内蒙古自治区包头市第二十九中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试题（解析版）

这是一份内蒙古自治区包头市第二十九中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试题（解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图案是鄂尔多斯市的不同行业的标志，其中不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A
2. 如图所示的立体图形是一个圆柱被截去四分之一后得到的几何体，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据左视图的定义，左视图就是物体由左向右方投影得到的视图，即可得出结论．
【详解】解：根据左视图的定义，该几何体的左视图是：
故选：C ．
【点睛】此题考查了几何体左视图的判断，掌握左视图的定义是解题关键．
3. 下列投影一定不会改变的形状和大小的是（ ）
A. 中心投影B. 平行投影
C. 正投影D. 当平行投影面时的正投影
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了投影，关键是掌握中心投影、平行投影、正投影的区别，根据中心投影、平行投影、正投影的定义即可得出答案．
【详解】解：一定不会改变的形状和大小的是：当平行投影面时的正投影，
故选：D．
4. 下列事件中，是随机事件的是（）
A. 明天太阳从东方升起B. 任意画一个三角形，其内角和为360°
C. 经过有交通信号的路口，遇到红灯D. 通常加热到100℃时，水沸腾
【答案】C
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性判断，一定条件下，一定发生的事件称为必然事件，一定不发生的事件为不可能事件，可能发生可能不发生的事件为随机事件.
【详解】解：A选项是明天太阳从东方升起必然事件，不符合题意；
因为三角形的内角和为，B选项三角形内角和是360°是不可能事件，不符合题意；
C选项遇到红灯是可能发生的，是随机事件，符合题意；
D选项通常加热到100℃时，水沸腾是必然事件，不符合题意.
故选：C
【点睛】本题考查了事件的可能性，熟练掌握必然事件、不可能事件、可能事件的概念是解题的关键.
5. 将量角器和三角板按如图所示的方式放置，三角板与量角器交于B，C两点（点B和点C对应的刻度分别为和），则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．本题根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到，即可得出结果．
【详解】解：如图，设量角器的中心为O，
由题意，得：，
∴．
故选：B．
6. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数的大致图像正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的图象、反比例函数的图象、二次函数的图象等知识点，根据函数图象确定相关参数的正负成为解题的关键．根据一次函数与反比例函数图象确定a、b、c的正负，再结合二次函数图象的对称轴即可解答．
【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴位于y轴右侧，与y轴交于负半轴，
∴，，
∴，，
∴一次函数图象经过第二、三、四象限， 反比例函数的图象经过第二、四象限．
故选：D．
7. 进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据设每轮传染中一人可以传染x个人，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，结合“经过两轮传染，共有81名感染者”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设每轮传染中一人可以传染x个人，
第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染．
根据题意得：．
故选：A．
8. 如图，内接于，，，则的半径为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理和勾股定理．连接，并延长交于点D，由同弧所对的圆周周角相等可得，再由直径所对的圆周角等于，可得，进而可得，，利用勾股定理求出直径，进一步即可求出半径．
【详解】解：连接，并延长交于点D，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的半径．
故选：D．
9. 在如图，中，，，的面积为6，与轴负半轴的夹角为，双曲线经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查含角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、反比例函数系数的几何意义，利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方求出是解题关键．过点作轴于点，易得，设，利用含角的直角三角形的性质可得，，易证，利用相似三角形的性质可得，进而求得，再利用反比例函数系数的几何意义即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
在中，，，
，
设，则，，
由题意可知，，
，，
，
，即，
，
，
．
故选：B．
10. 如图1，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E、F是边AB、DC的中点，连接EF、AF，动点P从A向F运动，AP＝x，y＝PE+PB．图2所示的是y关于x的函数图象，点（a，b）是函数图象的最低点，则a的值为（ ）

A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由已知易得四边形ADFE是正方形，进而利用轴对称的性质得当点D、P、B三点共线时，y取得最小值b，此时AP1＝a，BD＝b，最后利用相似三角形的判定与性质以及勾股定理计算出a的值．
【详解】解：∵矩形ABCD，E、F是边AB、DC的中点，AB＝4，AD＝2
∴易证四边形ADFE是正方形
∴点E关于EF的对称点是点D
∴PE＝PD
∴y＝PE+PB＝PD+PB
∴当点D、P、B三点共线时，y取得最小值b
连接BD交于点P1，此时AP1＝a，BD＝b，如图：

