 双曲线3.2.1 双曲线的标准方程精品测试题

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基础巩固
1．设为双曲线上一点，，分别为双曲线的左，右焦点，若，则等于（ ）
A．2B．2或18C．4D．18
【答案】B
【分析】利用双曲线的定义即可求解.
【详解】根据双曲线的定义，，即，解得2或18，均满足.
故选：B
2．在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．抛物线C．双曲线D．圆
【答案】C
【分析】根据以及双曲线的定义可得答案.
【详解】因为，所以，
因为，
所以动点的轨迹是以、为焦点的双曲线.
故选：C
3．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由焦点坐标特征设出双曲线方程，根据双曲线定义得到，得到，求出双曲线方程.
【详解】由题意得：双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，
，故，又，
故，
故双曲线的标准方程为：.
故选：C
4．若双曲线的一个焦点为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的标准方程，结合的关系，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，双曲线的一个焦点为，
可得双曲线的焦点再轴上，且，且，
所以，解得.
故选：A.
5．双曲线上的点P到点的距离为9，则P到距离为____________.
【答案】17或1
【分析】根据双曲线的定义分析即可.
【详解】由双曲线的定义可知, 点P到点的距离与到距离之差的绝对值为,又P到点的距离为9,故P到距离为或.
故答案为：17或1
6．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，，焦点在x轴上；
(2)焦点为，，且；
(3)，．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）求得，由此求得双曲线的标准方程.
（2）求得，由此求得双曲线的标准方程.
（3）根据双曲线焦点所在坐标轴进行分类讨论，由此求得双曲线的标准方程.
(1)
，
双曲线的焦点在轴上，
所以双曲线的标准方程为
(2)
，
双曲线的焦点在轴上，
所以双曲线的标准方程为
(3)
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为，
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为.
能力进阶
1．双曲线上的点到上焦点的距离为12，则到下焦点的距离为（ ）
A．22B．2C．2或22D．24
【答案】A
【分析】设的上、下焦点分别为，根据双曲线的定义求出或，再根据可得.
【详解】设的上、下焦点分别为，则．
因为,,所以，，则，
由双曲线的定义可知，，即，
解得或，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意.
综上所述：.
故选：A
2．双曲线 ​的左、右焦点分别为​点​位于其左支上，则​（ ）
A．​B．​C．​D．​
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义求解即可.
【详解】由题意得，，，所以 .
故选：D.
3．已知双曲线的一个焦点为，一个顶点为，则双曲线方程的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线中的关系求解.
【详解】由题可知，双曲线的焦点在轴上，所以可设方程为，
且，所以，
所以双曲线方程为，
故选:D.
4．若双曲线的焦点为，，则b等于（ ）
A．3B．4C．5D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的列出方程，求出.
【详解】由题意得：，解得：
因为，
所以.
故选：B
5．若是双曲线上一点，则到两个焦点的距离之差为______.
【答案】
【分析】由双曲线方程可得，根据双曲线定义可求得结果.
【详解】由题意得：双曲线标准方程为，则，
由双曲线定义知：，则.
故答案为：.
6．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，，焦点在x轴上；
(2)，，焦点在y轴上；
(3)，一个焦点为；
(4)，．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或
【分析】小问1：根据值与焦点位置，即可求解；
小问2：先求出值，结合焦点位置，即可求解；
小问3：根据关系求得值，结合焦点位置，即可求解；
小问4：先求出值，讨论焦点位置即可求解．
(1)
因为，，焦点在x轴上，故双曲线方程为；
(2)
因为，，焦点在y轴上，则，故双曲线方程为；
(3)
因为，一个焦点为；则，得
故双曲线方程为；
(4)
因为，，所以
当焦点在x轴上时，双曲线方程为；
当焦点在y轴上时，双曲线方程为．
素养提升
1．椭圆与双曲线有相同的焦点，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】根据椭圆，双曲线标准方程解决即可.
【详解】由题知，椭圆与双曲线的焦点都在轴上，且焦点相同，
所以，
解得（经检验，都符合题意），
故选：C.
2．与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据椭圆的标准方程，求得焦点坐标，进而设双曲线的方程，根据点在双曲线上，代入解方程最终求出双曲线的方程．
【详解】椭圆的焦点坐标是．
设双曲线的标准方程为，
因为双曲线过点，
所以，又，
解得，
所以所求双曲线的标准方程是．
故选：B.
3．椭圆与双曲线有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为_________．
【答案】24
【分析】根据椭圆与双曲线方程得到椭圆与双曲线具有共同的焦点，，
从而得到P与双曲线两焦点的距离之和，再根据，求出周长.
【详解】由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点，，
由椭圆定义可知：，
故P与双曲线两焦点的距离之和为14，
又，
因此P与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为.
故答案为：24
4．已知平面内两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程是___________.
【答案】
【分析】直接由定义判断出M的轨迹是双曲线，再由待定系数法求方程即可.
【详解】由题意知：，，故M的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线，
设双曲线方程为，由可得，故点M的轨迹方程是.
故答案为：.
5．曲线C：表示焦点在轴上的双曲线，则m的取值范围为________.
【答案】
【分析】根据双曲线焦点位置，列出不等式组即可求解.
【详解】因为该曲线表示焦点在轴上的双曲线，则有，解得,即.
故答案为：
6．判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出，，的值及焦距；若不是，请说明理由．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】答案见解析
【分析】（1）（2）（3）均可化为双曲线标准方程，，，通过焦距定义即可得解，而（4）式非双曲线方程.
【详解】（1）表示双曲线，，，，焦距为．
（2）表示双曲线，，，，焦距为．
（3）表示双曲线，，，，焦距为．
（4）不表示双曲线，由，得，即或，所以该方程表示直线和直线．