∵AB∥CD
∴
∴AP1＝AF＝×＝
即a＝．
故选B．
【点睛】本题是动点问题的函数图象问题，综合考查矩形和正方形的性质，相似三角形，勾股定理，要注意数形结合的运用．
11. 用配方法解方程，配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
先移项、然后再给等式两边同时加上4，然后再化简即可解答．
【详解】解：，
，
，
．
故选C．
二、填空题
12. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．
【答案】且##且
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义．直接利用一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义求解即可得．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
，
解得且．
故答案为：且．
13. 现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶4千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区在地的北偏东方向，那么B，C两地的距离为 __________________．
【答案】##
【解析】
【分析】如图所示，过点作于，由题意得，，，利用三角形内角和定理求出，再求出，，得到千米，，利用勾股定理求出千米，即可利用勾股定理求出的长．
【详解】解：如图所示，过点作于，
由题意得，，，
，
，
，
，，
千米，，
（千米），
（千米），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的计算，方位角的表示，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
14. 掷实心球是中考体育必考项目，体育老师给出标准示范，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度（米）与飞行的水平距离（米）之间具有函数关系，则小明这次实心球训练的成绩为______．
【答案】##10米
【解析】
【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际运用、解一元二次方程，解题关键是理解题意及熟练掌握一元二次方程的解法．
根据题意可知，求小明这次实心球训练的成绩即求时，二次函数中的取值，将代入后求解即可．
【详解】解：依题得：在二次函数中，
时，即实心球的飞行高度为时，
有，
，
，
解得或-2（舍去），
即实心球飞行的水平距离为．
小明这次实心球训练的成绩为．
故答案为：．
15. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，则水面下降时，水面宽度增加______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
首先建立直角坐标系，设抛物线为，把点代入求出解析式可解．
【详解】解：如图，建立直角坐标，
可设这条抛物线为，
把点代入，得，
解得
∴，
当时，，
解得
∴水面下降时，水面宽度增加
故答案为：．
16. 如图，在边长为4的正方形中，点G是上的一点，且，于点E，，则的值为__________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正切的定义等知识，灵活运用相似三角形的判定与性质求出线段的长是解答本题的关键．
由正方形的边长为4及，可求出，进而求出，证，利用相似三角形对应边成比例可求得、的长，证，得，，根据线段的和差求得的长即可．
【详解】解：∵正方形的边长为4，点G是上的一点，且，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程：
（1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解；
（2）先去分母，吧分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
或，
解得：；
【小问2详解】
解：，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，当时，，
∴原方程的解为．
18. 随着科技的进步，购物支付方式日益增多，为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据查结果，绘制成如图统计图．
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）______，______，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为______度；
（2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率．
【答案】（1）20，18，36
（2）
【解析】
【分析】本题考查了统计图，列表法与树状图法．
（1）根据统计图中的信息列式计算即可；
（2）首先根据列出表格，然后由表格求得所有等可能结果与恰好抽到恰好都是女性的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
解决问题的关键在于利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
小问1详解】
解：本次调查的总人数为：
，，
在扇形统计图中种支付方式所对应的圆心角为，
故答案为：20，18，36；
【小问2详解】
由题意可知用现金支付方式共有5人，
设男生为，，女生为，，，列表得：
∵共有20种等可能的结果，恰好抽到都是女性的有6种情况，
∴恰好都是女性的概率．
19. 市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当=40时，=120；=50时，=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用500元．
（1）求出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求该公司销售该原料日获利（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大．最大获利是多少元．
【答案】(1) y=-2x+200（30≤x≤60）；(2) W=-2x2+260x-6500 ；(3) 1900 ．
【解析】
【分析】（1）由题意可设，代入题中的已知数量关系，列出关于k、b的方程组，解方程组求得k、b的值即可得到所求解析式；由“销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元”即可得到x的取值范围；
（2）由日获利润=每千克所获利润×日销售量-500，结合（1）中所得函数关系式即可求得w与x之间的函数关系式；
（3）将（2）中所得函数关系式配方并结合x的取值范围即可求得所求答案．
【详解】解：（1）由题意设，则由题中所给数量关系可得：
，解得： ，
∴与的函数关系式为：；
（2）由题意可得：
，
整理得：；
（3）∵，且，
∴当时，w最大=（元）．
【点睛】解答本题时需注意两点：（1）在解第2小题时，不要忽略了“每天还要支付其他费用500元”；（2）解第3小题时，需注意自变量x的取值范围是，所以w的最大值并不是在二次函数图象的顶点处取得的，而是在x=60时取得的．
20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出绕坐标原点O顺时针旋转90°的；
（2）在旋转过程中，求点B旋转到所经过的路径长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）在平面直角坐标系中画出的对应点,然后顺次连接即可；
（2）求出的长，根据弧长公式进行计算即可求出点B所经过的路径长．
此题考查作图-旋转变换，解题关键在于掌握作图法则．
【小问1详解】
如图，即为所求；
【小问2详解】
∵，
∴的长．
21. 如图，是的直径，，是的弦，过圆心作的平行线与过点的切线交于点，与交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）如果，求的长；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积公式，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
（1）连接，可证得，从而，进一步得出结果；
（2）可推出，结合得出，进而得出结果；
（3）可结合（1）（2）得出，，，从而求得和扇形的面积，进而得出结果．
【小问1详解】
证明：如图1，连接，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
是的切线，
，
，
，
点在上，
是的切线；
【小问2详解】
解：如图1，
由（1）知：，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
如图1，设交于，由（1）（2）知，
，，，
，
，
．
22. 旋转是初中数学图形变换很重要的内容．通过旋转将已知条件这种分散的边或角等条件相对集中在一起，构建起新的联系，从而解决问题．
（1）【发现问题】如图1，点E，F分别是正方形的边上的点，若，则有怎样的数量关系？为什么？
（2）【类比探究】如图2，P为正方形内一点，，，，则______；
（3）【拓展延伸】如图3，在四边形中，，，证明：．
【答案】（1），理由见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质得，将绕点顺时针旋转，得到，可证明，得，因为，所以；
（2）由正方形的性质得，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则，所以，，由，根据勾股定理的逆定理得，则，由此得解；
（3）以为一边在的右侧作等边三角形，连接，，由，证明是等边三角形，则，，所以，即可证明，由，求得，则，而，所以．
【小问1详解】
解：，理由如下：
如图1，
四边形是正方形，
，
将绕点顺时针旋转，得到，则，，，
，
，
三点在同一条直线上，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
.
【小问2详解】
解：如图2，
四边形是正方形，
，
将绕点逆时针旋转，得到，连接，
，，
，，
，
，，
，
是直角三角形，且，
．
【小问3详解】
证明：如图3，以为一边在的右侧作等边三角形，连接，，
则，，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关的判定和性质，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，过点的直线交抛物线于点，与y轴交于点D．
（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点、C，P，Q为顶点的四边形是平行四形时，直接写出点Q的坐标；
（3）如图2，若点M是抛物线上不与点B重合的动点，连接，当时，求点M的横坐标．
【答案】（1）直线的解析式为，抛物线的解析式
（2）或或或
（3）或或或
【解析】
【分析】（1）将点，代入，求出和的值即可得到一次函数的解析式，将点，，代入，求出、、的值即可得到抛物线的解析式；
（2）设点的坐标为，点的坐标为，分①若和是平行四边形的对角线；②若和是平行四边形的对角线；③若和是平行四边形的对角线，三种情况，运用平行四边形的性质列方程即可求出结果；
（3）求出直线的函数解析式，过点作轴，交于点，求出的面积，设点的坐标为，用含的式子表示的面积，根据，列方程求解即可得到点的横坐标．
【小问1详解】
解：将点，代入，
，
解得，
直线的解析式为，
将点，，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：设点的坐标为，点的坐标为，，
①若和是平行四边形的对角线，
、互相平分，
，
得，
或（与点重合，舍去），
点的坐标为，
，
得，，
，
点的坐标为；
②若和是平行四边形的对角线，
、互相平分，
，
得，
或（与点重合，舍去），
点的坐标为，
，
得，，
，
点的坐标为；
③若和是平行四边形的对角线，
、互相平分，
，
得，
或，
点的坐标为或，
，
得，或，
∴或，
点的坐标为或；
综上所述，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为或或或；
【小问3详解】
解：设直线的解析式为，
代入，，
得，
解得，
直线的解析式为，
过点作轴，交于点，
当时，，
点的坐标为，
，
，
设点的坐标为，
，
，
，
解得或或或，
当时，点的横坐标为或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中平行四边形存在性问题，面积问题，中点公式，本题的关键是熟练运用中点公式和铅锤法解题．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，